高一上册期末提升卷（含解析）

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高一上册期末提升卷（含解析）
一、单选题
1．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．三个数 ， ， 的大小关系为（　　）．
A． B．
C． D．
3．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象经过点 ，则 的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．函数的图象最有可能的是（　　）
A．B．C． D．
6．已知函数 为偶函数，且在 上单调递减，则 的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．定义在 上的函数 的图象关于 对称，且 满足：对任意的 ， ，且 都有 ，且 ，则关于 的不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，其中，且恒成立，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列四个命题，其中正确的是（　　）
A． B．
C． 使得 D． ，使得
10．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（　　）
A．函数 的图象过定点
B．化简 的结果为25
C．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数a的取值范围是
D．若 （ ， ），则
11．已知函数，，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若，且的最小值为，则
C．若在上单调递增，则的取值范围为
D．当时，在有且只有3个零点
12．已知正实数，满足，则使方程有解的实数可以为（　　）
A． B．2 C． D．1
三、填空题
13．设，若，则的最大值为　 　
14．已知函数恰有3个零点，则的取值范围是　 　.
15．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是　 　．
16．已知函数 .当 ， 的最大值为 ，则 的最小值为　 　
四、解答题
17．求解下列问题：
（1）求值：；
（2）已知，求的值．
18．已知集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
19．已知函数 是 上的奇函数，且 .
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并加以证明；
（3）若实数 满足 ，求 的取值范围.
20．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示：
15 20 25 30
105 110 105 100
设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.
21．已知定义在 上的奇函数 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ） 若存在 ，使不等式 有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数 满足 ，且规定 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
22．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
（3）若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】【解答】由指数函数的性质可得： ，
由对数运算的性质可得： ，
据此可得： 。
故答案为：C.
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，再结合所比较的三个数与特殊值1和0的大小关系比较，从而找出三个数 ， ， 的大小关系。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：将函数 （其中 的图象向右平移 个单位长度，
所得图象对应的函数为 ，
再由所得图象经过点 可得 ，
所以 ，即 ， ，
所以 的最小值是2，
故答案为：C．
【分析】 根据函数y= Asin ( wx+φ)的图象变换规律，所得函数的解析式为 ，再根据正弦函数的图象的对称性，求得 的最小值.
4．【答案】B
【解析】【解答】.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，进而得出的值。
5．【答案】A
【解析】【解答】有意义可得，所以且，
所以且且，所以的定义域为，
又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，B，D不符合题意，
又，C不符合题意，
A符合函数的解析式，
故答案为：A.
【分析】根据函数的奇偶性可判断B，D；再比较的大小，可判断A，C.
6．【答案】B
【解析】【解答】由题意，函数 为偶函数，且在 上单调递减，
则 ，即 ，解得 ，且 ，
所以函数 的解析式为 ，
又由 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：B.
【分析】由函数 为偶函数，且在 上单调递减，求得 ，且 ，得到函数的解析式 ，进而可求解不等式 的解集.
7．【答案】B
【解析】【解答】因为对任意的 ， ，且 都有 ，
所以函数 在 上为减函数，且 ，
又由函数 的图象关于 对称，
所以函数 在 上为增函数，且 ，
当 时， ，满足 ；
当 时， ，满足 ；
当 时， ，不满足 ；
综上可得： .
故答案为：B.
【分析】由已知可得函数在上为减函数，且，结合函数的图像关于直线对称，可得 在 上为增函数，且，分类讨论可得答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：因为恒成立，且，即为函数的最大值可得：，所以：，解得：，又时，，且，则又因为 在区间上恰有3个零点 ，所以即
解得：，假设不存在，则或者解得：或者，
则根据补集的思想可得：存在时，，又，则，由此可得：故.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数的最大值为，从而得到：，在根据，算得，在根据，得到，在根据在区间上恰有3个零点，及正弦函数的图象得到：，在运用补集的思想解得：不存在时，或者，从而得到存在时，，又，则，进而即可求解.
9．【答案】A,B,C,D
【解析】【解答】 ，即 ，所以A符合题意；
，即 ，所以B符合题意；
当 时， ，所以C符合题意；
当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ABCD
【分析】对每个命题逐一检验证明其成立或举出反例判定该选项错误.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】解：对于A，函数 的图象过定点(1，-1) ，A错，
对于B， ，B对，
对于C，由 （ 且 ）在 上是减函数 ，
可得a>1 ，且2-a≥0 ，所以1对于D，令f(x)=2-x-lnx ，若2-x-2y>lnx-ln(-y) ，则2-x-lnx>2y-ln(-y) ，即f(x)>f(-y) ，又x>0，y>0 ， f(x)在(0，+∞)上单减，所以x<-y ，所以x+y<0， 故D对，
故选：BD.
【分析】根据对数函数的性质判断A，C，结合对数的运算性质判断B，根据函数的单调性判断D.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：函数 ， ，
A.若 ， ，将f(x)图象向左平移 个单位长度后得到 ，其图象关于原点对称，故正确；
B.若 ，且 的最小值为 ，则 ，故正确；
C. 当 时， ，若f(x)在 上单 单调递增，则 ，解得 ，故错误；
D.当 时， ，令 ，因为 ，所以 ，所以f(x) 在 有且只有3个零点，故正确；
故选： ABD
【分析】由 ，逐项判断.
12．【答案】A,B,C
【解析】【解答】，，，，
设，，明显地，单调递增
，，，，
，
令，，，，设，则有解，等价于与有交点，
明显地，单调递减，且，故，
故答案为：ABC
【分析】根据题意，化简为，设，，根据单调性，得到f (x)在x>0时，单调递增，故，得到代入 ，得到，令，得到， 再根据单调性，求出m的取值范围.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
因为，所以，故，
所以
故的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】由，得，即，再利用基本不等式即可求出 的最大值 。
14．【答案】
【解析】【解答】令，得；
令，得或，即或，
又，所以或或或，
因为恰有3个零点，
所以，当时，有3个零点，，；
当时，有3个零点，，；
所以的取值范围是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合函数零点求解方法，进而得出实数的取值范围。
15．【答案】
【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因为函数的图象与的图象关于x轴对称，
所以，
因为，所以，
又因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，令，得在上单调递增，所以，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故答案为：
【分析】利用已知条件结合余弦型函数的图象变换和函数的图象的对称性得到函数的解析式，再利用x的取值范围结合不等式的基本性质和在恰有2个零点，且，，进而得出的取值范围，再结合正弦型函数的图象判断单调性的方法得出函数在上单调递增，所以，再结合集合间的包含关系和
，进而得出实数的取值范围。
16．【答案】7
【解析】【解答】 ，
设 ，则 恒成立，函数单调递增，
故 ；
设 ，则 ，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 ，
则 ，故 ，当 时等号成立；
且 ，故 ，当 时等号成立.
综上所述： .
故答案为：7.
【分析】 ，设函数，根据单调性得到 ， ，分别计算最值得到答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和根式与指数幂的互化公式以及对数的运算法则，进而化简求值。
（2）利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而得出 的值 。
18．【答案】（1）解：由 得： ，
即 ， ，∴ ；
由 得： ，故 ，∴ ；
故 ．
（2）解：因为 ，故 ，
当 时， ，∴ ；
当 时， ∴ ，
∴实数 的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）先化简集合A,B,再求 ；（2）由题得 ，再把集合C分两种情况讨论得解.
19．【答案】（1）解：由已知得 ,
解得
（2）解：设 ，且 ，则
，
又
，
在 上单调递增。
（3）解：∵ ,
∴ ,
∵函数 为奇函数，
∴ ，
又函数 在 上为增函数，
，即
解得 .
∴实数 的取值范围为 .
【解析】【分析】（1）由函数为奇函数和 得到关于a,b的方程组，解得 后可得解析式；（2）用单调性的定义证明即可；（3）将原不等式化为 ，由于函数 是 上的增函数，可得 ，解得 即为所求。
20．【答案】（1）解：因为第15天的日销售收入为1057元，
所以，解得.
（2）解：由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.
而函数模型①；③；④都是单调函数，
所以选择函数模型②.
由，解得，，.
所以日销售量与时间的变化关系为.
（3）解：由（2）知
所以
即.
当，时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立.
当，时，单调递减，
所以.
综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合表中数据和代入法，进而得出实数k的值。
（2）利用已知条件结合函数建模的方法，进而得出函数的解析式。
（3） 由（2）知，所以，再利用分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法或函数的单调性求最值的方法，进而结合比较法得出函数 的最小值。
21．【答案】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数， ,
,
当 时， ,
此时 是奇函数成立.
；
（Ⅱ）任取 且 ，
，
,
上为减函数.
若存在 ，使不等式 有解，则 有解
，当 时， ， ,
（Ⅲ） ,
,
,
，且 也适合,
,
任意 ，不等式 恒成立,
,
令 ，
令 ,
任取 且 ，
，
当 时， ， 上为增函数.
当 时， ， 上为减函数.
时 即 ,
,
,
,
，且 ,
，同理 在 上是增函数，在 上是减函数.
时 , 的最大值为6.
【解析】【分析】（Ⅰ） 定义在 上的奇函数，所以利用特殊值 求解 ，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数 在 上单调递减，然后再根据单调性将 等价转化为 有解，即 ，求二次函数的最小值，即可解出实数 的取值范围. （Ⅲ）首先根据 ， ，解出 ，代入 得到解析式 ，令 ，（ ），则 ，利用基本不等式求最值求出 .
22．【答案】（1）解：由题意得，
.可得函数的最小正周期为
（2）解：因为，所以，
所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，所以整数m的最大值为4.
（3）解：由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于x的方程在区间上有解，整理得：
，即（*）在区间上有解，
，
因为，所以
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，
综上所述：k的取值范围为.
【解析】【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式结合两角和的正弦公式，整理化简由周期公式计算出结果即可。
(2)首先由角的取值范围结合正弦函数的单调性，即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围由此得出函数的最值。
(3)根据题意由诱导公式整理化简函数g(x)的解析式，然后由函数平移的性质以及正弦函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得出k的取值范围。
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