第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
基础过关练
1．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式，根据不等式的解集表示在数轴上即可求解．
【详解】解：
解得：
在数轴上表示不等式的解集，如图，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（ ）
A． B．1或 C．或 D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，
或．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集是得出且，求出，，把代入不等式，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
不等式的解集是，
且，
，，
，
，即，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）2023年3月30日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.8亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.8亿”即“大于1.8亿”是解题的关键．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据原价乘以0.85减去本价等于利润列不等式即可得到答案．
【详解】解：商品获利为元，
∵至少可获得12%的利润，
∴，即，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，正确理解利润=售价减去进价是解题的关键．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．小澜得分要超过90分，他至少要答对的题数为（ ）
A．12道 B．13道 C．14道 D．15道
【答案】B
【分析】设他答对x道题，则答错或不答道，根据答对的得分+答错或不答的得分的和超过90分建立不等式求出其解即可．
【详解】解：设他答对x道题，则答错或不答道．
由题意，得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x为13．
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时根据答对的得分+答错或不答的得分的和超过90分建立不等式是关键．
7．（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考阶段练习）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【答案】B
【分析】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣1分列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别解不等式求出其最小整数解，即可求出正确答案．
【详解】解：解不等式得：；没有最小整数解，故A选项不符合题意；
解不等式得：；最小整数解为，故B选项不符合题意；
解不等式得：；没有最小整数解，故C选项不符合题意；
解不等式得：；最小整数解为，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查解不等式，以及不等式的整数解，解题的关键是求出各不等式的解集，找出其中的最小整数解．
9．（2023·浙江温州·统考一模）不等式的解为___________．
【答案】/
【分析】根据不等式的性质移项，合并同类项，系数化为1即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练运用不等式的性质运算是解题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修_______千米．
【答案】0.8/
【分析】设以后几天平均每天修路千米，根据题意列出不等式并解不等式即可．
【详解】解：设以后几天平均每天修路千米，
根据题意得：，解得：．
即以后几天平均每天修路0.8千米．
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，关键是找到不等关系列出不等式．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）请你写一个满足不等式的正整数的值______．
【答案】1（答案不唯一，1、2、3、4都可以）
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：解不等式得：，
是正整数，
可取1、2、3、4，
故答案为：1（答案不唯一）
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）琥珀中学教育集团某生物兴趣小组要在恒温箱中培养，两种菌种，菌种生长的温度在之间（不包括、），菌种生长的温度在之间（不包括、），若设恒温箱的温度为，则所满足的不等式为______．
【答案】
【分析】求出两个范围的公共部分，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
所满足的不等式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，求出两个范围的公共部分是解题的关键．
13．（2023春·上海·六年级专题练习）小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔_______支．
【答案】3
【分析】设小明还可以买支钢笔，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明还可以买支钢笔，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最大值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出不等式是解题的关键．
14．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）对有理数，定义运算：，其中，是常数．如果，，那么的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据题中所给新定义运算及可得a、b的关系，然后问题可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
由可得，
∴，
解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
15．（2023·广东广州·执信中学校考一模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，解集在数轴上表示见解析
【分析】不等式去分母，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
将不等式的解集在数轴上表示如下：
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
16．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）解不等式
【答案】
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】解：两边同乘6得：
，
化简得：，
解得：.
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）求一元一次不等式的负整数解．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，可得结论．
【详解】去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴负整数解为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
18．（2023春·广东佛山·八年级期中）小颖准备用元钱买笔和笔记本．已知每支笔元，每个笔记本元，她买了个笔记本，则她最多还可以买多少支笔？
【答案】小颖最多还可以买支笔．
【分析】设小颖买了支笔，根据题意，列出不等式，解出，即可．
【详解】设小颖买了支笔，
∴，
，
，
∴取，
∴小颖最多还可以买支笔．
【点睛】本题考查一元一次不等式的运用，解题的关键是理解题意，找到关系式．
19．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）列不等式解应用题：
2016年某企业共支付了两种垃圾处理费，收费标准如下：餐厨垃圾处理费：100元/吨，建筑垃圾处理费：30元/吨．该企业2016年的两种垃圾处理总量为240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍．
(1)该企业处理的餐厨垃圾至少多少吨？
(2)2016年该企业最少支付这两种垃圾处理费共多少元？
【答案】(1)企业处理的餐厨垃圾至少吨
(2)2016年该企业最少支付这两种垃圾处理费共元
【分析】（1）设该企业处理的餐厨垃圾吨，建筑垃圾为吨，根据题意列出不等式，解不等式即可求解；
（2）根据（1）的结论计算即可求解．
【详解】（1）解：设该企业处理的餐厨垃圾吨，建筑垃圾为吨，根据题意得，
解得：，
答：企业处理的餐厨垃圾至少吨
（2）解：餐厨垃圾处理费：100元/吨，建筑垃圾处理费：30元/吨，
当餐厨垃圾最少时，费用最低，
根据题意得，
（元）
答：2016年该企业最少支付这两种垃圾处理费共元
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
20．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）为了宣传流感的防控知识，需印制若干份资料，印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式每份资料收费元，另需收取制版费元．乙种方式每份资料收费元，不需要收取制版费．
(1)设印刷的数量为x份，甲种方式的费用为元，乙种方式的费用为元，则______；______．
(2)每次需印制100～600（含100和600）份资料，选择哪种印刷方式较合算？
【答案】(1)，
(2)印刷材料：当为时，采用乙方式更合算，当为时，采用甲、乙两种方式一样，当为时，采用甲方式更合算
【分析】（1）根据题意直接列式即可作答；
（2）根据题意，分当时、当时、当时三种情况讨论，求出相应的x的值及范围，问题随之得解．
【详解】（1）根据题意，有：，，
故答案为：，；
（2）根据题意有：，
当时，可得：，
解得：，即，
当时，可得：，
解得：，
当时，可得：，
解得：，即，
印刷材料：
当为时，采用乙方式更合算，
当为时，采用甲、乙两种方式一样，
当为时，采用甲方式更合算．
【点睛】本题考查列代数式及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意．
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得，结合题意“实数3是不等式的一个解”，可得，解该不等式即可获得答案．
【详解】解：由不等式，得，
∵实数3是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴可取的最大整数为．
故本题选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式是解题关键．
2．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，汽车45分钟行驶的路程大于，依此列出不等式即可．
【详解】解：设平均车速为，
45分钟 小时，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等式关系是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；
②，属于一元一次不等式，符合题意；
③，属于一元一次不等式，符合题意；
④，属于一元二次不等式，不合题意；
⑤属于方程，不合题意；
⑥，属于一元一次不等式，符合题意．
综上所述，一元一次不等式有3个．
故本题选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键．
4．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗 B．43颗 C．57颗 D．58颗
【答案】B
【分析】设购买乙种树苗棵，根据用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最小取43，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等量关系．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．
【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴a＜0，
∴不等式的解集为x＜，
又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴2＜≤3，
解得-6＜a≤-3，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．
6．（2021春·江西景德镇·九年级统考期中）已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解关于的一元一次方程，根据解为非负数列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：，
，
解得，
关于的方程的解是非负数，
，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．
【详解】解：解不等式2x+a≤1
得： ，
不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，
根据题意得：3 <4，
解得：-7＜a≤-5，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键是正确解不等式，求出解集．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程组，得到，再根据的值不大于5，列出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：方程组，
得：，
关于，的方程组的解满足的值不大于5，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题关键．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）x与3的差是负数，用不等式表示为______．
【答案】
【分析】先将x与3的差表示为，负数即是小于0的数，再用不等号连接起来即可．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题关键．
10．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知a，b是两个不相邻的正整数，，则满足条件的a的值最多有 _____个．
【答案】/
【分析】根据a，b是两个不相邻的正整数，，可得，即可得到答案．
【详解】∵a，b是两个不相邻的正整数，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式，解题的关键是根据题意得到．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以二十大精神为主题的知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题倒扣2分，璐璐有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，璐璐要想获奖，最多只能错______道题．
【答案】2
【分析】设璐璐错道题，则答对了题，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：设璐璐错道题，则答对了题，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
12．（2023春·七年级单元测试）某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于40%，则最多可以打________折．
【答案】7
【分析】根据题意，可以设打折时，利润率不低于40%，根据利润≥进价×40%列不等式解答．
【详解】解：设打折，根据题意得
，
解得．
故最多可以打7折．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题时要明确利润=售价－进价．
13．（2021春·宁夏固原·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】由且知，即可求得m的范围．
【详解】解：且，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式的解法，解题的关键在于利用已知条件得到关于m的不等式并解不等式．
14．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x＋3y≤10，它的正整数解有________个．
【答案】5
【分析】先把y作为常数，解不等式得：，根据x，y是正整数，得5-＞0，分情况可解答．
【详解】解：2x+3y≤10，
，
∵x，y是正整数，
∴5-＞0，
0＜y＜，即y只能取1，2，3，
当y=1时，0＜x≤3.5，
正整数解为：
，，，
当y=2时，0＜x≤2，
正整数解为：
，，，
当y=3时，0＜x≤，无正整数解；
综上，它的正整数解有5个，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了新定义：二元一次不等式2x+3y≤0正整数解，求出y的整数值是本题的关键．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
【答案】3
【详解】根据一元一次不等式的解法以及一元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴x的最小整数为3，
把代入得，，
∴．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，一元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
16．（2023春·上海·六年级专题练习）已知不等式的解集是，求关于x的不等式的解集．
【答案】
【分析】根据已知条件，判断出，，再求得不等式的解集．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
∴，解得；
把代入得，，
∵，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查了不等式，解题的关键是一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】
【分析】由得到即，结合可得，解不等式即可．
【详解】解：
由得：，
即，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式；解题的关键是巧解方程组得到．
18．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
【答案】(1)甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元
(2)最多购入22件
【分析】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元列二元一次方程组，求解即可；
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，根据总进价不超过4650元列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，
根据题意得：，解得：．
答：甲商品的进价为80元，乙商品的进价为60元．
（2）设甲商品购入a件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，解得：，
∵a为正整数，所以甲商品最多购入22件．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
19．（2023春·全国·七年级专题练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示：
甲型 乙型
价格（单位：元/台） 450 600
有效监控半径（单位：米/台） 100 150
(1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式；
(2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“总价=单价×数量”结合购买该批设备的资金不超过7200元列关于x的一元一次不等式即可；
（2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据要求监控半径覆盖范围不低于1600米可列关于x的一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
（2）解：设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，
根据题意得：．
【点睛】本题主要考查了列不等式，审清题意、找到不等关系是解答本题的关键．
20．（2023·广东·校联考模拟预测）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
【答案】(1)A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元
(2)A型号兔子挂件至少要购进21件
【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，根据题意列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据利润、进价、售价之间的关系列一元一次不等式，解不等式求出最小整数解即可．
【详解】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
∴，
即A型号兔子挂件每件进价40元，则B型号兔子挂件每件进价25元；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件件，
则，
解得，
因此A型号兔子挂件至少要购进21件．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程和不等式．
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接移项解一元一次不等式即可．
【详解】，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得，
根据题意得：，
解得：．
所以的取值范围是．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
3．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
【点睛】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
4．（2022·吉林·统考中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【详解】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
5．（2022·广西·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先移项，合并同类项，再不等式的两边同时除以2，即可求解．
【详解】，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
6．（2021·贵州遵义·统考中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
【答案】D
【分析】设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为元，再列不等式即可.
【详解】解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故选：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键.
7．（2021·内蒙古·统考中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．
【详解】解：由，
∴，
得：，
∵解集为，
∴
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．
8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）关于的不等式的解是______．
【答案】
【分析】将不等式移项，系数化为1即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
9．（2022·安徽·统考中考真题）不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
10．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
【答案】32
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
11．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
12．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
【答案】
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得．
化系数为1，得．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
13．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）解不等式：．
【答案】x<7
【分析】去括号，再移项，合并同类项，系数化1，解得即可．
【详解】去括号得：2x-6<8，
移项得：2x<8+6，
合并同类项得：2x<14，
系数化1得：x<7，
故不等式的解集为：x<7．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记基本步骤是解题的关键．
14．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3－5，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】原不等式的解集为；见解析
【分析】通过移项，合并同类项及不等式的两边同时除以2，进行求解并把解集在数轴上表示出来即可．
【详解】移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边同时除以2，得，
所以，原不等式的解集为．
如图所示：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，及将解集在数轴上表示出来，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
15．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
【答案】(1)甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元
(2)最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个
【分析】（1）根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；
（2）根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．
【详解】（1）设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是元．
根据题意得：
解得：．
∴
答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元．
（2）设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”个．
根据题意，得：
解得：
∴a最大值是30．
答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．
16．（2022·江苏镇江·统考中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．
【答案】不能，理由见解析，为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件
【分析】设10日开始每天生产量为件，根据题意列出一元一次方程，继而根据，如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，列出一元一次不等式，求得从20日开始每天的生产量至少达到130件，即可求解．
【详解】解：设10日开始每天生产量为件，
根据题意，得．
解得，．
如果按照公司10日开始的生产速度继续生产该产品，截止月底生产的天数为9天，
因此该公司9天共可生产900件产品．
因为，所以不能按期完成订单，
由，
所以为确保按期交货，从20日开始每天的生产量至少达到130件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
1第九章 不等式与不等式组
9.2 一元一次不等式
基础过关练
1．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（ ）
A． B．1或 C．或 D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）2023年3月30日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.8亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分．小澜得分要超过90分，他至少要答对的题数为（ ）
A．12道 B．13道 C．14道 D．15道
7．（2023春·河南洛阳·七年级偃师市实验中学校考阶段练习）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
8．（2023春·全国·七年级专题练习）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·浙江温州·统考一模）不等式的解为___________．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修_______千米．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）请你写一个满足不等式的正整数的值______．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）琥珀中学教育集团某生物兴趣小组要在恒温箱中培养，两种菌种，菌种生长的温度在之间（不包括、），菌种生长的温度在之间（不包括、），若设恒温箱的温度为，则所满足的不等式为______．
13．（2023春·上海·六年级专题练习）小明准备用20元钱买钢笔和笔记本，钢笔每支3元，笔记本每本5元，他买了2本笔记本，则他最多还可以买钢笔_______支．
14．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）对有理数，定义运算：，其中，是常数．如果，，那么的取值范围是______．
15．（2023·广东广州·执信中学校考一模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．（2023春·广东茂名·八年级校考阶段练习）解不等式
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）求一元一次不等式的负整数解．
18．（2023春·广东佛山·八年级期中）小颖准备用元钱买笔和笔记本．已知每支笔元，每个笔记本元，她买了个笔记本，则她最多还可以买多少支笔？
19．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）列不等式解应用题：
2016年某企业共支付了两种垃圾处理费，收费标准如下：餐厨垃圾处理费：100元/吨，建筑垃圾处理费：30元/吨．该企业2016年的两种垃圾处理总量为240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍．
(1)该企业处理的餐厨垃圾至少多少吨？
(2)2016年该企业最少支付这两种垃圾处理费共多少元？
20．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）为了宣传流感的防控知识，需印制若干份资料，印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式每份资料收费元，另需收取制版费元．乙种方式每份资料收费元，不需要收取制版费．
(1)设印刷的数量为x份，甲种方式的费用为元，乙种方式的费用为元，则______；______．
(2)每次需印制100～600（含100和600）份资料，选择哪种印刷方式较合算？
培优拓展练
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）一辆汽车从地出发，要在之前到达距离地的地，设平均车速为，根据题意可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗 B．43颗 C．57颗 D．58颗
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021春·江西景德镇·九年级统考期中）已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）x与3的差是负数，用不等式表示为______．
10．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知a，b是两个不相邻的正整数，，则满足条件的a的值最多有 _____个．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以二十大精神为主题的知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题倒扣2分，璐璐有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，璐璐要想获奖，最多只能错______道题．
12．（2023春·七年级单元测试）某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于40%，则最多可以打________折．
13．（2021春·宁夏固原·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是 _____．
14．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x＋3y≤10，它的正整数解有________个．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的值．
16．（2023春·上海·六年级专题练习）已知不等式的解集是，求关于x的不等式的解集．
17．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
18．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）某公司购入甲、乙两种商品，2件甲商品和1件乙商品总进价为220元，3件甲商品和2件乙商品的总进价为360元．
(1)求甲、乙两种商品的进价分别为多少元；
(2)该公司计划购进甲、乙两种商品共70件，且总进价不超过4650元，则甲商品最多购入多少件？
19．（2023春·全国·七年级专题练习）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中价格、有效监控半径如表所示：
甲型 乙型
价格（单位：元/台） 450 600
有效监控半径（单位：米/台） 100 150
(1)若购买该批设备的资金不超过7200元，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式；
(2)若要求有效监控半径覆盖范围大于1600米，请你写出购买的甲型设备数量x（台）应满足的不等式．
20．（2023·广东·校联考模拟预测）2023年是农历癸卯年（兔年），兔子生肖挂件成了热销品，某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件3件和B型号兔子挂件4件共需220元．
(1)该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为48元，30元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过310元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
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1．（2022·吉林长春·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东聊城·统考中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林·统考中考真题）与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西·统考中考真题）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·贵州遵义·统考中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
7．（2021·内蒙古·统考中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）关于的不等式的解是______．
9．（2022·安徽·统考中考真题）不等式的解集为________．
10．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
11．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
12．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）解不等式： ．
13．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）解不等式：．
14．（2022·广西·中考真题）解不等式2x＋3－5，并把解集在数轴上表示出来．
15．（2022·四川资阳·中考真题）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．
(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？
(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？
16．（2022·江苏镇江·统考中考真题）某公司专业生产某种产品，6月初（当月月历如图）接到一份求购5000件该产品的订单，要求本月底完成，7月1日按期交货．
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经盘点目前公司已有该产品库存2855件，补充原材料后，从本月7日开始生产剩余数量的该产品，已知该公司除周六、周日正常休息外，每天的生产量相同．但因受高温天气影响，从本月10日开始，每天的生产量比原来减少了25件，截止到17日生产结束，库存总量达3830件．如果按照10日开始的生产速度继续生产该产品，能否按期完成订单？请说明理由．如果不能，请你给该公司生产部门提出一个合理的建议，以确保能按期交货．1
