【新课堂】华师版数学九年级下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 练习（含答案）

26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 练习
一、单选题
1.二次函数y = ax2-2x-3（a<0）的图象一定不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知 时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析 的值等于（ ）.
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3.如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（-1，0），与 y轴交点为（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
① ；②当 时， y随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根
A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①②④
4.将抛物线（ ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为 .
A. B. C. D.
5.已知函数 ，则（ ）
A. 当 时，y随x的增大而增大 B. 当 时，y随x的增大而减小
C. 当 时，y随x的增大而增大 D. 当 时，y随x的增大而减小
6.对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下 B. 图象和y轴交点的纵坐标为-3
C. 时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线
7.把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a ， 若(m－1)a+b+c≤0，则m的最大值是（ ）.
A. 6 B. 2 C. 0 D. －4
8.如图，a<0，b>0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0.
其中错误结论的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y= 与正比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知点 P （x1 ， y1 ）， Q （x2 ， y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1 ________y2 .（填“>"、“<"或“=”）
12.在平面直角坐标系内抛物线y＝x2﹣2x+3的图象先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为________.
13.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a=-1，a=0，a=1， a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上， 这条直线的解析式是________.
14.如图，平行四边形ABCD中， ，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点A ， B ， 则此抛物线的解析式为________．
三、综合题
15.若二次函数 的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0 -5
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当x=﹣2时，y的值.
16.已知抛物线 y = x2 +bx + c 经过点（-1， 0）， （3， 0）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
17.已知抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式，并说明此抛物线是由哪条抛物线经过平移得到的；
（2）求抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）写出y随x的变化规律；
（4）求出函数的最大值或最小值.
18.已知二次函数图象的对称轴为y轴，且经过点（1，5）和（﹣ ， ）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若将该二次函数先向下平移4个单位，再沿x轴翻折后与x轴交于A，B两点，设顶点为P，求△AOP的面积.
19.已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当 时，若该二次函数图象的最高点为P，最低点为Q，点P的纵坐标为10，求点P与点Q的坐标.
（3）对于该二次函数图象上的两点 ， ，设 ，当 时，均有 ，请结合图象求出t的取值范围.
20.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).

（1）求a，b的值；
（2）若点C是该二次函数的最高点，求△OBC的面积.
参考答案
一、单选题
1.【答案】 A
解：∵a＜0，b=-2＜0
∴抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∵c=-3＜0
∴抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴抛物线经过第二，三，四象限，不经过第一象限.
故答案为：A.
2.【答案】 D
解：第一个和第二个图象的对称轴都是y轴，则b=0，因而不是二次函数y=ax2+bx+a2-4的图象；
第三个图象，开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的右侧，则b＜0，函数经过原点，则a2-4=0，则a=2，满足条件；
第四个图象，开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，则b＞0，不满足条件.
故答案为：D.
3.【答案】 C
解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， y随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，则x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
4.【答案】 A
解：由题意得：将抛物线 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后即可得到平移前的抛物线，
∴平移前的函数解析式为： ，
故答案为：A.
5.【答案】 D
解：函数 ，对称轴为直线x＝﹣1，开口方向上，
故当x＜﹣1时，y随x的增大而减小.
故答案为：D
6.【答案】 C
解：A. ，
，
图象的开口向上，故本选项错误；
B. ，
即图象和y轴的交点的纵坐标为-1，故本选项错误；
C. 对称轴是直线 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C.图象的对称轴是直线 ，故本选项错误；
故答案为：C.
7.【答案】 A
解： ∵把抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝－a（x－1）2+4a，
∴原二次函数的顶点为（1，-4a），
∴原二次函数为y＝a（x－1）2-4a，
∴b=-2a，c=-3a，
∵(m-1)a+b+c≤0，
∴(m-1)a-2a-3a≤0，
∵a＞0，∴m-1-2-3≤0，
解得m≤6，
∴m的最大值为6.
故答案为：A.
8.【答案】 A
解：∵a＜0
∴二次函数的图象开口向下
∵c＜0
∴二次函数图象与y轴交点在负半轴
∵a＜0，b＞0
∴x=-＞0
二次函数的对称轴，在y轴的右侧
故答案为：A.
9.【答案】 A
解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1,0）关于x=-1的对称点为（-3,0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
10.【答案】 C
解：根据二次函数的图象可得，a＜0，c＞0
∴反比例函数y=分布在第二、四象限，正比例函数y=cx经过第一、三象限
故答案为：C.
二、填空题
11.【答案】 =
解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1 ， y1 ）， Q （x2 ， y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
12.【答案】 y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11
解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的图象在坐标平面内向左平移3个单位，再向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y＝（x﹣1+3）2+2+5，即y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11.
故答案为：y＝（x+2）2+7或y＝x2+4x+11（两种形式都可以）.
13.【答案】
解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为（2a，a-1）
设x=2a①，y=a-1②
①-②×2得，x-2y=2
∴y=x-1
14.【答案】
解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为 ，B点坐标为
设函数解析式为 ，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为 ，即
故答案为 ．
三、综合题
15.【答案】 （1）解：把（﹣1，0）、（0，3）、（1，4）代入 ，得
，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；
（2）解：把x=﹣2代入 ，得 .
16.【答案】 （1）解：由题意得
解之：
∴此函数解析式为：y=x2-2x-3
∴抛物线的对称轴为直线x=.
（2）解：∵a=1＞0
∴当x≤1时y随x的最大而减小.
17.【答案】 （1）解：∵抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），
∴a（﹣3+4）2＝2，解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x+4）2 ，
是由抛物线y＝2x2向左平移4个单位得到；
（2）解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣4；
（3）解：x＜﹣4时，y随x的增大而减小，
x＞﹣4时，y随x的增大而增大；
（4）解： 抛物线的顶点坐标为 ，
当 时，函数有最小值0.
18.【答案】 （1）解：设函数的解析式为y＝ax2+c，
将（1，5）和（﹣ ， ）分别代入函数解析式，得 .
解得 ，
故此二次函数的解析式y＝3x2+2；
（2）解：二次函数先向下平移4个单位得到：y＝3x2﹣2；
然后沿x轴翻折后解析式为：y＝﹣3x2+2.
此时P（0，2），A（ ，0），B（﹣ ，0），
所以S△AOP＝ × ×2＝ .
19.【答案】 （1）解：
∴该二次函数对称抽为 ；
（2）解：由 配方得：
∵
当 时
时，y取最小值， 时，y取最大值，即P点坐标为 ，
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
∴
即Q点坐标为 ；
当 时
时，取最小值， 时，y取最大值，
即P点坐标为
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
得
∴ 点坐标为 ，
∴ 时，所求坐标分别为 ，
时，所求坐标分别为 ， ；
（3）解：∵ ， 时，均满足
∴抛物线开口向下
点B关于二次函数 对称轴 的对称点为
∴
当 时，满足
∴ .
20.【答案】 （1）解：将点A(2， 4)与B(6，0)代入y=ax2+bx，
得 ，解得
（2）解：由(1)知，y= x2+3x
= (x-3)2+
∴点C的坐标为（3， ）
∴S△OBC=
1