广东中山东升高中人教A版必修3精讲精练第三版(全稿)2009.1(pdf格式)
文档属性
| 名称 | 广东中山东升高中人教A版必修3精讲精练第三版(全稿)2009.1(pdf格式) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-08-10 10:19:00 | ||
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文档简介
新课标高中数学精讲精练
精讲精练
人教 A 版必修③
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
丛书主编 徐山洪
编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石 1 §1.1.1 算法的概念………………………………（01）
王庚儿 李剑夫 张志略 2 §1.1.2 程序框图………………………………（03）
马荣林 邓世疆 赵朝贤 3 §1.2 基本算法语句 I ………………………（05）
陈新权 刘会金 陈远刚 4 §1.2 基本算法语句 II…………………………（07）
李德明 王振芳 黄全顺 5 §1.3 算法案例…………………………………（09）
王福山 饶乘凤 关丽琼
6 第一章 算法初步 复习…………………………（11）
潘泽学 匡唐松 宾业河
谢凤仙 余扩益 高建彪
张天良 谢小毛 谢吉权 7 §2.1 随机抽样…………………………………（13）
张梅玲 陈上越 赵启锐 8 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布………（15）
饶胜文 周志明 李志敏 9 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体……………（17）
10 §2.3 变量间的相关关系 ………………………（19）
本册主编 赵鸿鸷
11 第二章 统计 复习………………………………（21）
主要编者 黎 强（第一章）
鲁元海（第二章）
万纯稳（第三章） 12 §3.1.1 随机事件的概率………………………（23）
校 审 谢凤仙 肖卫华 王家余 13 §3.1.2 随机事件的概率………………………（25）
蔡昌盛 赵颖 14 §3.2 古典概型…………………………………（27）
质量监督 0760 86853660 15 §3.3 几何概型…………………………………（29）
意见信箱 zssxzb@
16 第三章 概率 复习……………………………（31）
信息反馈 http://sx./nh
美术编辑 陆镜平
17 《算法初步》单元测试……………………（33）
18 《统计》单元测试…………………………（37）
开 本 890mm×1 240mm 16 开 19 《概率》单元测试…………………………（41）
印 张 4.5 20 必修③复习检测题一………………………（45）
字 数 60 000 21 必修③复习检测题二………………………（48）
印 数 3 001～4 400 册
版 次 2009 年 1月第 3 版
2009 1 3 第 1～16 练 答案 …………………………（ 51～57） 印 次 年 月第 次印刷
第 17～21 测试答案 …………………………（ 58～65）
本册成本 7.2 元
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 1 讲 §1.1.1 算法的概念
¤学习目标：使学生理解算法的概念，使学生正确理解算法的特征：概括性、逻辑性、有穷性、不
唯一性、普遍性. 并会设计一些简单的算法.
¤知识要点：算法的概念.
¤例题精讲：
【例 1】求两底面半径分别为 1 和 4 且高为 4 的圆台的表面积及体积，写出该问题的一个算法．
解： 算法设计如下：
第一步： r1 =1,r2 = 4,h = 4 ；
第二步： l = (r r 2 2 2 1 ) + h ；
第三步： S1 = π r1
2
， S2 = π r
2
2 ,S3 = π (r1 + r2 ) l ；
1
第四步： S = S1 + S2 + S 3 ， V = (S1 + S1S2 + S2 ) h ； 3
第五步：输出 S 和 V.
该算法的程序框图如右图：
1
点评：在算法设计时，也可以选公式 V = π (r 21 + r1r2 + r
2
3 2
) h .
【例 2】设计一个算法，求底面边长为 4，侧棱长为 5 的正四棱锥的侧面积及体积．
解：第一步： a = 4,l = 5 ．
2
第二步： R = a ．
2
第三步： h = l 2 R2 , S = a 2 ．
1
第四步： V = Sh ．
3
第五步：输出 V
h ' l 2 a
2
第六步： = ．
4
第七步： S = 2 a h ' ．
侧
第八步：输出 S ．
侧
a11x1 + a12x2 = b1 , (1)
【例 3】试写出求解二元一次方程组 的算法．
a21x1 + a22x2 = b2 , (2)
解：由于是二元一次方程组，故方程组中 a11, a2 1 不能同时为 0．
第一步，假定 a1 1 ≠ 0 ，如果 a1 1 = 0 ，可将第一个方程与第二个方程互换，
a2 1 a a21a12
x b a21b ① × +②得到： 1 22 2 = 2 ．
a1 1 a11 a1 1
a11x1 + a12x2 = b1 (3)
即方程组可化为 ，
(a11a12 a21a12 )x2 = a11b2 a21b1 (4)
a b a b
第二步，如果 a11a22 a21a1 ≠ 0 ，解方程④得到 x 11 2 21 1 2 2 = (5) a11a22 a21a1 2
a b a b
第三步，将⑤代人③，整理得到 x = 22 1 12 2 1 (6) a11a22 a21a1 2
第四步，输出结果 x1, x 2 ．
如果 a11a22 a21a1 2 = 0 ，则从④可以看出方程组无解或有无穷多组解．
点评：算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够重复使用，算法过程要能一步一步地执
行．
1
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练 §1.1.1 算法的概念
※基础达标
1．下列关于算法的说法中，正确的是（ ）.
A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果
C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止
2．下列运算中不属于我们所讨论算法范畴的是（ ）.
A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取 3 张扑克牌抽到 24 点的可能性
C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程 D. 加减乘除运算法则
3．下列语句表达中是算法的有（ ）.
①从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐飞机抵达；
1 1
②利用公式 S = ah 计算底为 1 高为 2 的三角形的面积； ③ x > 2x + 4 ；
2 2
④求 M(1，2)与 N( 3， 5)两点连线的方程可先求 MN 的斜率再利用点斜式方程求得．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4．算法：S1：输入 n；
S2：判断 n是否是 2：若 n = 2 ，则 n满足条件；若 n > 2 ，则执行 S3；
S3：依次从 2 到 n 1 检验能不能整除 n，若不能整除 n满足条件．
上述的满足条件是什么（ ）.
A. 质数 B. 奇数 C. 偶数 D. 约数
5．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷 水壶(2 min)、烧 水(8 min)、泡 面(3 min)、吃 饭(10 min)、
听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（ ）.
A. S1 洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
B. S1 刷水壶 、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭、S5 听广播
C. S1 刷水壶 、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭 同时 听广播
D. S1 吃饭 同时 听广播、S2 泡面、S3 烧水同时洗脸刷牙、S4 刷水壶
6．已知数字序列：2，5，7，8，15，32，18，12，52，8，写出从该序列搜索 18 的一个算法．
第一步：输入实数 a；
第二步： ；
第三步：输出 a．
n(n + 1)
7．写出求 1+2+3+4+5+6……+100 的一个算法，可运用公式 1+2+3+……+ n= 直接计算，
2
第一步 ；第二步 ；第三步, 输出计算结果.
※能力提高
8．已知直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，设计一个求该三角形周长的算法．
9．写出一个能找出 a、b、c、d 中最大数的算法．
※探究创新
10. 如图，汉诺塔（Hanoi）塔问题是指有 3 根杆子 A，B，C．B 杆上有若干碟子，把所有碟子从 B
杆移到 A 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把 B 杆上的 4 个碟子全部移
动 A 杆上，最少需要移动多少次，请设计一个具体的移动步骤.
A B C
2
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 2 讲 §1.1.2 程序框图
¤学习目标：使学生进一步理解算法的概念；使学生正确理解算法的特征，并会画算法框图.
¤知识要点：算法框图的三种结构：顺序结构，条件结构，循环结构.
¤例题精讲：
1 (x > 0)
【例 1】函数 y = 0 (x = 0) ，写出求该函数值的算法及程序框图.
1 (x < 0)
解： 算法如下：第一步：输入 x；
第二步：如果 x>0，那么使 y= l；如果 x=0，那么使 y=0；如果 x<0，那么使 y=1；
第三步：输出函数值 y．
程序框图如下图：
点评：对于分为三段（或三段以上）的函数求值值问题，往往需要用到条件
结构的嵌套.
【例 2】设计一个计算 10 个数的平均数的算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，令 S=0；
第二步，令 I=1；
第三步，输入一个数 G；
第四步，令 S=S+G；
第五步，令 I=I+1；
第六步，若 I>10，退出循环；若 I≤10，转到第三步；
第七步，将平均数 S/10 存放在 A中；
第八步，输出 A．
根据上述算法步骤，程序框图如右图所示：
【例 3】设计一个计算 1×3×5×…×99 的算法，画出程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步：设 i的值为 1；
第二步：设 sum的值为 1；
第三步：如果 i≤99执行第四步，否则转去执行第七步；
第四步：计算 sum×i 并将结果代替 sum；
第五步：计算 i＋2 并将结果代替 i；
第六步：转去执行第三步；
第七步：输出 sum的值并结束算法
程序框图如右图所示：
点评：累加、累积的问题往往用循环结构解决，关键是选择一个计数变
量，一个累加（累积）变量．
3
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.1.2 程序框图
※基础达标
1．算法的三种基本结构是（ ）.
A．顺序结构、流程结构、循环结构
B．顺序结构、分支结构、嵌套结构
C．顺序结构、条件结构、循环结构
D．流程结构、分支结构、循环结构
2．计数变量出现在算法结构中的哪种结构中（ ）.
A. 判断 B. 顺序 C. 条件 D. 循环
3．右边程序框图表示的算法是（ ）.
A. 输出 c,b,a B. 输出最大值
C. 输出最小值 D. 比较 a，b，c的大小
4．在 下面的程序框图中，若 输入的 x的值为5，则 输出的结果是（ ）.
A. x 是方程 2x2 3x 2 = 0 的根
B. x 不是方程 2x2 3x 2 = 0 的根
C. y≠0
D. 不输出任何结果
1
5．下面是求 (共 6 个 2)的值的算
2 1 +
2 +
O 1 +
2
法的程序框图．图中的判断框中应填（ ）.
A. i≤5 B. i<5 C. i≥5 D. i>5
6．右边的程序框图输出的 S 表示 ，
虚线框表示的结构是 .
7．阅读右边流程图，回答下列问题：
若 a > b > c ， 则输出 的数 ； 如果
a log 1 , b (1
1
= 3 3 = ) , c = 3 ，那么输出的数是 . 2 2
（用字母 a，b，c 填空）
※能力提高
8．设计算法，给定任一 x 的值，求 y 的值，其中
2x 1 (x ≤ 0)
y = ，画出程序框图．
x2 +1 (x > 0)
9．试写出解不等式 ax+b>0 (a≠0)的程序框图．
※探究创新
10. 相传古印度国王舍罕要褒赏宰相达依尔(国际象棋发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只
要在国际象棋的棋盘第一格上放一粒麦子，第二格放二粒麦子，第三格放四粒， 以后按比例每一格加一
倍，一直放到第 64 格(国际象棋棋盘是 8×8=64格)．”现在我们来算一下，需要多少体积的小麦( 1m 3 约有
1.42× 108 颗)？请设计一个算法，画出程序框图．
4
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 3 讲 §1.2 基本算法语句Ⅰ
¤学习目标：使学生正确理解并掌握输入、输出、赋值基本算法语句的结构、用法、功能.
¤知识要点：三个基本算法语句：输入、输出语句和赋值语句.
¤例题精讲：
【例 1】设计算法求点 P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By +C = 0 的距离 d ，画出程序框图，并写出程序．
解：第一步：输入点的坐标 (x0 , y 0 ) ，输入直线方程的系数和常数 A，B，C；
第二步：计算 z 2 2 1 = Ax0 + By0 + C ； 第三步：计算 z2 = A + B ；
| z |
第四步：计算 d = 1 ； 第五步：输出 d．程序框图如右：
z 2
程序如下：INPUT x0，y0，A，B，C
z1=A*x0+B*y0+C
z2=A^2+B^2
d=ABS(z1)／SQR(z2)
PRINT d
END
点评：( 1)编写程序的关．键． 在 于搞清问题的算法，然 后确定采取哪一种算法语句．
a
(2)书写程序时注意常见运算符号的书写方式，如 a^b( a b )；a*b( a× b )；a／b( )；SQR(x)( x )等.
b
【例 2】编写一个程序，求用长度为 l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时所围成的正方形和圆
的面积．要求输入 l的值，输出正方形和圆的面积(“π 取 3.14)．
解：INPUT“l=”；l
Sl=(l*l)／16
S2=(l*l)／(4*3.14)
PRINT “正方形面积为”；S1
PRINT “圆面积为”；S2
END
【例 3】对于任意的实数 a，b，定义一种运算 a* b = a3 a2b + ab2 + b 3 ，试设计一个程序，能够验
证该运算是否满足交换律．
分析：只需验证 a* b = a3 a2b + ab2 + b 3 与 b* a = b3 b2a + ba2 + a 3 是否相等.
解：INPUT “a,b=” a,b
M=a*a*a a*a*b+a*b*b+b*b*b 开始
PRINT “a*b=” m
x=a
a=b 输入 x,y
b=x
M=a*a*a a*a*b+a*b*b+b*b*b x=x/2
PRINT “b*a=” M
END
4 y=3*y 【例 】以下是一个用基本语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框
图．
INPUT "x,y="；x,y 输出 x,y
x=x/2
y=3*y 分析：该程序主要利用了输入语句、赋值语句和输
PRINT x,y x=x y 出语句进行算法描述，只要按顺序从上到下将输入
x=x y
y=y 1 语句，赋值语句、输出语句表达的内容填入相应的 y=y 1
PRINT x，y 程序框即可.
END
解：程序框图如右图所示. 输出 x,y
结束
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练 §1.2 基本算法语句Ⅰ
※基础达标
1．右边的程序运行时输出的结果是（ ）. A=3
A. 12，5 B. 12，21 C. 12，3 D. 21，12 B=A*A
2．下列程序运行后，输出的结果分别为（ ）. A=A+B
（1）a=3 （2）a=3 B=B+A
b=－5 b=－5 PRINT A,B
c=8 c=8 （第 1 题）
a=b a=b
b=c b=c
PRINT a，b，c c=a
END PRINT a，b，c
END
A.（1）－5 8 8；（2）－5 8 －5 B.（1）－5 8 －5；（2）－5 8 8
C.（1）－5 8 8；（2）－3 8 －5 D.（1）－5 8 －3；（2）－5 8 8
3．已知 A(x1, y1),B(x2 , y 2 ) 是平面上的两点，试设计一个程序，输入 A，B 两 INPUT x1,y1
点的坐标，输出其中点的坐标. 现已给出程序的一部分．试在横线上填上适当的
. INPUT x2,y2 语句，把程序补充完整 下列补充正确的是（ ）.
A. ①x=(x1+y1)/2；②y=(x2+y2)/2 B. ①x=x1+x2；②y=(y1+y2)/2 ①
C. ①x=(x1+x2)/2；②y=(y1+y2)/2 D. ①x=(x1+x2)/2；②y=y1+y2 ②
4．Input x PRINT x,y
y=x*x*x 2*x+1 END
PRINT y
END
程序运行后，输入 4，则输出（ ）.
A. 57 B. 64 C. 67 D. 71
5．INPUT a
b=a＼10 a／10+a MOD 10
PRINT b
END 若 a=35，则程序运行后的结果是（ ）.
A. 4.5 B. 3 C. 1.5 D. 不同于上面的数
6．在程序语言中，下列符号“ * 、＼ 、∧ 、SQR（ ）、ABS（ ）” 分别表
示运算 、 、 、 、 .
7．INPUT R,a
s1=a*a
S=3.14*R*R s1
PRINT s
END 结合右图，指出该程序的功能为 .
※能力提高
8. 对于平面直角坐标系中给定的两点 A(a，b)，B(c，d)，编写一个程序，要求输入两点的坐标，输
出这两点间的距离．
9．写出求 1+2+3+…＋100 的值的一个程序.
※探究创新
10.某地电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过 3 min，则收取通话费 0.22 元；如果
通话时间超过 3 min，则 超过部分以每分钟 0.1元收取通话费，不 足 1 min按 1 min计．设 通话时间为 t(min)，
通话费用为 y 元，如何设计一个计算通话费用的算法 编写一个程序，并画出程序框图．
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 4 讲 §1.2 基本算法语句Ⅱ
¤学习目标：使学生正确理解并掌握条件、循环算法语句的结构、用法、功能.
¤知识要点：条件语句和循环语句的两种形式.
¤例题精讲：
1 (x > 0)
【例 1 】已知函数 y = 0 (x = 0) ，编程序，输入 x 的值，输出
1 (x < 0)
相应的函数值．
解：程序框图如图，程序为：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y= 1
END IF
END IF
PRINT y
END
点评：一般地，在求分段函数的函数值时，都可采用条件语句进行算法设计.
【例 2】编写一个程序计算 12 + 32 + 52 +L + 999 2 ,并画出相应的程序框图．
解：程序框图如右：
程序如下：
s=0
i=1
DO
s=s+i^2
i=i+2
LOOP UNTIL i>999
PRINT s
END
点评：本题是一个累加求和问题，自然想到用循环结构设计算法，本题还可
以用当型循环语句描述.
【例 3】某玩具厂 1996 年的生产总值为 200 万元，如果年生产增长率为 5%，计算最早在哪一年生产
总值超过 300 万元.
解：程序框图如图所示： 开始
程序为：
n=1996 n=1996,p=1.05,a=200
p=1.05
a=200 a=a*p
DO
a=a*p
n=n+1 n=n+1
LOOP UNTIL a>300
PRINT n a>300
END
点评：从 1996 年底开始，经过 x 年后生产总值为 200× (1+ 5%) x ,因
输出 n
此可将 1996 年生产总值赋给变量 a，然后对其进行累乘，用 n 作为计数
变量进行循环，直到 a 的值超过 300 万元为止. 结束
7
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 §1.2 基本算法语句Ⅱ
※基础达标 1 1 1
1 7.现欲求 1 + + +L + 的和(其中 n的值 ．写出下列程序的运行结果． 3 5 2n 1
(1)INPUT a (2)INPUT x
IF a>=0 THEN IF x<10 THEN
PRINT SQR(a) P=x*1.2
ELSE ELSE
P=x*1.1
PRINT “是负数”
END IF
END IF
PRINT P
END END
输入-4,输出结果为 ； 若 x=6,则 P= ；
输入 9,输出结果为 ． 若 x=11,则 P= ．
2．将下列程序框图补充完整．
(1) 输入两个数，输出 (2)判断输入的任意数x的
由键盘输入)，已给出了其程序框图(如上)，请将其
其中较大的一个数 奇偶性
INPUT a,b INPUT x
补充完整：① ；② .
IF a>b THEN m=x MOD 2 ※能力提高
PRINT a IF THEN 8．某玩具厂 1996 年的生产总值为 200万元，
PRINT“x 是奇数”
ELSE 如果年生产增长率为 5％，计算最早在哪一年生产 ELSE
PRlNT“x是偶数” 总值超过 300 万元．请 画出直到型循环结构的程序
END IF END IF 框图，并编写出相应程序.
END END
3．根 据下列程序，可 知输出的结果 S为（ ）.
I=1
WHILE I<8
I=I+2
S=2*I+3
WEND
PRINT S
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
4．i=0: S=0
WHILE S<=20
S=S+i 9．高一(2)班共有 40 名学生，每次考试数学
i=i+1 老师总要统计成绩在 85 分～100 分，60分～85 分
WEND 和 60 分以下的各分数段人数．请你帮助数学老师
PRINT i 设计一个程序，解决上述问题，并画出程序框图．
END 该程序运行结果为（ ）.
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
5. t=1
i=2
WHILE i<=5
t=t*i
i=i+1
WEND
PRINT t
END 该程序运行结果为（ ）.
A. 100 B. 120 C. 160 D. 200
6. INPUT x
IF x<10 THEN
P=x*0.35
ELSE ※探究创新
P=10*0.35+(x 10)*0.7 10．某商店对顾客购买货物款数满 500 元，减
END IF 价 3％，不足 500元不予优惠，设计程序，输入一
PRINT P 顾客的购物的货款，计 算并输出这个顾客的实交货
END若x=6，则 P= ；若 x=18，则 P= ． 款．
8
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 5 讲 §1.3 算法案例
¤学习目标：使学生掌握辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法，正确设计算法实现不同进制的转
化.
¤知识要点：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、不同进制的转化.
¤例题精讲：
【例 1】用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
解：用辗转相除法：80=36×2+8，36=8×4+4，8=4×2+0； 用更相减损术检验：80 36=44，44 36=8，
36 8=28，28 8=20，20 8=12，12 8=4，8 4=4．故 80和 36 的最大公约数是 4．
点评：辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术
是当大数减去小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数.
【例 2】给定一个年份，写出该年是不是闰年的算法，程序框图和程序．
解：(一)算法
S1：输入一个年份 x
S2：若 z 能被 100 整除，则执行 S3 否则执行 S4
S3：若 x 能被 400 整除，则 x 为闰年，否则 x 不为闰年
S4：若 x 能被 4整除，则 x 为闰年，否则 x不为闰年
(二)程序框图如右：
(三)程序如右： INPUT x
IF x mod 100=0 THEN
IF x mod 400=0 THEN
PRINT “x 是闰年”
ELSE
PRINT “x 不是闰年”
END IF
ELSE
IF x mod 4=0 THEN
PRINT “x 是闰年”
ELSE
PRINT “x 不是闰年”
END IF
END IF
END
【例 3】将八进制数 314 706 (8) 化为十进制数．
解：314 706 = 3×85 +1×84(8) + 4×8
3 + 7×82 + 0×81 + 6× 8 0 =104 902．
∴化成十进制数为 104 902.
点评：(1)将 k 进制数化为十进制：先把 k 进制数写成用各位上的数字与 k 的幂的乘积的形式，再按
照十进制的运算规则计算出结果．(2)将十进制化为 k进制：除 k 取余法.
【例 4】用秦九韶算法求 f (x) =1+ x + 0.5x2 + 0.16667x3 + 0.04167x4 + 0.00833 x 5 在 x= 0.2 的值．
解： f ( x ) = 1 + x + 0. 5 x 2 + 0. 1 6667 x 3 + 0. 0 4167 x 4 + 0 .0 0833 x 5
= ((((0.00833x + 0.04167)x + 0.16667)x + 0.5)x +1)x + 1 ，
而 x= 0.2，所以有
v0 = a5 = 0.00833,v1 = v0x + a 4 = 0.04 ，
v2 = v1x + a3 = 0.15867,v3 = v2x + a. 4 = 0.46827 ，
v4 = v3x + a1 = 0.90635,v5 = v4x + a0 = 0.81873 ．
即 f ( 0.2) = 0.81873 ．
点评：用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算.
9
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §1.3 算法案例
※基础达标
1．两个整数 490 和 910 的最大公约数是（ ）.
A. 2 B. 10 C. 30 D. 70
2．用秦九韶算法计算多项式 f (x) = 3x6 + 4x5 + 5x4 + 6x3 + 7x2 + 8x + 1 当 x=0.4 时的值时，需要做乘
法和加法的次数分别为（ ）.
A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5
3．将二进制数 10101（2）化为十进制为（ ）.
A．21 B. 20 C.19 D. 18
4．用更相减损术可求得 78 与 36 的最大公约数是（ ）.
A．24 B．18 C．12 D．6
5．117 与 182 的最大公约数等于 ．
6．四进制数 10 101 (4) 转换成十进制数为 ．
7．将 3 344化为七进制数等于 ．
※能力提高
8．用秦九韶算法计算多项式 f (x) = x6 12x5 + 60x4 160x3 + 240x2 192x + 64 当 x=2 时的值．
9．试求四个数 84，108，132，156 的最大公约数．
※探究创新
10. 在什么进位制中，十进制数 71 记为 47
10
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 6 讲 第一章 算法初步 复习
¤学习目标：了解算法概念，理解三种基本逻辑结构，能画出程序框图，能用算法语句编写程序；
掌握四种算法案例.
¤例题精讲：
【例 1】韩信是秦末汉初的著名军事家. 据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问
韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数. 韩信先令士兵排成了 3 列纵队进行操练，结
果有 2 人多余；接着他立刻下令将队形改为 5列纵队，这一改又多出 3 人；随后他又下令改为 7 列纵队，
这一次又剩下 2 人无法成整行. 由此得出共有士兵 2333 人. 如何用现在的算法思想分析这一过程？
解：第一步： m = 2 ；
第二步：若m除以 3 余 2，则执行第三步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第三步：若m除以 5 余 3，则执行第四步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第四步：若m除以 7 余 2，则执行第五步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第五步：输出m .
1 1 1 开始
【例 2】对任意正整数 n，设计一个求Ｓ＝ 1 + + +L + 的
2 3 n 输入 n
程序框图，并编写出程序.
解：INPUT “n”；n i=1
i=1 sum=0
sum=0 i=i+1
WHILE i<=n 是
sum=sum+1/i i<=n sum=sum+1/i
i=i+1 否
WEND
PRINT sum 输入 sum
END
结束
点评：本题也可用 UNTIL语句，判断条件为 i>n.
【例 3】（ 1）计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”， 如 (1101) 2 表示二进
制数，将它转换成十进制形式，是 1× 23 +1× 22 + 0×21 +1× 20 = 13，那么将二进制数 (1121L31 ) 2 转换成十
16
进制形式是（ ）.
A. 217 2 B. 216 2 C. 216 1 D. 215 1
（2）把二进制数 11011.101( 2) 化为十进制数为 .
16
解：（ 1） (1121L1 )
15 14 1 0 1 2 16
3 2 =1×2 +1× 2 + +1× 2 +1×2 = = 2 1 ，所以选 C.
16 1 2
（2） 11011.101 =1× 24 +1× 23 + 0× 22 +1× 21 +1× 20 +1× 2 1 + 0× 2 2(2) +1× 2
3 = 27.625 .
点评：进制的换算是数学与计算机科学联系的一个桥梁，进制的对
开始
应关系表及“除 k 取余法”是进制换算的关键. 小数也可利用上述方法
进行不同进位制之间的互化 n=1,t=0
【例 4】某班 50 人参加考试. 请设计一个算法统计出 80 分以上的
人数，并画出程序框图 输入 m
解：n=1
t=0 是 m>=80
DO
INPUT m t=t+1 否
IF m>=80 THEN
t=t+1 n=n+1
ENDIF 是
n=n+1 n>50
LOOP UNTIL n>50 否
PRINT t 输出 t
END
点评：本题关键是选择一个计数变量和一个累加变量． 结束
11
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 第一章 算法初步 复习
※基础达标
1．将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是（ ）.
A. B. c = b C. D. a=c
a=b b=a
b=a c=b
b=a a=b
a=c b=a S=0
2 i=1 ．给出以下四个问题,①输入一个数 x,输出它的相反数.②求面积为 6 的 DO
x 1, x ≥ 0
正方形的周长.③求三个数a,b,c中的最大数.④求函数 f (x ) = INPUT x 的函
x + 2, x < 0 S=S+x
数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有（ ）. i=i+1
A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 LOOP UNTIL _____ 个 a=S/20
3. 右图中是一个求 20 个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为 PRINT a
（ ）. END
A. i>20 B. i<20 C. i>=20 D. i<=20 第 3 题
4. 将 389 化成四进位制数的末位是 （ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已
知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文 a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文 1，2，3，4 对应密文 5，
7，18，16. 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为（ ）.
A. 4，6，1，7 B. 7，6，1，4 C. 6，4，1，7 D. 1，6，4，7
6. 今天是星期二，再过 42（7）天是星期 .
7. 如右图程序运行后输出的结果为_________________________. x=5
※能力提高 y= 20
8．用 辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数. IF x<0 THEN
x=y 3
ELSE
y=y+3
END IF
PRINT x y；y x
END
第 7 题
9. 设计一个计算 1+2+3+…+100的值的算法，并画出相应的程序框图.（要求用循环结构）
※探究创新
10．意大利数学家菲波拉契，在 1202 年出版的一书里提出了这样的一个问题：一对兔子饲养到第二
个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月
成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔. 问这样下去到年底应有多少对兔子 试画出解决此问
题的程序框图，并编写相应的程序.
12
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 7 讲 §2.1 随机抽样
¤学习目标：理解三种随机抽样的概念，弄清它们各自的特点及步骤. 会用它们从总体中抽取样本.
¤知识要点：
类别 共同点 特点 联系 适用范围
简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少
每个个
将总体均分成几部分，
体被抽 起始部分采用简单
系统抽样 按事先确定的规则在 总体中个体数较多
取的可 随机抽样
各部分中抽取
能性相
将总体分成几层，分层 各层抽样时采用简 总体由差异明显的几
分层抽样 等.
进行抽取 单抽样或系统抽样 部分组成
¤例题精讲：
【例 1】现有 30 个机器零件，需从中抽取 10 个零件进行检查，问如何采用简单随机抽样得到一个容
量为 10 的样本
解法 1：(抽签法)
第一步：将 30 个机器零件编号为 1，2，3，…，30；
第二步：把号码写在形状大小相同的号签上；
第三步：将 30 个号签放在同一个箱子里，并充分搅匀；
第四步：抽取一个号签，记下上面的号码，然后再把剩余的搅拌均匀；
第五步：重复第四步直到取得 10 个号码，这样就得到一个容量为 l0 的样本．
解法 2：(随机数法)
第一步：将 30 个机器零件编号为：00,01，02，…29；
第二步：运用课本第 95 页给出的随机数表，任意选取一个数，如选第 7行第 3l 列的数 2；
第三步：从选定的数 2 开始向右读，得到一个两位数 21，由于 2l<29，则号码 21 在总体内，将它取
出；继续向右读，如果得到的 2 位数不大于 29 且不与前面的数重复，就把它取出，否则就跳过不取，取
到一行末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去，直到得
出在 00 到 29 之间的 10 个两位数：21，25，12，06，01，16，19，l0，07，29．
点评：(1)用抽签法抽样关键是将号签搅匀；(2)用随机数法抽样时编号位数必须一致；(3)在用随机
数法抽样的过程中起始数和读数的方向都是任意的.
【例 2】为了了解某大学一年级新生数学学习情况，拟从 503 名大学一年级学生中抽取 50 名作为样
本，如何采用系统抽样法完成这一抽样
分析：由题设条件可知总体的个数为 503，样本的容量为 50，不能整除，可采用随机抽样的方法从
总体中剔除 3 个个体，使剩下的个体数为 500 能被样本容量 50 整除，然后再采用系统抽样的方法.
解：第一步，将 503 名学生用随机编号为 1,2,3,…，503.
第二步，用抽签法或随机数法，剔除 3 个个体，这样剩下 500 名学生，对剩下的 500 名学生重新编
号，或采用补齐号码的方式.
500
第三步，确定分段间隔 k, k = = 10 ，将总体分为 50 个部分，每一部分包括 10 个个体，这时，第
50
1 部分的个体编号为 1,2,3,…，10；第 2 部分的个体编号为 11,12,13,…,20；以此类推，第 50 部分的个体
编号为 491,492,…,500.
第四步，在第 1 部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，比如是 3.
第五步，依次在第 2 部分，第 3 部分，…，第 50 部分，取出号码为 13,23,…,493,这样得到一个容量
为 50 的样本.
点评：总体中的每个个体，都必须等可能地入样，为了实现“等距离”入样且又等概率，因此应先
剔除，再“分段”， 后定起始位，采用系统抽样，是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为的误差.
【例 3】某校有在校高中生共 1600 人，其中高一学生 520 人，高二学生 500 人，高三学生 580 人，
如果想通过抽查其中的 80 人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低、消费睛况有明显差别，而
一年级内消费情况差异较小，问应采用怎样的抽样方法 高三学生中应抽查多少人
解：因年级不同的学生消费水平有明显差异，所以应采用分层抽样．因为 520：500：580=26：25：
29，于是将 80 按比例分成 26：25：29 的三部分，设三部分各抽取个体数分别为 26x，25x，29x，由
26x+25x+29x=80，得 x=1，所以高三学生中应抽查 29人.
点评：总体由差异较明显的个体构成的问题适合分层抽样法．
13
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §2.1 随机抽样
※基础达标
1．简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是（ ）.
A. 都是从总体中逐个抽取
B. 将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取
C. 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等
D. 将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
2．(1)某社区有 400 户家庭，其中高收人家庭有 25 户，中等收入家庭有 280 户，低收入家庭有 95
户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 的样本.
(2)从 10 名职工中抽取 3名参加座谈会．
I简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．
以上问题与抽样方法匹配正确的是（ ）.
A. (1)Ⅲ，(2)I B . (1)I，(2)Ⅱ C. (1)Ⅱ，(2)Ⅲ D. (1)Ⅲ，(2)Ⅱ
3．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一位置取
出一件检验则这种抽样方法是（ ）.
A. 简单的随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 以上答案均不对
4．某学校有高中学生 900人，其中高一有 400人，高二有 300人，高三有 200人，采用分层抽
样抽取容量为 45的样本，则高一、高二、高三抽出的学生人数分别为（ ）.
A．25，15，5 B．20，15，10 C．30，10，5 D．15，15，15
5．总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽取的概率为 0.25，则 N
为（ ）.
A．150 B．200 C. 120 D. 100
6．为了了解某地参加高中数学竞赛的 3008名学生的成绩，从中抽取了 100名学生的成绩进行
统计分析，运用系统抽样方法抽取样本，每组的容量为 .
7．某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现在用分层抽样的
方法抽取一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本容量为 .
※能力提高
8. 设计一个抽样方案，把从 1003 个学生的总体中，选取一个容量为 20 的样本.
9．某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人，上级
机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取容量为 20 的样本．试确定用什么方法抽取为佳，具体怎样
实施
※探究创新
10．某单位有技术工人 18 人，技术员 12 人，行政人员 6 人，现需从中抽取一个容量为 n的样本，
如果采用系统抽样或分层抽样，都不需要剔除个体，如果样本容量为 n+1，则在系统抽样时，需要从总体
中剔除一个个体，求 n 的值．
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 8 讲 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
¤学习目标：1．会用频率分布表或分布直方图或茎叶图这三种方式估计总体分布.
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
¤知识要点：
1．用频率分布表、频率分布直方图和茎叶图估计总体分布．
2．能应用相关知识解决简单的实际问题．
¤例题精讲：
【例 1】某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，8l，75，91，86，89，7l，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 甲 乙
画出两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较． 5 6
分析：用中间的数字表示两位同学得分的十位数和百位数．两边的数 6 5 1 7 9
字分别表示两人每场数学考试成绩的个位数. 9 8 6 1 8 3 6 8
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图 1． 5 4 1 9 3 8 8 9
从这个茎叶图上可以看出. 乙同学的得分情况是大致对称的，中位 7 10 13
0 11 4
数是 98；甲 同学的得分情况除一个特殊得分外．也 大致对称，中 位数是 88．因
图 1
此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.
【例 2】在育才中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个班参赛学生的成绩（得分的整数）进行整理
后分成五组，绘制出如下的频率分布图直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频
率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数为 40.
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； 频率/组距
（2）求这两个班参赛的学生人数.
分析：根据图中所有长方形的面积之和为 1，可求得第二小组的频
率，从而可求出第二小组的“频率/组距”， 从而补全直方图.
解：(1)因为各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五组的频率
分 别 是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， 所 以 , 第 二 小 组 的 频 率 为
1.00 (0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40．
因为第二小组的频率为 0.40，所以落在 59.5～69.5的第二组的小 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 分数
长方形的高=频率/组距=0.4/10=0.04，由此可补全直方图(如图中阴影部分)
(2)设高一两个班参赛的学生人数为 x人，因为第二小组的频数为 40，频率为 0.40，所以 40/x=0.40，
得 x=100 人.
【例 3】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.
寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
个 数 20 30 80 40 30
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在 100～400 h以内的在总体中
占的比例；（4）估计电子元件寿命在 400 h以上的在总体中占的比例.
解：（1）样本频率分布表如右.
（2）频率分布直方图如下. 寿命（h） 频 数 频 率
频率 100～200 20 0.10
组距
0.005 200～300 30 0.15
100～200
0.004 300～400 80 0.40
200～300
0.003 400～500 40 0.20 300～400
0.002 400～500 500～600 30 0.15
500～600 合 计 200 1
0.001
0
寿命(h)
（3）元件寿命在 100 h～400 h以内的在总体中占的比例为 0.65.
（4）估计电子元件寿命在 400 h以上的在总体中占的比例为 0.35.
点评：先求数据分布在各个小组的个数，通过五步“求极差→决定组距与组数→将数据分组→列频
率分布表→画频率分布直方图”得到频率分布直方图，利用图中各长方形的面积可以形象地表示频率，
各长方形的总面积和为 1. 连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图.
15
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
※基础达标
1．一个容量为 100的样本分成若干组，已知某组的频率为 0.4，则该组的频数为（ ）.
A . 4 B. 40 C. 10 D. 400
2．在频率分布直方图中，各小长方形面积就是相应各组的（ ）.
A. 频率 B. 频数 C. 组距 D. 频率/组距
3．一个容量为 40 的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，
10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8]，4；则样本在[25,25.9) 上的频率为（ ）.
3 1 1 1
A. B. C. D.
20 10 2 4
4．（2005 浙江)从存放号码分别为 1，2．…，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100次．每次取一张
卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到的号码为奇数的频率是（ ）.
A. 0.53 B. 0.5 C. 0.47 D. 0.37
5．(2004 江苏)某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50名学
生．得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据．结果用右侧的条形图
表示．根据条形图可得这 50 名这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.
A. 0.6 小时 B. 0.9 小时 C. 1.0 小时 D. 1.5小时
6．用一个容量为 200 的样本制作频率分布直方图时，共分 13 组，组距
为 6，起始点为 10，第 4 组的频数为 25，则直方图中第 4 个小矩形的面积为 .
7．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组，抽查出的个体在该组上
的频率为 m，该组上的直方图的高为 h，则|a－b|= .
※能力提高
8．从高三学生中抽取 50 名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90) ，12；[90,100]，8．
（1）列出样本的频率分布表(含累计频率)； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60,90)分的学生比例； （4）估计成绩在 85 分以下的学生比例．
9．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出
了频率分布表如下：
组 别 频数 频率
145.5～149.5 1 0.02
149.5～153.5 4 0.08
153.5～157.5 20 0.40
157.5～161.5 15 0.30
161.5～165.5 8 0.16
165.5～169.5 m n
合 计 M N
（1）求出表中 m、n、M、N 所表示的数分别是多少？
（2）补充频率分布直方图.
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 9 讲 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体
¤学习目标：
1．会从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释.
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
¤知识要点：众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法.
¤例题精讲：
【例 1】报道，某公司的 33 名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
（1）求该公司职工月工资的平均数，中位数，众数.
（2）假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那
么新的平均数，中位数，众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
x 1500 4000 + 3500 + 2000× 2 +1500 +1000×5 + 500×3 + 0× 20 解：（ 1）平均数是 = + ≈ 2090 （元），
33
中位数是 1500 元，众数是 1500 元.
x ' 1500 28500 +18500 + 2000× 2 +1500 +1000×5 + 500×3 + 0× 20 （2）平均数是 = + ≈ 3288 （元），
33
中位数是 1500，众数是 1500
（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映公司员工的工资水平. 因为公司中少数人的工资额与与
大多数人的工资额差别较大，这样导致平平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司工资
水平.
点评：平均数受个别数据影响大
【例 2】从一批机器零件毛坯中随机抽取 20 件，称得它们的质量如下（单位：kg）：
210 208 200 205 202 218 206 214 215 207
195 207 218 192 202 216 185 227 187 215
计算样本平均数（结果保留到个位. ）
1
解法一： x = (210 + 208 +L + 215) ≈ 206(kg ) .
20
即样本平均数为 206kg. 于是可以估计，这批机器零件毛坯平均每件重 206kg.
解法二：由于本例中样本数据较大，而且都在 200 左右波动，这时，也可以采用下面的算法.
将上面各数据同时减去 200，得到一组新数据：
10 8 0 5 2 18 6 14 15 7
5 7 18 8 2 16 15 27 13 15
1
计算这组新数据的平均数得： x ' = (10 + 8 +L +15) ≈ 6 ，于是所求平均数是： x = x ' + 200 ≈ 206
20
【例 3】甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
解：（1） x 1 甲 = (25 + 41+ 40 + 37 + 22 +14 +19 + 39 21
1
+ + 42) = ×300 = 30(cm ) ,
10 10
x 1 乙 = (27 +16 + 44 + 27 44 16 40 40 16 40)
1
+ + + + + + = × 310 = 31 .
10 10
∴ x甲 < x乙 ，即乙种玉米的苗长得高.
1
（2） s 2 = 104.2(cm 2 ) ， s 2 = [(2× 272 + 3×162 + 3× 402 + 2× 442 2 甲 乙 ) 10× 31 ] = 128.8(cm
2 ) .
10
∴s 2 < s 2 甲 乙 ，即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐.
17
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体
※基础达标
1. 数据 70，71，72，73 的标准差是（ ）.
5 5
A. 2 B. C. 2 D.
4 2
2．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（ ）.
A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变
3．(2005 江苏)在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9,9.6,9.4，
9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）.
A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016 C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016
4．在一次数学测验中，某小组 14名学生分别与全班的平均分 85分的差是：2，3， 3， 5，12，12，
8，2， 1，4， 10， 2，5，5，那么这个小组的平均分是（ ）.
A．97.2 B．87.29 C．92.32 D．82.86
5．若 样本数据 x1 + 1 ，x 2 + 1 ，… ，x n + 1 的平均数是 10，方 差是 2，那 么对于样本数据 x1 + 2 ，x 2 + 2 ，… ，
x n + 2 有（ ）.
A. 平均数为 l0，方差为 2 B. 平均数为 11,方差为 3
C. 平均数为 11，方差为 2 D. 平均数为 14，方差为 4
6．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击 5 次，成绩如下表（单位：环）
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的应是 .
7. 数据 a ，a ，a ，…，a 的方差为σ2 ， 1 2 3 n 平均数为μ，则
（1）数据 ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，kan+b（kb≠0）的标准差为 ，平均数为 .
（2）数 据 k（ a1+b），k（ a2+b），k（ a3+b），… ，k（ an+b）（kb≠0）的 标准差为 ，平 均数为 .
※能力提高
8．在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下.
甲的得分：14，17，25，26，30，3l，35．37，38，39，44，48，51,53，54；
乙的得分：6，15，17，18，2l，27，28，33，35，38，40，44，56.
（1）用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数；
（2）根据(1)中所求的数据分析甲、乙两名运动员哪一位发挥得更加稳定.
9．下面是某工厂所有工作人员在某个月的工资情况：总经理 6000 元，技术工人 900 元，技术工人
乙 800 元. 杂工 640元，服务员甲 700元，服务员乙 640 元，会计 820 元．
(1)计算所有工作人员的平均工资； (2)去掉总经理后再计算平均工资；
(3)在(1)和(2)两种平均工资中，哪一种更能代表一般工人的收入水平 为什么
※探究创新
10．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了 6 次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的
数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适.
18
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第10讲 §2.3 变量间的相关关系
¤学习目标：1．了解相关关系与函数关系的异同点；
2．能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系，会画散点图.
¤知识要点：1.判别两变量间的相关关系；2.会求回归直线
¤例题精讲：
【例1】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知 y对 x 呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归方程； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少
5
∑ xi yi 5 xy
解：(1) b = i =1 112.3 5× 4× 5 5 = 2 = 1.230 ，
∑ x 2 5 x 2 90 5× 4 i
i =1
a = y bx = 5 1.230×4 = 0.080 .
∴线性回归方程为： y = bx + a =1.230x + 0.080 .
(2)当 x = 10 时， y =1.23×10 + 0.08 = 12.38 (万元),即估计使用 l0 年时维修费用是 12.38万元.
【例 2】在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 y与腐蚀时间 x之间相应的一组观察值如
下表：
x / s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
y / m 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出表中数据的散点图；(2)求回归方程；(3)试预测腐蚀时间为 l00s 时腐蚀深度是多少．
解：（ 1）散点图如右.
（2）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的
附近，因此，可用相关公式求出回归方程的系数．根据相关公
式求腐蚀深度 y对腐蚀时间 x的回归方程的步骤如下：
第一步：计算 a，b 的值．
510 214
由上表分别计算 x,y 的平均数得： x = , y = ,
11 11
13910 11 510 214 × ×
b 11 11 0.304 a 214 0.304 510 代入相关公式得 = ≈ , = × ≈ 5.346 .
36750 11× (510 ) 2 11 11
11
第二步：写出回归归方程.
腐蚀深度 y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程为 y = 0.304x + 5.346 .
（3）当 x=100 s时， y = 0.304×100 + 5.346 = 35.746( m) ，即腐蚀深度大约是 35.746 m .
【例 3】设对变量 x, y有如下观察数据，试使用函数型计算器求回归方程.
X 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164
y 40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5
解：按键 MODE 3 1 (进入回归计算模式)
SHIFT CLR 1 = （清除统计存储器）
151 ， 40 DT 152 ， 41 DT 153 ， 41 DT 154 ， 41.5 DT
156 ， 42 DT 157 ， 42.5 DT 158 ， 43 DT 160 ， 44 DT
160 ， 45 DT 162 ， 45 DT 163 ， 46 DT 164 ， 45.5 DT
继续按下表按键
SHIFT S VAR → → 1 = （计算参数 a） 27.759
SHIFT S VAR → → （计算参数 b）0.450
即 a= 27.759,b=0.450.
所以 y对 x 的回归归方程为: y = 0.450x 27.759 .
19
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 §2.3 变量间的相关关系
※基础达标
1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）.
A. 角度与它的余弦值 B. 正方形的边长与面积
C. 正 n边形的边数和其内角度数之和 D. 人年龄与身高
2. 设有一个回归方程为 y = 2 1.5 x ，则变量 x增加 1 个单位时（ ）.
A． y 平均增加 1.5 个单位 B． y 平均增加 2个单位
C． y 平均减少 1.5 个单位 D． y 平均减少 2个单位
3．已知两个变量 x 和 y 之间具有线性相关系，5次试验的观测数据如下：
x 100 120 140 160 180
y 45 54 62 75 92
经计算得回归方程 y = bx + a 的系数 b=0.575，则 a 等于（ ）.
A. 14.9 B. 13.9 C. 12.9 D. 14.9
4. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（ ）.
A. B. C. D.
5．线性回归直线方程 y = a + bx 必过定点（ ）.
A. （0，0） B.（ x ,0) C. （0， y ） D. （ x , y ）
6．已知回归直线方程为： y = 0.5x 0.81 ，则 x=20 时，y 的估计值为 .
7．对某种机器购置后运营年限 x (1，2，3，…)与当年增加利润 y 的统计分析知具备线性相关关系，
回归方程为： y =10.47 1.3 x ，估计该台机器使用 年最合算．
※能力提高
8．某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利 服装件数x（件） 3 4 5 6 7 8 9
y（元）与该周每天销售这件服装件数 x（件）之间有 某周内获纯利y（元) 66 69 73 8l 89 90 9l
如下一组数据：
（1）求 x , y ； （2）若纯利y与每天销售这件服装件数x之间是线性相关的，求回归方程.
（3）若该店每天至少要获利 200 元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
9．在英语教学中，为了了解学生的词汇量，设计了一份包含 100 个单词的试卷，现抽取 15 名学生
进行测试，得到学生掌握试卷中单词个数 x与该生实际掌握单词量 y的对应数据如下：
x 61 65 70 69 83 75 58 73 63 72 71 68 65 67 74
y 2 030 2 140 2 270 2 250 2 240 2 220 l 970 2 330 2 100 2 300 2 300 2 200 2 200 2 200 2 370
(1)作散点图；(2)如果 y 与 x之间具有线性相关关系，则求 y对 x 的回归直线方程.
※探究创新
10.下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：
199819992000 2001 2002 2003 2004 2005
试由此估计 1999 年份 年我国居民生活污水排放量，并 一预测
排放量 151 189.1194.8203.8220.9227.7232.3
2007 年生活污水排放量(单位： 108 t)．
20
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第11讲 第二章 统计 复习
¤学习目标：会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用抽样方法抽取样本. 会用样本频率估计
总体分布，会用样本数字特征估计总体数字特征. 掌握散点图和线性回归方程.
¤例题精讲：
【例 1】为 了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩，请 用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本．
解：⑴随机地将这 1003个个体编号为 1，2，3，…，1003．
⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数 1000 能被样本容
量 50 整除，然后再按系统抽样的方法进行．
*点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等(3/1003)，也就是每个个体不被剔除的概率相等
（1000/1003），采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是（50/1000），所以在整个抽样过程中每个个体
1000 50 50
被抽取的概率仍然相等，都是 × = .
1003 1000 1003
【例 2】某农场种植的甲乙两种水稻，在连续 6年中各年的平均产量如下：
品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年
甲 6.75 6.9 6.75 6.38 6.83 6.9
乙 6.68 7.2 7.13 6.38 6.45 6.68
哪种水稻的产量比较稳定？
解： x甲 =（6.75+6.9+6.75+6.38+6.83+6.9）/6=6.75， S甲 =0.177,
x乙 =（6.68+7.2+7.13+6.38+6.45+6.68）/6=6.75， S乙 =0.312.
因为 S甲 < S乙 ，,所以甲水稻的产量比较稳定.
【例 3】已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x（血球体积，ｍｍ），y（血红球数，百万）
x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72
(1) 画出上表的散点图；
(2) 求出回归直线并且画出图形；
(3) 回归直线必经过的一点是哪一点？
解：（ １）见下图.
1
（２） x = (45 + 42 + 46 + 48 + 42 + 35 + 58 + 40 + 39 + 50) = 45.50 ,
10
y 1 = (6.53+ 6.30 + 9.52 + 7.50 + 6.99 + 5.90 + 9.49 + 6.20 + 6.55 + 8.72) = 7.37 .
10
设回归直线为 y = bx + a ， y
n
∑ xi yi nxy 10
则 a = i =1 n = 0.176 ， b = y ax = 0 .64 ,
∑ x 2i nx 2 5
i =1
所以所求回归直线的方程为 y = 0.176x 0.64 ，图形如下: 30 35 40 45 50 55 x
故可得到
y
b 87175 7×30× 399.3 = ≈ 4.75,
7000 7× 30 2 10
a = 399.3 4.75×30 ≈ 257, 5
^
从而得回归直线方程是 y = 4.75x + 257 ．
（3）回归直线必经过中心点 (x, y ) ，即 (45.50,7.37) . 30 35 40 45 50 55 x
点评：借助散点图，可以直观探究两个变量是否具有线形相关关系；运用由最小二乘法思想得到回
归直线方程的回归系数 a 和 b，会由数据求回归直线方程，并利用回归直线方程进行回归分析与预测.
21
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第11练 第二章 统计 复习
※基础达标
1．某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额. 采用如下方法：从某本 50
张发票存根中随机抽一张，如 15 号，然后按序往后将 65 号，115 号，165 号，……，发票上的销售额组
成一个调查样本，这种抽取样本的方法是（ ）.
A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.其它方式的抽样
2．在 用样本频率估计总体分布的过程中，下 列说法正确的是（ ）. y
A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确
3．数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是（ ）. 0.001
A . 8 B. 4 C. 2 D. 1
4．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿
体重（2700，3000）的频率为（ ）.
A. 0.001 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.3 2400 2700 3000 3300 3600 x
5. （07 年陕西卷.文 6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有
40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测. 若采用分层抽样的方
法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．（ 08 年上海卷）已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的
中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则 a、b的取值分别是 、 .
x c
7．进 行 n 次试验，得 到样本观测值为 x1, x2 ,L , x n ，设 c为任意常数，d 为任意正数，得 变量 y = i i d
(i = 1,2,L ,n ) ，则 y = .
※能力提高
8．某单位在岗职工共 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取 10%的工人进行调查，
如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
9．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用（y 万元）有如下统计资料：
若由资料知，y对 x 呈线性相关关系，试求：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？
※探究创新
10. 人口问题是我国最大的社会问题之一，预 测人口数量及其发展趋势是我国制定一系列相关政策的
基础，由人口统计年鉴查得我国从 1949年至 1994 年人口数据资料如下：
年份 1949 1954 1959 1964 1969
人口/百万 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71
年份 1974 1979 1984 1989 1994
人口/百万 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74
试估计我国 1999 年的人口数，并查阅有关资料证实你的结论.
22
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 12 讲 §3.1.1 随机事件的概率
¤学习目标：
1．使学生理解随机事件的概念、概率与频率的区别与联系.
¤知识要点：
2．随机事件的概念、概率与频率的区别联系.
¤例题精讲：
【例 1】一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892
男婴出生频率
(1)填写上表中的男婴出生频率(如果用计算器计算，结果保留到小数点后第 3 位)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少
解：(1)由公式可算出，上表中的男婴出生的频率依次
2883
为 ≈ 0.520 4970 ， ≈ 0.517 6994 0.517 8892 ， ≈ ， ≈ 0.517 .
5544 9607 13520 17190
(2)由(1)知，某年起几年之内新生婴儿中男婴出生的频率虽然不尽相同，但频率总是在 0.517 的附
近摆动，可知该地区新生婴儿中男婴出生的概率约是 0.517．
m
点评：一般地，在大量重复重复同一试验时，事件 A发生的频率 总是趋近于某个常数，在它附近
n
摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概率.
【例 2】对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少
解：(1)结合公式 P(A) m = 及题意可计算出优等品的频率依次为 0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
n
(2)由（1）知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但却都在常数 0.95 左右摆出，且随着抽取台
数 n的增加，摆动的幅度越来越小，因此，该厂生产的电视机优等品的概率是 0.95.
【例 3】如果某种彩票的中奖概率为 1/1000，那么买 1 000 张这种彩票一定能中奖吗 (假设该彩票有
足够多的张数)
解：有同学可能认为，中奖概率为 1/1000，那么买 l 000 张彩票就一定能中奖．但这种想法是不正确
的．实际上，买 1 000 张彩票相当于做 1 000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做 l 000 次
的结果也是随机的．这就是说，每张彩票既可能中奖也可能不中奖，因此 1 000 张彩票中可能没有一张中
奖，也可能有一张、两张……中奖．
虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性．随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数
999 1000
的增加，大约有 1/1000 的彩票中奖．实际上，买 1 000 张彩票中奖的概率为 1 ≈ 0.6323 ．没
1000
有一张中奖也是有可能的，其概率近似为 0.3677．
【例 4】生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为 90％，结果根本一点雨
都没下，天气预报也太不准确了，” 学了概率后，你能给出解释吗
解：天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为 90％”指明了“降水”这个随机事件发生的概率．
我们知道：在一次试验中，概率为 90％的事件也可能不出现．
因此，“ 昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为 90％”的天气预报是错误的．
点评：一个随机事件发生一次，结果将具有随机性，但随机事件在大量重复试验时，结果可能存在
着一定的规律性. 即随机事件具有随机性，在 随机性中又有规律性与稳定性，且 随着试验次数的不断增多，
频率趋近于区间[0,1]上的一个常数即概率. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，两次同样的试验，会
得到不同的结果，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率成为概率的近似值.
23
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 §3.1.1 随机事件的概率
※基础达标
1．下列事件中，是随机事件的有（ ）.
A．某人投篮 3次，投中 4 次 B. 标准大气压下，水加热到 100℃时沸腾
C. 掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上” D. 抛掷一颗骰子，出现 7点
2．事件 A的概率 P(A)满足（ ）.
A．P(A)≈0 B．P(A)=1 C．0≤P(A)≤1 D．P(A)<0，或 P(A)>1
3．若书架上有中文书 5 本，英文书 3 本，日 文书 2本，则随机抽取一本恰为外文书的概率为（ ）.
A . 1/5 B. 3/10 C. 2/5 D. 1/2
4．下列事件是随机事件的有（ ）.
A．若 a、b、c 都是实数，则 a (b c) = (a b) c ； B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．掷一枚硬币，出现反面 D．在标准大气压下，水的温度达到 90℃时沸腾
5．给出下列事件： ① 如果 a、b 都是实数，那么 a+b=b+a；
② 从分别标有号数 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的 10 张号签中任取一张，得到 4 号签；
③ 没有水分，种子发芽； ④ 某电话总机在 60 秒内接到至少 15 次呼叫；
⑤ 在标准大气压下，水的温度达到 50℃时，沸腾； ⑥ 同性电荷，相互排斥．
下列说法错误的是（ ）.
A. ①⑥是必然事件 B. ③⑤是不可能事件 C. ②④是随机事件 D. ①②④⑥是随机事件
6．下列说法：
①频率是反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
m
②做 n 次随机试验，事件 A发生 m 次，则事件 A发生的频率 就是事件的概率；
n
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是 ．
7．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为 1 000 度，按照上个月的用电记录，30 天中有 12
天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率
是 ．
※能力提高
8．盒中装有 4 只白球和 5 只黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件 它的概率是多少
(2)“取出的球是白球”是什么事件 它的概率是多少
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件 它的概率是多少
9．判断下列各事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一石块，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于 0℃时，冰融化；
(4)在常温下，焊锡熔化；
(5)某人射击一次，中靶；
(6)掷一枚硬币，出现正面．
※探究创新
1
10．袋中有若干小球，分别为红色、黑色、黄色、白色. 从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到
4
1 5
黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或白球的概率为 . 试求任取一球，得到黑球，得到黄球，得到白球
2 12
的概率各是多少？
24
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 13 讲 §3.1.2 随机事件的概率
¤学习目标：使学生能够理解随机事件的概念；掌握互斥事件与对立事件的概率.
¤知识要点：小概率事件；互斥事件与对立事件的算法.
¤例题精讲：
【例 1】一个口袋内装有 5 个白球和 3个黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少
(2)“取出的球是黑球”是什么事件. 它的概率是多少
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少
解：(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为 0．
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它
的概率为 3/8．
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑(白)球，就是白(黑)球，因此，“取
出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1．
【例 2】抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 l，2，3，4，5，6)，事件 A 表示“朝上一面的
数是奇数”，事件 B表示“朝上一面的数不超过 3”，求 P(A∪ B ) .
解： A∪ B 4 2 这一事件包括 4 种结果，即出现 1，2，3 和 5．所以 P(A∪ B ) = = .
6 3
【例 3】经调查统计得到，星空乐园的急速飞翔游乐项目处，排队等候游玩的人数及其概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及以上
概率 0.11 0.15 0.30 0.28 0.10 0.06
求：（1）至多 2 人排队等候的概率；
（2）至少 2人排队等候的概率.
解：记“排队等候游玩的人数为 0、1、2、3、4、5人及以上”的事件分别为 A、B、C、D、E、F，
则由题设得
P(A) =0.11， P(B ) =0.15， P(C ) =0.3， P(D ) =0.28， P(E ) =0.1， P(F ) =0.06.
（1）事件“至多 2 人排队等候”是互斥事件 A、B、C 的和，即 A + B + C ，其概率为
P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C ) =0.11+0.15+0.3=0.56，
所以，至多 2 人排队等候的概率为 0.56.
（2）“ 至少 2人排队等候”的对立事件是“至多 1 人排队等候”， 而“至多 1 人排队”为互斥事件 A、
B 的和，即 A∪ B ，其概率为 P(A+ B) = P(A) + P(B ) = 0.11+ 0.15 = 0.26 ，
因此，“ 至少 2 人排队等候”的概率为1 P(A+ B ) =1 0.26 = 0.74 .
点评：(1)运用公式 P(A+B)=P(A)+P(B)时，应先考虑 A、B 是否互斥．
(2)一般“至少”或“至多”问题，求其对立事件较容易．
【例 4】一盒中装有各色球 12 只，其中 5 个红球、4个黑球、2 个白球、1 个绿球．从中随机取出 1
球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率．
解法 l：(1)从 12只球中任取 1 球得红球有 5种取法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有 5+4=9
种不同取法，任取 1球有 12 种取法．
9 3
∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1 = = . 12 4
(2)从 12 只球中任取一球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得白球有 2 种取法．从而得红
5 + 4 + 2 11
或黑或白球的概率为 = .
12 12
解法 2：记事件 A1 ={任取 1 球为红球)； A2 ={任取一球为黑球)； A3 ={任取一球为白球)； A4 ={任取
一球为绿球}，根据题意知，事件 A1, A2 , A3 , A4 彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为
P(A ∪ A ) P(A ) P(A ) 5 4 3 1 2 = 1 + 2 = + = ． 12 12 4
(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为
P(A ∪ A ∪ A ) P(A ) P(A 5 4 2 11 1 2 3 = 1 + 2 ) + P(A3 ) = + + = .12 12 12 12
25
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §3.1.2 随机事件的概率
※基础达标
1．若 A 是必然事件，B 是不可能事件，那么 A 和 B （ ）.
A. 是互斥事件，但不是对立事件 B. 是对立事件，但不是互斥事件
C. 是互斥事件，也是对立事件 D. 不是对立事件，也不是互斥事件
2．从装有 2个红球和 2 个白球的口袋内任取 2个球，那么对立的两个事件是（ ）.
A. 至少有 1 个白球；都是白球 B. 至少有 1 个白球；至少有 1 个红球
C. 恰有 1 个白球；恰有 1 个红球 D. 至少有 1 个白球；都是红球
3．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第 1、2、3 册
的概率为（ ）.
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
4．一个口袋内有 9张大小相同的卡片，其号数为 1，2，3，…，9．从中任取两张，其号数至少有一
个为偶数的概率为（ ）.
5 4 5 13
A. B. C. D.
9 9 18 18
5．（ 2006 黄冈模拟）袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从其中任取一个球，而且每次取出黑球后放
回袋中，则直到第三次取球时才取到白球的概率为（ ）.
16 16 1 4
A. B. C. D.
25 125 5 25
6．如图．四边形 ABCD 被其两条对角线分成四个小三角形. 若每个小三角形用 4种不同颜色中的任
一种涂染，那么出现相邻三角形均不同色的四边形的概率是 ．
7. 一枚五分硬币连掷三次，事件 A 为“三次反面向上”， 事件 B 为“恰有一次正面向
上”， 事件 C 为“至少二次正面向上”. 写出一个事件 A、B、C 的概率 P(A),P(B),P(C ) 之
间的正确关系式是 .
※能力提高
8．在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80～89 分的概率是 0.5l，在 70～79
分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09，计算小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率和小明
考试不及格(低于 60 分)的概率．
9．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(％) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人．其他不同种血型的人不能互相输血，
小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少
※探究创新
10．若两个袋内分别装有写着 0，1，2，3，4，5 这六个数字的 6张卡片，从每个袋内各任取 1 张卡
片，求所得两数之和等于 5 的概率．
26
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 14 讲 §3.2 古典概型
¤学习目标：使学生理解古典概型的概念，掌握相关概率的算法.
¤知识要点：古典概型的概念、相关概率的算法.
¤例题精讲：
【例 1】判断下列命题正确与否．
(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3 种结果；
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，则每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(3)从 4、 3、 2、 1、0、1、2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0的可能性相同；
(4)5个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．
解： 所有命题均不正确．
(1)应为 4 种结果，还有一种是“一反一正”；
(2)摸到红球的概率为 1/2，摸到黑球的概率为 1/3，摸到白球的概率为 1/6；
(3)取到小于 0 的数字的概率为 4/7，不小于 0 的数字的概率为 3/7；
(4)抽签有先有后，但每人抽到某号的概率是相同的．其理由是：假设 5 号签为中奖签，甲先抽到
中奖签的概率为 1/5；乙接着抽，其抽中 5 号签的概率为 45 ×
1
4 =
1
5 ；
点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．
【例 2】甲、乙两人参加法律知识竞答，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4 道，甲、
乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少 (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多
少
解：甲、乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题，先抽的有 10 种抽法，后抽的有 9 种抽法，故所
有可能的抽法是 10×9=90 种．即基本事件总数是 90．
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 A，下面求事件 A包含的基本事件数：
甲抽选择题有 6种抽法，乙抽判断题有 4 种抽法，所以事件 A 的基本事件数为 6×4=24．
P(A) m 24 4 ∴ = = = ．
n 90 15
(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未
抽到选择题”， 即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B，“至少一人抽到选择题”为事件
C，则 B 含基本事件数为 4×3=12．
12 2 2 13
∴由古典概型概率公式，得 P(B ) = = ，由对立事件的性质可得 P(C) =1 P(B ) =1 = ．
90 15 15 15
点评：(1)本题关键是通过分析得出公式中的 m、n,即某事件所包含基本事件数和事件总数，然后代
入公式求解.(2) 含有“至多”、 “ 至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考
虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质 P(A)=l—P( A )进一步求解．
【例 3】从含有两件正品 a1 、 a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件，每次取出后不放回，连
续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 ： 方 法 一 ： 每 次 取 一 个 ， 取 后 不 放 回 地 连 续 取 两 次 ， 其 一 切 可 能 的 结 果 为
(a1 ,a2 ),(a1,b1), (a2 ,a1),(a2 ,b1), (b1,a1), (b1,a2 ) ，其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右 边
的字母表示第 2 次取出的产品．一切可能的结果由 6 个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出
现是等可能的．用 A 表示 “取出的两件中，恰好有一件次品 ”这一事件，则事件 A 由
(a1 ,b1), (a2 ,b1), (b1,a1), (b1,a )
4 2
2 这 4 个基本事件组成，因而 P(A ) = = ． 6 3
方法二：设事件 A 2× 2 2 ：取出的两件中恰好有一件次品，则 P(A) = = ．
3× 2 3
点评：事件 A 的概率的计算，关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中包含的结果数 n A ．因此，必
须解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是否是等可能的 (2)本试验的基本事件有多少个 (3)事件 A 包含
多少个基本事件 另外，用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的 n、 n A ，再
n
利用公式 P(A) = A 求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏．
n
27
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §3.2 古典概型
※基础达标
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）.
1 1 2
A. B. C. D. 1
2 3 3
2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 1、2、3、4、5、6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向
上的数之和是 5”的概率是（ ）.
1 1 1 1
A. B. C. D.
9 6 12 3
3．从含有三件正品和一件次品的 4 件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概
率是（ ）.
1 1 1
A. B. C. D. 1
4 3 2
4．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由l0人依次摸出1个球，
设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为 P1 ，第10个人摸出黑球的概率是 P1 0 ，则（ ）.
P 1 P 1 A. 10 = B. P10 1 10
= P C. P = 0 D. P = P
9 1 10 10 1
5．有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三
角形的概率是（ ）.
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 5
6．从 1，2，3，4，5这 5 个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是 ．
7．在一次问题抢答游戏中，要求答题者在问题所列出的 4 个答案中找出唯一正确的答案．某抢答者
不知道正确答案便随意说出了其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 .
※能力提高
8．某种饮料每箱装 12 听，如果其中有 2 听不合格，问质检人员从中随机抽出 2 听，检测出不合格
产品的概率有多大
9．抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；
（2）事件“点数之和小于 7”的概率；
（3）事件“点数之和等于或大于 11”的概率．
※探究创新
10．随意安排甲乙丙 3 人在 3天节日中值班，每人值班 1 天.
（1）这 3 人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
（2）其中甲在乙之前的排法有多少种？
（3）甲在乙之前的概率是多少？
28
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 15 讲 §3.3 几何概型
¤学习目标：
1．使学生理解几何概型处理概率问题的方法；2．掌握相关概率的算法.
¤知识要点：
1．几何概型的概念、相关概率的算法.
¤例题精讲：
【例1】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的
概率．
分析：假设他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但 0 到 60 之间有无穷个时
刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率．因为电台每隔 l 小时报时一次，他在 0 到 60 之间
任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，
而与该时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．
解：设 A={等待的时间不多于 10 分钟}．我 们所关心的事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，6 0]
时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得
P(A) 60 50 1 1 = = ，即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 ．
60 6 6
【例 2】在右图所示的边长为 2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的
内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π 的值．
分析：如果我们把“在正方形中撒豆子”看成试验，把“豆子落在圆中”看成随机事
件 A．则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件 A 发生的频率．当
我们撒一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件 A 的概率，可以认为这是一个几何
概型问题．
解：由几何概型的计算公式，得
P(A) 圆面积 π = = ．所以， π = 4× P(A) ．
正方形面积 4
4m
我们在正方形中撒了 n 颗豆子，其中有 m 颗豆子落在圆中，则圆周率的值π 近似等于 ．
n
【例 3】如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 在 ∠A CB 内部作一条射线 CM，与线段 AB
交于点 M，求 AM < AC 的概率．
180° 45° C
解： 在 AB 上取 AC ' = AC ，连接 CC ' ，则 ∠ACC ' = = 67.5 °
2
设 A={在 ∠ ACB 内部作一条射线 CM，与 线段 AB交于点M，A M < AC }，
则 = 90°, A = 67.5
°， ∴P(A) A 67.5° 3 = = = .
A M C
' B
90° 4
点评：射线 CM 随机地落在么 ∠ ACB 内部，故 ∠A CB 为所有试验结果构
成的区域，当射线 CM 落在 ∠ ACC ' 内部时，AM【例 4】甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即
可离去．求两人能会面的概率．
解：以 x 轴和 y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面
的充要条件是|x y|≤15．在如图所示平面直角坐标系下. (x，y)的所有可能结果是边长
为 60的正方形区域，而 事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由
几何概型的概率公式得：
2 2
P(A) S = A 60 45 7 7 = 2 = ．所以，两人能会面的概率是 ． S 60 16 16
点评：(1)甲、乙两人都是在 6～7 时内的任意时刻到达会面地点，故每一对结果对应两个时间，分
别用 x，y 轴上的数表示. 则每一个结果(x，y)就对应于图中正方形内的任一点．
(2)找出事件 A发生的条件，并把它在图中的区域找出来，分别计算面积即可.
(3)本题的难点是把两个时间分别用 x，y 两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段
长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
29
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 §3.3 几何概型
※基础达标
1．在 1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出 3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的
概率是（ ）.
A. 0.003 B. 0.006 C. 0.03 D. 0.06
2．已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）.
1 1 1
A. B. C. D. 以上都不对
10 11 9
3．向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小于 S/2的概率是（ ）.
1 1 3 2
A. B. C. D.
4 2 4 3 A T
4．如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在60° 角的终边上，任作一条射
线 OA，求射线 OA 落在 ∠x OT 内的概率为（ ）.
1 1 1 1 x
A. B. C. D. O
2 3 4 6
5．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖. 小明希望中奖，他应当选择的游戏盘
为（ ）.
A. B. C. D.
6．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，当你到达路
口时，看见下列三种情况的概率各是：(1)红灯 ；(2)黄灯 ；(3)不是红灯 ．
7．两根相距 6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率
是 ．
※能力提高
8．一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m，宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的
概率.
9．设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与 A 连结，求弦长超过半径的 2 倍的概率．
※探究创新
10．两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时
间分别为 4小时与 2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
30
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 16 讲 第三章概率 复习
¤学习目标：理解必然事件、不可能事件和随机事件，理解频率与概率的意义与性质，会求古典概
型与几何概型的概率.
¤例题精讲：
【例 1】判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？
从一副桥牌（52 张）中，任取 1 张，
（1）“ 抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“ 抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“ 抽出的牌点数为 3 的倍数”与“抽出的牌点数大于 10”
解：（ 1）是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发
生，因而是互斥的.同时，不能保证
精讲精练
人教 A 版必修③
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
丛书主编 徐山洪
编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石 1 §1.1.1 算法的概念………………………………（01）
王庚儿 李剑夫 张志略 2 §1.1.2 程序框图………………………………（03）
马荣林 邓世疆 赵朝贤 3 §1.2 基本算法语句 I ………………………（05）
陈新权 刘会金 陈远刚 4 §1.2 基本算法语句 II…………………………（07）
李德明 王振芳 黄全顺 5 §1.3 算法案例…………………………………（09）
王福山 饶乘凤 关丽琼
6 第一章 算法初步 复习…………………………（11）
潘泽学 匡唐松 宾业河
谢凤仙 余扩益 高建彪
张天良 谢小毛 谢吉权 7 §2.1 随机抽样…………………………………（13）
张梅玲 陈上越 赵启锐 8 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布………（15）
饶胜文 周志明 李志敏 9 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体……………（17）
10 §2.3 变量间的相关关系 ………………………（19）
本册主编 赵鸿鸷
11 第二章 统计 复习………………………………（21）
主要编者 黎 强（第一章）
鲁元海（第二章）
万纯稳（第三章） 12 §3.1.1 随机事件的概率………………………（23）
校 审 谢凤仙 肖卫华 王家余 13 §3.1.2 随机事件的概率………………………（25）
蔡昌盛 赵颖 14 §3.2 古典概型…………………………………（27）
质量监督 0760 86853660 15 §3.3 几何概型…………………………………（29）
意见信箱 zssxzb@
16 第三章 概率 复习……………………………（31）
信息反馈 http://sx./nh
美术编辑 陆镜平
17 《算法初步》单元测试……………………（33）
18 《统计》单元测试…………………………（37）
开 本 890mm×1 240mm 16 开 19 《概率》单元测试…………………………（41）
印 张 4.5 20 必修③复习检测题一………………………（45）
字 数 60 000 21 必修③复习检测题二………………………（48）
印 数 3 001～4 400 册
版 次 2009 年 1月第 3 版
2009 1 3 第 1～16 练 答案 …………………………（ 51～57） 印 次 年 月第 次印刷
第 17～21 测试答案 …………………………（ 58～65）
本册成本 7.2 元
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 1 讲 §1.1.1 算法的概念
¤学习目标：使学生理解算法的概念，使学生正确理解算法的特征：概括性、逻辑性、有穷性、不
唯一性、普遍性. 并会设计一些简单的算法.
¤知识要点：算法的概念.
¤例题精讲：
【例 1】求两底面半径分别为 1 和 4 且高为 4 的圆台的表面积及体积，写出该问题的一个算法．
解： 算法设计如下：
第一步： r1 =1,r2 = 4,h = 4 ；
第二步： l = (r r 2 2 2 1 ) + h ；
第三步： S1 = π r1
2
， S2 = π r
2
2 ,S3 = π (r1 + r2 ) l ；
1
第四步： S = S1 + S2 + S 3 ， V = (S1 + S1S2 + S2 ) h ； 3
第五步：输出 S 和 V.
该算法的程序框图如右图：
1
点评：在算法设计时，也可以选公式 V = π (r 21 + r1r2 + r
2
3 2
) h .
【例 2】设计一个算法，求底面边长为 4，侧棱长为 5 的正四棱锥的侧面积及体积．
解：第一步： a = 4,l = 5 ．
2
第二步： R = a ．
2
第三步： h = l 2 R2 , S = a 2 ．
1
第四步： V = Sh ．
3
第五步：输出 V
h ' l 2 a
2
第六步： = ．
4
第七步： S = 2 a h ' ．
侧
第八步：输出 S ．
侧
a11x1 + a12x2 = b1 , (1)
【例 3】试写出求解二元一次方程组 的算法．
a21x1 + a22x2 = b2 , (2)
解：由于是二元一次方程组，故方程组中 a11, a2 1 不能同时为 0．
第一步，假定 a1 1 ≠ 0 ，如果 a1 1 = 0 ，可将第一个方程与第二个方程互换，
a2 1 a a21a12
x b a21b ① × +②得到： 1 22 2 = 2 ．
a1 1 a11 a1 1
a11x1 + a12x2 = b1 (3)
即方程组可化为 ，
(a11a12 a21a12 )x2 = a11b2 a21b1 (4)
a b a b
第二步，如果 a11a22 a21a1 ≠ 0 ，解方程④得到 x 11 2 21 1 2 2 = (5) a11a22 a21a1 2
a b a b
第三步，将⑤代人③，整理得到 x = 22 1 12 2 1 (6) a11a22 a21a1 2
第四步，输出结果 x1, x 2 ．
如果 a11a22 a21a1 2 = 0 ，则从④可以看出方程组无解或有无穷多组解．
点评：算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够重复使用，算法过程要能一步一步地执
行．
1
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练 §1.1.1 算法的概念
※基础达标
1．下列关于算法的说法中，正确的是（ ）.
A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果
C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止
2．下列运算中不属于我们所讨论算法范畴的是（ ）.
A. 已知圆的半径求圆的面积 B. 从一副扑克牌随意抽取 3 张扑克牌抽到 24 点的可能性
C. 已知坐标平面内的两点求直线的方程 D. 加减乘除运算法则
3．下列语句表达中是算法的有（ ）.
①从济南到巴黎可以先乘火车到北京再坐飞机抵达；
1 1
②利用公式 S = ah 计算底为 1 高为 2 的三角形的面积； ③ x > 2x + 4 ；
2 2
④求 M(1，2)与 N( 3， 5)两点连线的方程可先求 MN 的斜率再利用点斜式方程求得．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4．算法：S1：输入 n；
S2：判断 n是否是 2：若 n = 2 ，则 n满足条件；若 n > 2 ，则执行 S3；
S3：依次从 2 到 n 1 检验能不能整除 n，若不能整除 n满足条件．
上述的满足条件是什么（ ）.
A. 质数 B. 奇数 C. 偶数 D. 约数
5．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷 水壶(2 min)、烧 水(8 min)、泡 面(3 min)、吃 饭(10 min)、
听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（ ）.
A. S1 洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
B. S1 刷水壶 、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭、S5 听广播
C. S1 刷水壶 、S2 烧水同时洗脸刷牙、S3 泡面、S4 吃饭 同时 听广播
D. S1 吃饭 同时 听广播、S2 泡面、S3 烧水同时洗脸刷牙、S4 刷水壶
6．已知数字序列：2，5，7，8，15，32，18，12，52，8，写出从该序列搜索 18 的一个算法．
第一步：输入实数 a；
第二步： ；
第三步：输出 a．
n(n + 1)
7．写出求 1+2+3+4+5+6……+100 的一个算法，可运用公式 1+2+3+……+ n= 直接计算，
2
第一步 ；第二步 ；第三步, 输出计算结果.
※能力提高
8．已知直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，设计一个求该三角形周长的算法．
9．写出一个能找出 a、b、c、d 中最大数的算法．
※探究创新
10. 如图，汉诺塔（Hanoi）塔问题是指有 3 根杆子 A，B，C．B 杆上有若干碟子，把所有碟子从 B
杆移到 A 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面．把 B 杆上的 4 个碟子全部移
动 A 杆上，最少需要移动多少次，请设计一个具体的移动步骤.
A B C
2
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 2 讲 §1.1.2 程序框图
¤学习目标：使学生进一步理解算法的概念；使学生正确理解算法的特征，并会画算法框图.
¤知识要点：算法框图的三种结构：顺序结构，条件结构，循环结构.
¤例题精讲：
1 (x > 0)
【例 1】函数 y = 0 (x = 0) ，写出求该函数值的算法及程序框图.
1 (x < 0)
解： 算法如下：第一步：输入 x；
第二步：如果 x>0，那么使 y= l；如果 x=0，那么使 y=0；如果 x<0，那么使 y=1；
第三步：输出函数值 y．
程序框图如下图：
点评：对于分为三段（或三段以上）的函数求值值问题，往往需要用到条件
结构的嵌套.
【例 2】设计一个计算 10 个数的平均数的算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，令 S=0；
第二步，令 I=1；
第三步，输入一个数 G；
第四步，令 S=S+G；
第五步，令 I=I+1；
第六步，若 I>10，退出循环；若 I≤10，转到第三步；
第七步，将平均数 S/10 存放在 A中；
第八步，输出 A．
根据上述算法步骤，程序框图如右图所示：
【例 3】设计一个计算 1×3×5×…×99 的算法，画出程序框图.
解：算法步骤如下：
第一步：设 i的值为 1；
第二步：设 sum的值为 1；
第三步：如果 i≤99执行第四步，否则转去执行第七步；
第四步：计算 sum×i 并将结果代替 sum；
第五步：计算 i＋2 并将结果代替 i；
第六步：转去执行第三步；
第七步：输出 sum的值并结束算法
程序框图如右图所示：
点评：累加、累积的问题往往用循环结构解决，关键是选择一个计数变
量，一个累加（累积）变量．
3
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.1.2 程序框图
※基础达标
1．算法的三种基本结构是（ ）.
A．顺序结构、流程结构、循环结构
B．顺序结构、分支结构、嵌套结构
C．顺序结构、条件结构、循环结构
D．流程结构、分支结构、循环结构
2．计数变量出现在算法结构中的哪种结构中（ ）.
A. 判断 B. 顺序 C. 条件 D. 循环
3．右边程序框图表示的算法是（ ）.
A. 输出 c,b,a B. 输出最大值
C. 输出最小值 D. 比较 a，b，c的大小
4．在 下面的程序框图中，若 输入的 x的值为5，则 输出的结果是（ ）.
A. x 是方程 2x2 3x 2 = 0 的根
B. x 不是方程 2x2 3x 2 = 0 的根
C. y≠0
D. 不输出任何结果
1
5．下面是求 (共 6 个 2)的值的算
2 1 +
2 +
O 1 +
2
法的程序框图．图中的判断框中应填（ ）.
A. i≤5 B. i<5 C. i≥5 D. i>5
6．右边的程序框图输出的 S 表示 ，
虚线框表示的结构是 .
7．阅读右边流程图，回答下列问题：
若 a > b > c ， 则输出 的数 ； 如果
a log 1 , b (1
1
= 3 3 = ) , c = 3 ，那么输出的数是 . 2 2
（用字母 a，b，c 填空）
※能力提高
8．设计算法，给定任一 x 的值，求 y 的值，其中
2x 1 (x ≤ 0)
y = ，画出程序框图．
x2 +1 (x > 0)
9．试写出解不等式 ax+b>0 (a≠0)的程序框图．
※探究创新
10. 相传古印度国王舍罕要褒赏宰相达依尔(国际象棋发明者)，问他需要什么，达依尔说：“国王只
要在国际象棋的棋盘第一格上放一粒麦子，第二格放二粒麦子，第三格放四粒， 以后按比例每一格加一
倍，一直放到第 64 格(国际象棋棋盘是 8×8=64格)．”现在我们来算一下，需要多少体积的小麦( 1m 3 约有
1.42× 108 颗)？请设计一个算法，画出程序框图．
4
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 3 讲 §1.2 基本算法语句Ⅰ
¤学习目标：使学生正确理解并掌握输入、输出、赋值基本算法语句的结构、用法、功能.
¤知识要点：三个基本算法语句：输入、输出语句和赋值语句.
¤例题精讲：
【例 1】设计算法求点 P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By +C = 0 的距离 d ，画出程序框图，并写出程序．
解：第一步：输入点的坐标 (x0 , y 0 ) ，输入直线方程的系数和常数 A，B，C；
第二步：计算 z 2 2 1 = Ax0 + By0 + C ； 第三步：计算 z2 = A + B ；
| z |
第四步：计算 d = 1 ； 第五步：输出 d．程序框图如右：
z 2
程序如下：INPUT x0，y0，A，B，C
z1=A*x0+B*y0+C
z2=A^2+B^2
d=ABS(z1)／SQR(z2)
PRINT d
END
点评：( 1)编写程序的关．键． 在 于搞清问题的算法，然 后确定采取哪一种算法语句．
a
(2)书写程序时注意常见运算符号的书写方式，如 a^b( a b )；a*b( a× b )；a／b( )；SQR(x)( x )等.
b
【例 2】编写一个程序，求用长度为 l的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时所围成的正方形和圆
的面积．要求输入 l的值，输出正方形和圆的面积(“π 取 3.14)．
解：INPUT“l=”；l
Sl=(l*l)／16
S2=(l*l)／(4*3.14)
PRINT “正方形面积为”；S1
PRINT “圆面积为”；S2
END
【例 3】对于任意的实数 a，b，定义一种运算 a* b = a3 a2b + ab2 + b 3 ，试设计一个程序，能够验
证该运算是否满足交换律．
分析：只需验证 a* b = a3 a2b + ab2 + b 3 与 b* a = b3 b2a + ba2 + a 3 是否相等.
解：INPUT “a,b=” a,b
M=a*a*a a*a*b+a*b*b+b*b*b 开始
PRINT “a*b=” m
x=a
a=b 输入 x,y
b=x
M=a*a*a a*a*b+a*b*b+b*b*b x=x/2
PRINT “b*a=” M
END
4 y=3*y 【例 】以下是一个用基本语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框
图．
INPUT "x,y="；x,y 输出 x,y
x=x/2
y=3*y 分析：该程序主要利用了输入语句、赋值语句和输
PRINT x,y x=x y 出语句进行算法描述，只要按顺序从上到下将输入
x=x y
y=y 1 语句，赋值语句、输出语句表达的内容填入相应的 y=y 1
PRINT x，y 程序框即可.
END
解：程序框图如右图所示. 输出 x,y
结束
5
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练 §1.2 基本算法语句Ⅰ
※基础达标
1．右边的程序运行时输出的结果是（ ）. A=3
A. 12，5 B. 12，21 C. 12，3 D. 21，12 B=A*A
2．下列程序运行后，输出的结果分别为（ ）. A=A+B
（1）a=3 （2）a=3 B=B+A
b=－5 b=－5 PRINT A,B
c=8 c=8 （第 1 题）
a=b a=b
b=c b=c
PRINT a，b，c c=a
END PRINT a，b，c
END
A.（1）－5 8 8；（2）－5 8 －5 B.（1）－5 8 －5；（2）－5 8 8
C.（1）－5 8 8；（2）－3 8 －5 D.（1）－5 8 －3；（2）－5 8 8
3．已知 A(x1, y1),B(x2 , y 2 ) 是平面上的两点，试设计一个程序，输入 A，B 两 INPUT x1,y1
点的坐标，输出其中点的坐标. 现已给出程序的一部分．试在横线上填上适当的
. INPUT x2,y2 语句，把程序补充完整 下列补充正确的是（ ）.
A. ①x=(x1+y1)/2；②y=(x2+y2)/2 B. ①x=x1+x2；②y=(y1+y2)/2 ①
C. ①x=(x1+x2)/2；②y=(y1+y2)/2 D. ①x=(x1+x2)/2；②y=y1+y2 ②
4．Input x PRINT x,y
y=x*x*x 2*x+1 END
PRINT y
END
程序运行后，输入 4，则输出（ ）.
A. 57 B. 64 C. 67 D. 71
5．INPUT a
b=a＼10 a／10+a MOD 10
PRINT b
END 若 a=35，则程序运行后的结果是（ ）.
A. 4.5 B. 3 C. 1.5 D. 不同于上面的数
6．在程序语言中，下列符号“ * 、＼ 、∧ 、SQR（ ）、ABS（ ）” 分别表
示运算 、 、 、 、 .
7．INPUT R,a
s1=a*a
S=3.14*R*R s1
PRINT s
END 结合右图，指出该程序的功能为 .
※能力提高
8. 对于平面直角坐标系中给定的两点 A(a，b)，B(c，d)，编写一个程序，要求输入两点的坐标，输
出这两点间的距离．
9．写出求 1+2+3+…＋100 的值的一个程序.
※探究创新
10.某地电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过 3 min，则收取通话费 0.22 元；如果
通话时间超过 3 min，则 超过部分以每分钟 0.1元收取通话费，不 足 1 min按 1 min计．设 通话时间为 t(min)，
通话费用为 y 元，如何设计一个计算通话费用的算法 编写一个程序，并画出程序框图．
6
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 4 讲 §1.2 基本算法语句Ⅱ
¤学习目标：使学生正确理解并掌握条件、循环算法语句的结构、用法、功能.
¤知识要点：条件语句和循环语句的两种形式.
¤例题精讲：
1 (x > 0)
【例 1 】已知函数 y = 0 (x = 0) ，编程序，输入 x 的值，输出
1 (x < 0)
相应的函数值．
解：程序框图如图，程序为：
INPUT x
IF x>0 THEN
y=1
ELSE
IF x=0 THEN
y=0
ELSE
y= 1
END IF
END IF
PRINT y
END
点评：一般地，在求分段函数的函数值时，都可采用条件语句进行算法设计.
【例 2】编写一个程序计算 12 + 32 + 52 +L + 999 2 ,并画出相应的程序框图．
解：程序框图如右：
程序如下：
s=0
i=1
DO
s=s+i^2
i=i+2
LOOP UNTIL i>999
PRINT s
END
点评：本题是一个累加求和问题，自然想到用循环结构设计算法，本题还可
以用当型循环语句描述.
【例 3】某玩具厂 1996 年的生产总值为 200 万元，如果年生产增长率为 5%，计算最早在哪一年生产
总值超过 300 万元.
解：程序框图如图所示： 开始
程序为：
n=1996 n=1996,p=1.05,a=200
p=1.05
a=200 a=a*p
DO
a=a*p
n=n+1 n=n+1
LOOP UNTIL a>300
PRINT n a>300
END
点评：从 1996 年底开始，经过 x 年后生产总值为 200× (1+ 5%) x ,因
输出 n
此可将 1996 年生产总值赋给变量 a，然后对其进行累乘，用 n 作为计数
变量进行循环，直到 a 的值超过 300 万元为止. 结束
7
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 §1.2 基本算法语句Ⅱ
※基础达标 1 1 1
1 7.现欲求 1 + + +L + 的和(其中 n的值 ．写出下列程序的运行结果． 3 5 2n 1
(1)INPUT a (2)INPUT x
IF a>=0 THEN IF x<10 THEN
PRINT SQR(a) P=x*1.2
ELSE ELSE
P=x*1.1
PRINT “是负数”
END IF
END IF
PRINT P
END END
输入-4,输出结果为 ； 若 x=6,则 P= ；
输入 9,输出结果为 ． 若 x=11,则 P= ．
2．将下列程序框图补充完整．
(1) 输入两个数，输出 (2)判断输入的任意数x的
由键盘输入)，已给出了其程序框图(如上)，请将其
其中较大的一个数 奇偶性
INPUT a,b INPUT x
补充完整：① ；② .
IF a>b THEN m=x MOD 2 ※能力提高
PRINT a IF THEN 8．某玩具厂 1996 年的生产总值为 200万元，
PRINT“x 是奇数”
ELSE 如果年生产增长率为 5％，计算最早在哪一年生产 ELSE
PRlNT“x是偶数” 总值超过 300 万元．请 画出直到型循环结构的程序
END IF END IF 框图，并编写出相应程序.
END END
3．根 据下列程序，可 知输出的结果 S为（ ）.
I=1
WHILE I<8
I=I+2
S=2*I+3
WEND
PRINT S
A. 17 B. 19 C. 21 D. 23
4．i=0: S=0
WHILE S<=20
S=S+i 9．高一(2)班共有 40 名学生，每次考试数学
i=i+1 老师总要统计成绩在 85 分～100 分，60分～85 分
WEND 和 60 分以下的各分数段人数．请你帮助数学老师
PRINT i 设计一个程序，解决上述问题，并画出程序框图．
END 该程序运行结果为（ ）.
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
5. t=1
i=2
WHILE i<=5
t=t*i
i=i+1
WEND
PRINT t
END 该程序运行结果为（ ）.
A. 100 B. 120 C. 160 D. 200
6. INPUT x
IF x<10 THEN
P=x*0.35
ELSE ※探究创新
P=10*0.35+(x 10)*0.7 10．某商店对顾客购买货物款数满 500 元，减
END IF 价 3％，不足 500元不予优惠，设计程序，输入一
PRINT P 顾客的购物的货款，计 算并输出这个顾客的实交货
END若x=6，则 P= ；若 x=18，则 P= ． 款．
8
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 5 讲 §1.3 算法案例
¤学习目标：使学生掌握辗转相除法、更相减损术与秦九韶算法，正确设计算法实现不同进制的转
化.
¤知识要点：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、不同进制的转化.
¤例题精讲：
【例 1】用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
解：用辗转相除法：80=36×2+8，36=8×4+4，8=4×2+0； 用更相减损术检验：80 36=44，44 36=8，
36 8=28，28 8=20，20 8=12，12 8=4，8 4=4．故 80和 36 的最大公约数是 4．
点评：辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术
是当大数减去小数的差等于小数时停止减法，较小的数就是最大公约数.
【例 2】给定一个年份，写出该年是不是闰年的算法，程序框图和程序．
解：(一)算法
S1：输入一个年份 x
S2：若 z 能被 100 整除，则执行 S3 否则执行 S4
S3：若 x 能被 400 整除，则 x 为闰年，否则 x 不为闰年
S4：若 x 能被 4整除，则 x 为闰年，否则 x不为闰年
(二)程序框图如右：
(三)程序如右： INPUT x
IF x mod 100=0 THEN
IF x mod 400=0 THEN
PRINT “x 是闰年”
ELSE
PRINT “x 不是闰年”
END IF
ELSE
IF x mod 4=0 THEN
PRINT “x 是闰年”
ELSE
PRINT “x 不是闰年”
END IF
END IF
END
【例 3】将八进制数 314 706 (8) 化为十进制数．
解：314 706 = 3×85 +1×84(8) + 4×8
3 + 7×82 + 0×81 + 6× 8 0 =104 902．
∴化成十进制数为 104 902.
点评：(1)将 k 进制数化为十进制：先把 k 进制数写成用各位上的数字与 k 的幂的乘积的形式，再按
照十进制的运算规则计算出结果．(2)将十进制化为 k进制：除 k 取余法.
【例 4】用秦九韶算法求 f (x) =1+ x + 0.5x2 + 0.16667x3 + 0.04167x4 + 0.00833 x 5 在 x= 0.2 的值．
解： f ( x ) = 1 + x + 0. 5 x 2 + 0. 1 6667 x 3 + 0. 0 4167 x 4 + 0 .0 0833 x 5
= ((((0.00833x + 0.04167)x + 0.16667)x + 0.5)x +1)x + 1 ，
而 x= 0.2，所以有
v0 = a5 = 0.00833,v1 = v0x + a 4 = 0.04 ，
v2 = v1x + a3 = 0.15867,v3 = v2x + a. 4 = 0.46827 ，
v4 = v3x + a1 = 0.90635,v5 = v4x + a0 = 0.81873 ．
即 f ( 0.2) = 0.81873 ．
点评：用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算.
9
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §1.3 算法案例
※基础达标
1．两个整数 490 和 910 的最大公约数是（ ）.
A. 2 B. 10 C. 30 D. 70
2．用秦九韶算法计算多项式 f (x) = 3x6 + 4x5 + 5x4 + 6x3 + 7x2 + 8x + 1 当 x=0.4 时的值时，需要做乘
法和加法的次数分别为（ ）.
A. 6，6 B. 5，6 C. 5，5 D. 6，5
3．将二进制数 10101（2）化为十进制为（ ）.
A．21 B. 20 C.19 D. 18
4．用更相减损术可求得 78 与 36 的最大公约数是（ ）.
A．24 B．18 C．12 D．6
5．117 与 182 的最大公约数等于 ．
6．四进制数 10 101 (4) 转换成十进制数为 ．
7．将 3 344化为七进制数等于 ．
※能力提高
8．用秦九韶算法计算多项式 f (x) = x6 12x5 + 60x4 160x3 + 240x2 192x + 64 当 x=2 时的值．
9．试求四个数 84，108，132，156 的最大公约数．
※探究创新
10. 在什么进位制中，十进制数 71 记为 47
10
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第一章 算法初步
第 6 讲 第一章 算法初步 复习
¤学习目标：了解算法概念，理解三种基本逻辑结构，能画出程序框图，能用算法语句编写程序；
掌握四种算法案例.
¤例题精讲：
【例 1】韩信是秦末汉初的著名军事家. 据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问
韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数. 韩信先令士兵排成了 3 列纵队进行操练，结
果有 2 人多余；接着他立刻下令将队形改为 5列纵队，这一改又多出 3 人；随后他又下令改为 7 列纵队，
这一次又剩下 2 人无法成整行. 由此得出共有士兵 2333 人. 如何用现在的算法思想分析这一过程？
解：第一步： m = 2 ；
第二步：若m除以 3 余 2，则执行第三步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第三步：若m除以 5 余 3，则执行第四步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第四步：若m除以 7 余 2，则执行第五步；否则 m = m + 1 ，执行第二步；
第五步：输出m .
1 1 1 开始
【例 2】对任意正整数 n，设计一个求Ｓ＝ 1 + + +L + 的
2 3 n 输入 n
程序框图，并编写出程序.
解：INPUT “n”；n i=1
i=1 sum=0
sum=0 i=i+1
WHILE i<=n 是
sum=sum+1/i i<=n sum=sum+1/i
i=i+1 否
WEND
PRINT sum 输入 sum
END
结束
点评：本题也可用 UNTIL语句，判断条件为 i>n.
【例 3】（ 1）计算机是将信息转换成二进制进行处理的. 二进制即“逢二进一”， 如 (1101) 2 表示二进
制数，将它转换成十进制形式，是 1× 23 +1× 22 + 0×21 +1× 20 = 13，那么将二进制数 (1121L31 ) 2 转换成十
16
进制形式是（ ）.
A. 217 2 B. 216 2 C. 216 1 D. 215 1
（2）把二进制数 11011.101( 2) 化为十进制数为 .
16
解：（ 1） (1121L1 )
15 14 1 0 1 2 16
3 2 =1×2 +1× 2 + +1× 2 +1×2 = = 2 1 ，所以选 C.
16 1 2
（2） 11011.101 =1× 24 +1× 23 + 0× 22 +1× 21 +1× 20 +1× 2 1 + 0× 2 2(2) +1× 2
3 = 27.625 .
点评：进制的换算是数学与计算机科学联系的一个桥梁，进制的对
开始
应关系表及“除 k 取余法”是进制换算的关键. 小数也可利用上述方法
进行不同进位制之间的互化 n=1,t=0
【例 4】某班 50 人参加考试. 请设计一个算法统计出 80 分以上的
人数，并画出程序框图 输入 m
解：n=1
t=0 是 m>=80
DO
INPUT m t=t+1 否
IF m>=80 THEN
t=t+1 n=n+1
ENDIF 是
n=n+1 n>50
LOOP UNTIL n>50 否
PRINT t 输出 t
END
点评：本题关键是选择一个计数变量和一个累加变量． 结束
11
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 第一章 算法初步 复习
※基础达标
1．将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是（ ）.
A. B. c = b C. D. a=c
a=b b=a
b=a c=b
b=a a=b
a=c b=a S=0
2 i=1 ．给出以下四个问题,①输入一个数 x,输出它的相反数.②求面积为 6 的 DO
x 1, x ≥ 0
正方形的周长.③求三个数a,b,c中的最大数.④求函数 f (x ) = INPUT x 的函
x + 2, x < 0 S=S+x
数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有（ ）. i=i+1
A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 LOOP UNTIL _____ 个 a=S/20
3. 右图中是一个求 20 个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为 PRINT a
（ ）. END
A. i>20 B. i<20 C. i>=20 D. i<=20 第 3 题
4. 将 389 化成四进位制数的末位是 （ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已
知加密规则为：明文 a，b，c，d 对应密文 a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文 1，2，3，4 对应密文 5，
7，18，16. 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密得到的明文为（ ）.
A. 4，6，1，7 B. 7，6，1，4 C. 6，4，1，7 D. 1，6，4，7
6. 今天是星期二，再过 42（7）天是星期 .
7. 如右图程序运行后输出的结果为_________________________. x=5
※能力提高 y= 20
8．用 辗转相除法或者更相减损术求三个数 324 , 243 , 135 的最大公约数. IF x<0 THEN
x=y 3
ELSE
y=y+3
END IF
PRINT x y；y x
END
第 7 题
9. 设计一个计算 1+2+3+…+100的值的算法，并画出相应的程序框图.（要求用循环结构）
※探究创新
10．意大利数学家菲波拉契，在 1202 年出版的一书里提出了这样的一个问题：一对兔子饲养到第二
个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月
成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔. 问这样下去到年底应有多少对兔子 试画出解决此问
题的程序框图，并编写相应的程序.
12
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 7 讲 §2.1 随机抽样
¤学习目标：理解三种随机抽样的概念，弄清它们各自的特点及步骤. 会用它们从总体中抽取样本.
¤知识要点：
类别 共同点 特点 联系 适用范围
简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少
每个个
将总体均分成几部分，
体被抽 起始部分采用简单
系统抽样 按事先确定的规则在 总体中个体数较多
取的可 随机抽样
各部分中抽取
能性相
将总体分成几层，分层 各层抽样时采用简 总体由差异明显的几
分层抽样 等.
进行抽取 单抽样或系统抽样 部分组成
¤例题精讲：
【例 1】现有 30 个机器零件，需从中抽取 10 个零件进行检查，问如何采用简单随机抽样得到一个容
量为 10 的样本
解法 1：(抽签法)
第一步：将 30 个机器零件编号为 1，2，3，…，30；
第二步：把号码写在形状大小相同的号签上；
第三步：将 30 个号签放在同一个箱子里，并充分搅匀；
第四步：抽取一个号签，记下上面的号码，然后再把剩余的搅拌均匀；
第五步：重复第四步直到取得 10 个号码，这样就得到一个容量为 l0 的样本．
解法 2：(随机数法)
第一步：将 30 个机器零件编号为：00,01，02，…29；
第二步：运用课本第 95 页给出的随机数表，任意选取一个数，如选第 7行第 3l 列的数 2；
第三步：从选定的数 2 开始向右读，得到一个两位数 21，由于 2l<29，则号码 21 在总体内，将它取
出；继续向右读，如果得到的 2 位数不大于 29 且不与前面的数重复，就把它取出，否则就跳过不取，取
到一行末尾时转到下一行从左到右继续读数，如此下去，直到得
出在 00 到 29 之间的 10 个两位数：21，25，12，06，01，16，19，l0，07，29．
点评：(1)用抽签法抽样关键是将号签搅匀；(2)用随机数法抽样时编号位数必须一致；(3)在用随机
数法抽样的过程中起始数和读数的方向都是任意的.
【例 2】为了了解某大学一年级新生数学学习情况，拟从 503 名大学一年级学生中抽取 50 名作为样
本，如何采用系统抽样法完成这一抽样
分析：由题设条件可知总体的个数为 503，样本的容量为 50，不能整除，可采用随机抽样的方法从
总体中剔除 3 个个体，使剩下的个体数为 500 能被样本容量 50 整除，然后再采用系统抽样的方法.
解：第一步，将 503 名学生用随机编号为 1,2,3,…，503.
第二步，用抽签法或随机数法，剔除 3 个个体，这样剩下 500 名学生，对剩下的 500 名学生重新编
号，或采用补齐号码的方式.
500
第三步，确定分段间隔 k, k = = 10 ，将总体分为 50 个部分，每一部分包括 10 个个体，这时，第
50
1 部分的个体编号为 1,2,3,…，10；第 2 部分的个体编号为 11,12,13,…,20；以此类推，第 50 部分的个体
编号为 491,492,…,500.
第四步，在第 1 部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，比如是 3.
第五步，依次在第 2 部分，第 3 部分，…，第 50 部分，取出号码为 13,23,…,493,这样得到一个容量
为 50 的样本.
点评：总体中的每个个体，都必须等可能地入样，为了实现“等距离”入样且又等概率，因此应先
剔除，再“分段”， 后定起始位，采用系统抽样，是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为的误差.
【例 3】某校有在校高中生共 1600 人，其中高一学生 520 人，高二学生 500 人，高三学生 580 人，
如果想通过抽查其中的 80 人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低、消费睛况有明显差别，而
一年级内消费情况差异较小，问应采用怎样的抽样方法 高三学生中应抽查多少人
解：因年级不同的学生消费水平有明显差异，所以应采用分层抽样．因为 520：500：580=26：25：
29，于是将 80 按比例分成 26：25：29 的三部分，设三部分各抽取个体数分别为 26x，25x，29x，由
26x+25x+29x=80，得 x=1，所以高三学生中应抽查 29人.
点评：总体由差异较明显的个体构成的问题适合分层抽样法．
13
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §2.1 随机抽样
※基础达标
1．简单的随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是（ ）.
A. 都是从总体中逐个抽取
B. 将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取
C. 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等
D. 将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
2．(1)某社区有 400 户家庭，其中高收人家庭有 25 户，中等收入家庭有 280 户，低收入家庭有 95
户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 的样本.
(2)从 10 名职工中抽取 3名参加座谈会．
I简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．
以上问题与抽样方法匹配正确的是（ ）.
A. (1)Ⅲ，(2)I B . (1)I，(2)Ⅱ C. (1)Ⅱ，(2)Ⅲ D. (1)Ⅲ，(2)Ⅱ
3．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一位置取
出一件检验则这种抽样方法是（ ）.
A. 简单的随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样 D. 以上答案均不对
4．某学校有高中学生 900人，其中高一有 400人，高二有 300人，高三有 200人，采用分层抽
样抽取容量为 45的样本，则高一、高二、高三抽出的学生人数分别为（ ）.
A．25，15，5 B．20，15，10 C．30，10，5 D．15，15，15
5．总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本，若每个零件被抽取的概率为 0.25，则 N
为（ ）.
A．150 B．200 C. 120 D. 100
6．为了了解某地参加高中数学竞赛的 3008名学生的成绩，从中抽取了 100名学生的成绩进行
统计分析，运用系统抽样方法抽取样本，每组的容量为 .
7．某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现在用分层抽样的
方法抽取一个容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 16 件，那么此样本容量为 .
※能力提高
8. 设计一个抽样方案，把从 1003 个学生的总体中，选取一个容量为 20 的样本.
9．某政府机关有在编人员 100 人，其中副处级以上干部 10 人，一般干部 70 人，工人 20 人，上级
机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取容量为 20 的样本．试确定用什么方法抽取为佳，具体怎样
实施
※探究创新
10．某单位有技术工人 18 人，技术员 12 人，行政人员 6 人，现需从中抽取一个容量为 n的样本，
如果采用系统抽样或分层抽样，都不需要剔除个体，如果样本容量为 n+1，则在系统抽样时，需要从总体
中剔除一个个体，求 n 的值．
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 8 讲 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
¤学习目标：1．会用频率分布表或分布直方图或茎叶图这三种方式估计总体分布.
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
¤知识要点：
1．用频率分布表、频率分布直方图和茎叶图估计总体分布．
2．能应用相关知识解决简单的实际问题．
¤例题精讲：
【例 1】某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95，8l，75，91，86，89，7l，65，76，88，94，110，107；
乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，101． 甲 乙
画出两人数学成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较． 5 6
分析：用中间的数字表示两位同学得分的十位数和百位数．两边的数 6 5 1 7 9
字分别表示两人每场数学考试成绩的个位数. 9 8 6 1 8 3 6 8
解：甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图 1． 5 4 1 9 3 8 8 9
从这个茎叶图上可以看出. 乙同学的得分情况是大致对称的，中位 7 10 13
0 11 4
数是 98；甲 同学的得分情况除一个特殊得分外．也 大致对称，中 位数是 88．因
图 1
此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好.
【例 2】在育才中学举行的电脑知识竞赛中，将高一两个班参赛学生的成绩（得分的整数）进行整理
后分成五组，绘制出如下的频率分布图直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频
率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数为 40.
（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； 频率/组距
（2）求这两个班参赛的学生人数.
分析：根据图中所有长方形的面积之和为 1，可求得第二小组的频
率，从而可求出第二小组的“频率/组距”， 从而补全直方图.
解：(1)因为各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五组的频率
分 别 是 0.30 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05 ， 所 以 , 第 二 小 组 的 频 率 为
1.00 (0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40．
因为第二小组的频率为 0.40，所以落在 59.5～69.5的第二组的小 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 分数
长方形的高=频率/组距=0.4/10=0.04，由此可补全直方图(如图中阴影部分)
(2)设高一两个班参赛的学生人数为 x人，因为第二小组的频数为 40，频率为 0.40，所以 40/x=0.40，
得 x=100 人.
【例 3】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.
寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
个 数 20 30 80 40 30
（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在 100～400 h以内的在总体中
占的比例；（4）估计电子元件寿命在 400 h以上的在总体中占的比例.
解：（1）样本频率分布表如右.
（2）频率分布直方图如下. 寿命（h） 频 数 频 率
频率 100～200 20 0.10
组距
0.005 200～300 30 0.15
100～200
0.004 300～400 80 0.40
200～300
0.003 400～500 40 0.20 300～400
0.002 400～500 500～600 30 0.15
500～600 合 计 200 1
0.001
0
寿命(h)
（3）元件寿命在 100 h～400 h以内的在总体中占的比例为 0.65.
（4）估计电子元件寿命在 400 h以上的在总体中占的比例为 0.35.
点评：先求数据分布在各个小组的个数，通过五步“求极差→决定组距与组数→将数据分组→列频
率分布表→画频率分布直方图”得到频率分布直方图，利用图中各长方形的面积可以形象地表示频率，
各长方形的总面积和为 1. 连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图.
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
※基础达标
1．一个容量为 100的样本分成若干组，已知某组的频率为 0.4，则该组的频数为（ ）.
A . 4 B. 40 C. 10 D. 400
2．在频率分布直方图中，各小长方形面积就是相应各组的（ ）.
A. 频率 B. 频数 C. 组距 D. 频率/组距
3．一个容量为 40 的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，
10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8]，4；则样本在[25,25.9) 上的频率为（ ）.
3 1 1 1
A. B. C. D.
20 10 2 4
4．（2005 浙江)从存放号码分别为 1，2．…，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100次．每次取一张
卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到的号码为奇数的频率是（ ）.
A. 0.53 B. 0.5 C. 0.47 D. 0.37
5．(2004 江苏)某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50名学
生．得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据．结果用右侧的条形图
表示．根据条形图可得这 50 名这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.
A. 0.6 小时 B. 0.9 小时 C. 1.0 小时 D. 1.5小时
6．用一个容量为 200 的样本制作频率分布直方图时，共分 13 组，组距
为 6，起始点为 10，第 4 组的频数为 25，则直方图中第 4 个小矩形的面积为 .
7．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组，抽查出的个体在该组上
的频率为 m，该组上的直方图的高为 h，则|a－b|= .
※能力提高
8．从高三学生中抽取 50 名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90) ，12；[90,100]，8．
（1）列出样本的频率分布表(含累计频率)； （2）画出频率分布直方图；
（3）估计成绩在[60,90)分的学生比例； （4）估计成绩在 85 分以下的学生比例．
9．为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出
了频率分布表如下：
组 别 频数 频率
145.5～149.5 1 0.02
149.5～153.5 4 0.08
153.5～157.5 20 0.40
157.5～161.5 15 0.30
161.5～165.5 8 0.16
165.5～169.5 m n
合 计 M N
（1）求出表中 m、n、M、N 所表示的数分别是多少？
（2）补充频率分布直方图.
（3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？
16
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第 9 讲 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体
¤学习目标：
1．会从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释.
2．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．
¤知识要点：众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法.
¤例题精讲：
【例 1】报道，某公司的 33 名职工的月工资（以元为单位）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
（1）求该公司职工月工资的平均数，中位数，众数.
（2）假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那
么新的平均数，中位数，众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？
x 1500 4000 + 3500 + 2000× 2 +1500 +1000×5 + 500×3 + 0× 20 解：（ 1）平均数是 = + ≈ 2090 （元），
33
中位数是 1500 元，众数是 1500 元.
x ' 1500 28500 +18500 + 2000× 2 +1500 +1000×5 + 500×3 + 0× 20 （2）平均数是 = + ≈ 3288 （元），
33
中位数是 1500，众数是 1500
（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映公司员工的工资水平. 因为公司中少数人的工资额与与
大多数人的工资额差别较大，这样导致平平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司工资
水平.
点评：平均数受个别数据影响大
【例 2】从一批机器零件毛坯中随机抽取 20 件，称得它们的质量如下（单位：kg）：
210 208 200 205 202 218 206 214 215 207
195 207 218 192 202 216 185 227 187 215
计算样本平均数（结果保留到个位. ）
1
解法一： x = (210 + 208 +L + 215) ≈ 206(kg ) .
20
即样本平均数为 206kg. 于是可以估计，这批机器零件毛坯平均每件重 206kg.
解法二：由于本例中样本数据较大，而且都在 200 左右波动，这时，也可以采用下面的算法.
将上面各数据同时减去 200，得到一组新数据：
10 8 0 5 2 18 6 14 15 7
5 7 18 8 2 16 15 27 13 15
1
计算这组新数据的平均数得： x ' = (10 + 8 +L +15) ≈ 6 ，于是所求平均数是： x = x ' + 200 ≈ 206
20
【例 3】甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
解：（1） x 1 甲 = (25 + 41+ 40 + 37 + 22 +14 +19 + 39 21
1
+ + 42) = ×300 = 30(cm ) ,
10 10
x 1 乙 = (27 +16 + 44 + 27 44 16 40 40 16 40)
1
+ + + + + + = × 310 = 31 .
10 10
∴ x甲 < x乙 ，即乙种玉米的苗长得高.
1
（2） s 2 = 104.2(cm 2 ) ， s 2 = [(2× 272 + 3×162 + 3× 402 + 2× 442 2 甲 乙 ) 10× 31 ] = 128.8(cm
2 ) .
10
∴s 2 < s 2 甲 乙 ，即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐.
17
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 §2.2.2 用样本的数字特征估计总体
※基础达标
1. 数据 70，71，72，73 的标准差是（ ）.
5 5
A. 2 B. C. 2 D.
4 2
2．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（ ）.
A．平均数不变，方差不变 B．平均数改变，方差改变
C．平均数不变，方差改变 D．平均数改变，方差不变
3．(2005 江苏)在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9,9.6,9.4，
9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）.
A. 9.4，0.484 B. 9.4，0.016 C. 9.5，0.04 D. 9.5，0.016
4．在一次数学测验中，某小组 14名学生分别与全班的平均分 85分的差是：2，3， 3， 5，12，12，
8，2， 1，4， 10， 2，5，5，那么这个小组的平均分是（ ）.
A．97.2 B．87.29 C．92.32 D．82.86
5．若 样本数据 x1 + 1 ，x 2 + 1 ，… ，x n + 1 的平均数是 10，方 差是 2，那 么对于样本数据 x1 + 2 ，x 2 + 2 ，… ，
x n + 2 有（ ）.
A. 平均数为 l0，方差为 2 B. 平均数为 11,方差为 3
C. 平均数为 11，方差为 2 D. 平均数为 14，方差为 4
6．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击 5 次，成绩如下表（单位：环）
甲 10 8 9 9 9
乙 10 10 7 9 9
如果甲、乙两人中只有 1 人入选，则入选的应是 .
7. 数据 a ，a ，a ，…，a 的方差为σ2 ， 1 2 3 n 平均数为μ，则
（1）数据 ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，kan+b（kb≠0）的标准差为 ，平均数为 .
（2）数 据 k（ a1+b），k（ a2+b），k（ a3+b），… ，k（ an+b）（kb≠0）的 标准差为 ，平 均数为 .
※能力提高
8．在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下.
甲的得分：14，17，25，26，30，3l，35．37，38，39，44，48，51,53，54；
乙的得分：6，15，17，18，2l，27，28，33，35，38，40，44，56.
（1）用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数；
（2）根据(1)中所求的数据分析甲、乙两名运动员哪一位发挥得更加稳定.
9．下面是某工厂所有工作人员在某个月的工资情况：总经理 6000 元，技术工人 900 元，技术工人
乙 800 元. 杂工 640元，服务员甲 700元，服务员乙 640 元，会计 820 元．
(1)计算所有工作人员的平均工资； (2)去掉总经理后再计算平均工资；
(3)在(1)和(2)两种平均工资中，哪一种更能代表一般工人的收入水平 为什么
※探究创新
10．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了 6 次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的
数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适.
18
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第10讲 §2.3 变量间的相关关系
¤学习目标：1．了解相关关系与函数关系的异同点；
2．能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系，会画散点图.
¤知识要点：1.判别两变量间的相关关系；2.会求回归直线
¤例题精讲：
【例1】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知 y对 x 呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归方程； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少
5
∑ xi yi 5 xy
解：(1) b = i =1 112.3 5× 4× 5 5 = 2 = 1.230 ，
∑ x 2 5 x 2 90 5× 4 i
i =1
a = y bx = 5 1.230×4 = 0.080 .
∴线性回归方程为： y = bx + a =1.230x + 0.080 .
(2)当 x = 10 时， y =1.23×10 + 0.08 = 12.38 (万元),即估计使用 l0 年时维修费用是 12.38万元.
【例 2】在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度 y与腐蚀时间 x之间相应的一组观察值如
下表：
x / s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
y / m 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
(1)画出表中数据的散点图；(2)求回归方程；(3)试预测腐蚀时间为 l00s 时腐蚀深度是多少．
解：（ 1）散点图如右.
（2）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的
附近，因此，可用相关公式求出回归方程的系数．根据相关公
式求腐蚀深度 y对腐蚀时间 x的回归方程的步骤如下：
第一步：计算 a，b 的值．
510 214
由上表分别计算 x,y 的平均数得： x = , y = ,
11 11
13910 11 510 214 × ×
b 11 11 0.304 a 214 0.304 510 代入相关公式得 = ≈ , = × ≈ 5.346 .
36750 11× (510 ) 2 11 11
11
第二步：写出回归归方程.
腐蚀深度 y 对腐蚀时间 x 的回归直线方程为 y = 0.304x + 5.346 .
（3）当 x=100 s时， y = 0.304×100 + 5.346 = 35.746( m) ，即腐蚀深度大约是 35.746 m .
【例 3】设对变量 x, y有如下观察数据，试使用函数型计算器求回归方程.
X 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164
y 40 41 41 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5
解：按键 MODE 3 1 (进入回归计算模式)
SHIFT CLR 1 = （清除统计存储器）
151 ， 40 DT 152 ， 41 DT 153 ， 41 DT 154 ， 41.5 DT
156 ， 42 DT 157 ， 42.5 DT 158 ， 43 DT 160 ， 44 DT
160 ， 45 DT 162 ， 45 DT 163 ， 46 DT 164 ， 45.5 DT
继续按下表按键
SHIFT S VAR → → 1 = （计算参数 a） 27.759
SHIFT S VAR → → （计算参数 b）0.450
即 a= 27.759,b=0.450.
所以 y对 x 的回归归方程为: y = 0.450x 27.759 .
19
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 §2.3 变量间的相关关系
※基础达标
1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）.
A. 角度与它的余弦值 B. 正方形的边长与面积
C. 正 n边形的边数和其内角度数之和 D. 人年龄与身高
2. 设有一个回归方程为 y = 2 1.5 x ，则变量 x增加 1 个单位时（ ）.
A． y 平均增加 1.5 个单位 B． y 平均增加 2个单位
C． y 平均减少 1.5 个单位 D． y 平均减少 2个单位
3．已知两个变量 x 和 y 之间具有线性相关系，5次试验的观测数据如下：
x 100 120 140 160 180
y 45 54 62 75 92
经计算得回归方程 y = bx + a 的系数 b=0.575，则 a 等于（ ）.
A. 14.9 B. 13.9 C. 12.9 D. 14.9
4. 判断下图中的两个变量，具有线性相关关系的是（ ）.
A. B. C. D.
5．线性回归直线方程 y = a + bx 必过定点（ ）.
A. （0，0） B.（ x ,0) C. （0， y ） D. （ x , y ）
6．已知回归直线方程为： y = 0.5x 0.81 ，则 x=20 时，y 的估计值为 .
7．对某种机器购置后运营年限 x (1，2，3，…)与当年增加利润 y 的统计分析知具备线性相关关系，
回归方程为： y =10.47 1.3 x ，估计该台机器使用 年最合算．
※能力提高
8．某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利 服装件数x（件） 3 4 5 6 7 8 9
y（元）与该周每天销售这件服装件数 x（件）之间有 某周内获纯利y（元) 66 69 73 8l 89 90 9l
如下一组数据：
（1）求 x , y ； （2）若纯利y与每天销售这件服装件数x之间是线性相关的，求回归方程.
（3）若该店每天至少要获利 200 元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
9．在英语教学中，为了了解学生的词汇量，设计了一份包含 100 个单词的试卷，现抽取 15 名学生
进行测试，得到学生掌握试卷中单词个数 x与该生实际掌握单词量 y的对应数据如下：
x 61 65 70 69 83 75 58 73 63 72 71 68 65 67 74
y 2 030 2 140 2 270 2 250 2 240 2 220 l 970 2 330 2 100 2 300 2 300 2 200 2 200 2 200 2 370
(1)作散点图；(2)如果 y 与 x之间具有线性相关关系，则求 y对 x 的回归直线方程.
※探究创新
10.下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：
199819992000 2001 2002 2003 2004 2005
试由此估计 1999 年份 年我国居民生活污水排放量，并 一预测
排放量 151 189.1194.8203.8220.9227.7232.3
2007 年生活污水排放量(单位： 108 t)．
20
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第二章 统计
第11讲 第二章 统计 复习
¤学习目标：会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用抽样方法抽取样本. 会用样本频率估计
总体分布，会用样本数字特征估计总体数字特征. 掌握散点图和线性回归方程.
¤例题精讲：
【例 1】为 了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩，请 用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本．
解：⑴随机地将这 1003个个体编号为 1，2，3，…，1003．
⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数 1000 能被样本容
量 50 整除，然后再按系统抽样的方法进行．
*点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等(3/1003)，也就是每个个体不被剔除的概率相等
（1000/1003），采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是（50/1000），所以在整个抽样过程中每个个体
1000 50 50
被抽取的概率仍然相等，都是 × = .
1003 1000 1003
【例 2】某农场种植的甲乙两种水稻，在连续 6年中各年的平均产量如下：
品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 第 6 年
甲 6.75 6.9 6.75 6.38 6.83 6.9
乙 6.68 7.2 7.13 6.38 6.45 6.68
哪种水稻的产量比较稳定？
解： x甲 =（6.75+6.9+6.75+6.38+6.83+6.9）/6=6.75， S甲 =0.177,
x乙 =（6.68+7.2+7.13+6.38+6.45+6.68）/6=6.75， S乙 =0.312.
因为 S甲 < S乙 ，,所以甲水稻的产量比较稳定.
【例 3】已知 10 只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x（血球体积，ｍｍ），y（血红球数，百万）
x 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50
y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72
(1) 画出上表的散点图；
(2) 求出回归直线并且画出图形；
(3) 回归直线必经过的一点是哪一点？
解：（ １）见下图.
1
（２） x = (45 + 42 + 46 + 48 + 42 + 35 + 58 + 40 + 39 + 50) = 45.50 ,
10
y 1 = (6.53+ 6.30 + 9.52 + 7.50 + 6.99 + 5.90 + 9.49 + 6.20 + 6.55 + 8.72) = 7.37 .
10
设回归直线为 y = bx + a ， y
n
∑ xi yi nxy 10
则 a = i =1 n = 0.176 ， b = y ax = 0 .64 ,
∑ x 2i nx 2 5
i =1
所以所求回归直线的方程为 y = 0.176x 0.64 ，图形如下: 30 35 40 45 50 55 x
故可得到
y
b 87175 7×30× 399.3 = ≈ 4.75,
7000 7× 30 2 10
a = 399.3 4.75×30 ≈ 257, 5
^
从而得回归直线方程是 y = 4.75x + 257 ．
（3）回归直线必经过中心点 (x, y ) ，即 (45.50,7.37) . 30 35 40 45 50 55 x
点评：借助散点图，可以直观探究两个变量是否具有线形相关关系；运用由最小二乘法思想得到回
归直线方程的回归系数 a 和 b，会由数据求回归直线方程，并利用回归直线方程进行回归分析与预测.
21
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第11练 第二章 统计 复习
※基础达标
1．某商场想通过检查发票及销售记录的 2%来快速估计每月的销售总额. 采用如下方法：从某本 50
张发票存根中随机抽一张，如 15 号，然后按序往后将 65 号，115 号，165 号，……，发票上的销售额组
成一个调查样本，这种抽取样本的方法是（ ）.
A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.其它方式的抽样
2．在 用样本频率估计总体分布的过程中，下 列说法正确的是（ ）. y
A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确
C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确
3．数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是（ ）. 0.001
A . 8 B. 4 C. 2 D. 1
4．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿
体重（2700，3000）的频率为（ ）.
A. 0.001 B. 0.1 C. 0.2 D. 0.3 2400 2700 3000 3300 3600 x
5. （07 年陕西卷.文 6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有
40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测. 若采用分层抽样的方
法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6．（ 08 年上海卷）已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12，13.7，18.3，20，且总体的
中位数为 10.5，若要使该总体的方差最小，则 a、b的取值分别是 、 .
x c
7．进 行 n 次试验，得 到样本观测值为 x1, x2 ,L , x n ，设 c为任意常数，d 为任意正数，得 变量 y = i i d
(i = 1,2,L ,n ) ，则 y = .
※能力提高
8．某单位在岗职工共 624 人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取 10%的工人进行调查，
如何采用系统抽样方法完成这一抽样？
9．假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用（y 万元）有如下统计资料：
若由资料知，y对 x 呈线性相关关系，试求：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？
※探究创新
10. 人口问题是我国最大的社会问题之一，预 测人口数量及其发展趋势是我国制定一系列相关政策的
基础，由人口统计年鉴查得我国从 1949年至 1994 年人口数据资料如下：
年份 1949 1954 1959 1964 1969
人口/百万 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71
年份 1974 1979 1984 1989 1994
人口/百万 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74
试估计我国 1999 年的人口数，并查阅有关资料证实你的结论.
22
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 12 讲 §3.1.1 随机事件的概率
¤学习目标：
1．使学生理解随机事件的概念、概率与频率的区别与联系.
¤知识要点：
2．随机事件的概念、概率与频率的区别联系.
¤例题精讲：
【例 1】一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892
男婴出生频率
(1)填写上表中的男婴出生频率(如果用计算器计算，结果保留到小数点后第 3 位)；
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少
解：(1)由公式可算出，上表中的男婴出生的频率依次
2883
为 ≈ 0.520 4970 ， ≈ 0.517 6994 0.517 8892 ， ≈ ， ≈ 0.517 .
5544 9607 13520 17190
(2)由(1)知，某年起几年之内新生婴儿中男婴出生的频率虽然不尽相同，但频率总是在 0.517 的附
近摆动，可知该地区新生婴儿中男婴出生的概率约是 0.517．
m
点评：一般地，在大量重复重复同一试验时，事件 A发生的频率 总是趋近于某个常数，在它附近
n
摆动，这时就把这个常数叫做事件 A的概率.
【例 2】对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)该厂生产的电视机优等品的概率是多少
解：(1)结合公式 P(A) m = 及题意可计算出优等品的频率依次为 0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.
n
(2)由（1）知，计算出的优等品的频率虽然各不相同，但却都在常数 0.95 左右摆出，且随着抽取台
数 n的增加，摆动的幅度越来越小，因此，该厂生产的电视机优等品的概率是 0.95.
【例 3】如果某种彩票的中奖概率为 1/1000，那么买 1 000 张这种彩票一定能中奖吗 (假设该彩票有
足够多的张数)
解：有同学可能认为，中奖概率为 1/1000，那么买 l 000 张彩票就一定能中奖．但这种想法是不正确
的．实际上，买 1 000 张彩票相当于做 1 000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做 l 000 次
的结果也是随机的．这就是说，每张彩票既可能中奖也可能不中奖，因此 1 000 张彩票中可能没有一张中
奖，也可能有一张、两张……中奖．
虽然中奖张数是随机的，但这种随机性中具有规律性．随着试验次数的增加，即随着买的彩票张数
999 1000
的增加，大约有 1/1000 的彩票中奖．实际上，买 1 000 张彩票中奖的概率为 1 ≈ 0.6323 ．没
1000
有一张中奖也是有可能的，其概率近似为 0.3677．
【例 4】生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为 90％，结果根本一点雨
都没下，天气预报也太不准确了，” 学了概率后，你能给出解释吗
解：天气预报的“降水”是一个随机事件，“概率为 90％”指明了“降水”这个随机事件发生的概率．
我们知道：在一次试验中，概率为 90％的事件也可能不出现．
因此，“ 昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为 90％”的天气预报是错误的．
点评：一个随机事件发生一次，结果将具有随机性，但随机事件在大量重复试验时，结果可能存在
着一定的规律性. 即随机事件具有随机性，在 随机性中又有规律性与稳定性，且 随着试验次数的不断增多，
频率趋近于区间[0,1]上的一个常数即概率. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，两次同样的试验，会
得到不同的结果，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率成为概率的近似值.
23
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 §3.1.1 随机事件的概率
※基础达标
1．下列事件中，是随机事件的有（ ）.
A．某人投篮 3次，投中 4 次 B. 标准大气压下，水加热到 100℃时沸腾
C. 掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上” D. 抛掷一颗骰子，出现 7点
2．事件 A的概率 P(A)满足（ ）.
A．P(A)≈0 B．P(A)=1 C．0≤P(A)≤1 D．P(A)<0，或 P(A)>1
3．若书架上有中文书 5 本，英文书 3 本，日 文书 2本，则随机抽取一本恰为外文书的概率为（ ）.
A . 1/5 B. 3/10 C. 2/5 D. 1/2
4．下列事件是随机事件的有（ ）.
A．若 a、b、c 都是实数，则 a (b c) = (a b) c ； B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．掷一枚硬币，出现反面 D．在标准大气压下，水的温度达到 90℃时沸腾
5．给出下列事件： ① 如果 a、b 都是实数，那么 a+b=b+a；
② 从分别标有号数 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的 10 张号签中任取一张，得到 4 号签；
③ 没有水分，种子发芽； ④ 某电话总机在 60 秒内接到至少 15 次呼叫；
⑤ 在标准大气压下，水的温度达到 50℃时，沸腾； ⑥ 同性电荷，相互排斥．
下列说法错误的是（ ）.
A. ①⑥是必然事件 B. ③⑤是不可能事件 C. ②④是随机事件 D. ①②④⑥是随机事件
6．下列说法：
①频率是反映事件的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
m
②做 n 次随机试验，事件 A发生 m 次，则事件 A发生的频率 就是事件的概率；
n
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是 ．
7．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为 1 000 度，按照上个月的用电记录，30 天中有 12
天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率
是 ．
※能力提高
8．盒中装有 4 只白球和 5 只黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件 它的概率是多少
(2)“取出的球是白球”是什么事件 它的概率是多少
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件 它的概率是多少
9．判断下列各事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)导体通电时，发热；
(2)抛一石块，下落；
(3)在标准大气压下且温度低于 0℃时，冰融化；
(4)在常温下，焊锡熔化；
(5)某人射击一次，中靶；
(6)掷一枚硬币，出现正面．
※探究创新
1
10．袋中有若干小球，分别为红色、黑色、黄色、白色. 从中任取一球，得到红球的概率为 ，得到
4
1 5
黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或白球的概率为 . 试求任取一球，得到黑球，得到黄球，得到白球
2 12
的概率各是多少？
24
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 13 讲 §3.1.2 随机事件的概率
¤学习目标：使学生能够理解随机事件的概念；掌握互斥事件与对立事件的概率.
¤知识要点：小概率事件；互斥事件与对立事件的算法.
¤例题精讲：
【例 1】一个口袋内装有 5 个白球和 3个黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少
(2)“取出的球是黑球”是什么事件. 它的概率是多少
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件，它的概率是多少
解：(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为 0．
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它
的概率为 3/8．
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑(白)球，就是白(黑)球，因此，“取
出的球是白球或是黑球”是必然事件，它的概率是 1．
【例 2】抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 l，2，3，4，5，6)，事件 A 表示“朝上一面的
数是奇数”，事件 B表示“朝上一面的数不超过 3”，求 P(A∪ B ) .
解： A∪ B 4 2 这一事件包括 4 种结果，即出现 1，2，3 和 5．所以 P(A∪ B ) = = .
6 3
【例 3】经调查统计得到，星空乐园的急速飞翔游乐项目处，排队等候游玩的人数及其概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5 人及以上
概率 0.11 0.15 0.30 0.28 0.10 0.06
求：（1）至多 2 人排队等候的概率；
（2）至少 2人排队等候的概率.
解：记“排队等候游玩的人数为 0、1、2、3、4、5人及以上”的事件分别为 A、B、C、D、E、F，
则由题设得
P(A) =0.11， P(B ) =0.15， P(C ) =0.3， P(D ) =0.28， P(E ) =0.1， P(F ) =0.06.
（1）事件“至多 2 人排队等候”是互斥事件 A、B、C 的和，即 A + B + C ，其概率为
P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C ) =0.11+0.15+0.3=0.56，
所以，至多 2 人排队等候的概率为 0.56.
（2）“ 至少 2人排队等候”的对立事件是“至多 1 人排队等候”， 而“至多 1 人排队”为互斥事件 A、
B 的和，即 A∪ B ，其概率为 P(A+ B) = P(A) + P(B ) = 0.11+ 0.15 = 0.26 ，
因此，“ 至少 2 人排队等候”的概率为1 P(A+ B ) =1 0.26 = 0.74 .
点评：(1)运用公式 P(A+B)=P(A)+P(B)时，应先考虑 A、B 是否互斥．
(2)一般“至少”或“至多”问题，求其对立事件较容易．
【例 4】一盒中装有各色球 12 只，其中 5 个红球、4个黑球、2 个白球、1 个绿球．从中随机取出 1
球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率．
解法 l：(1)从 12只球中任取 1 球得红球有 5种取法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有 5+4=9
种不同取法，任取 1球有 12 种取法．
9 3
∴任取 1 球得红球或黑球的概率为 P1 = = . 12 4
(2)从 12 只球中任取一球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得白球有 2 种取法．从而得红
5 + 4 + 2 11
或黑或白球的概率为 = .
12 12
解法 2：记事件 A1 ={任取 1 球为红球)； A2 ={任取一球为黑球)； A3 ={任取一球为白球)； A4 ={任取
一球为绿球}，根据题意知，事件 A1, A2 , A3 , A4 彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为
P(A ∪ A ) P(A ) P(A ) 5 4 3 1 2 = 1 + 2 = + = ． 12 12 4
(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为
P(A ∪ A ∪ A ) P(A ) P(A 5 4 2 11 1 2 3 = 1 + 2 ) + P(A3 ) = + + = .12 12 12 12
25
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §3.1.2 随机事件的概率
※基础达标
1．若 A 是必然事件，B 是不可能事件，那么 A 和 B （ ）.
A. 是互斥事件，但不是对立事件 B. 是对立事件，但不是互斥事件
C. 是互斥事件，也是对立事件 D. 不是对立事件，也不是互斥事件
2．从装有 2个红球和 2 个白球的口袋内任取 2个球，那么对立的两个事件是（ ）.
A. 至少有 1 个白球；都是白球 B. 至少有 1 个白球；至少有 1 个红球
C. 恰有 1 个白球；恰有 1 个红球 D. 至少有 1 个白球；都是红球
3．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左恰好为第 1、2、3 册
的概率为（ ）.
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
4．一个口袋内有 9张大小相同的卡片，其号数为 1，2，3，…，9．从中任取两张，其号数至少有一
个为偶数的概率为（ ）.
5 4 5 13
A. B. C. D.
9 9 18 18
5．（ 2006 黄冈模拟）袋中有 1 个白球和 4 个黑球，每次从其中任取一个球，而且每次取出黑球后放
回袋中，则直到第三次取球时才取到白球的概率为（ ）.
16 16 1 4
A. B. C. D.
25 125 5 25
6．如图．四边形 ABCD 被其两条对角线分成四个小三角形. 若每个小三角形用 4种不同颜色中的任
一种涂染，那么出现相邻三角形均不同色的四边形的概率是 ．
7. 一枚五分硬币连掷三次，事件 A 为“三次反面向上”， 事件 B 为“恰有一次正面向
上”， 事件 C 为“至少二次正面向上”. 写出一个事件 A、B、C 的概率 P(A),P(B),P(C ) 之
间的正确关系式是 .
※能力提高
8．在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80～89 分的概率是 0.5l，在 70～79
分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09，计算小明在数学考试中取得 80 分以上成绩的概率和小明
考试不及格(低于 60 分)的概率．
9．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例(％) 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人．其他不同种血型的人不能互相输血，
小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少
※探究创新
10．若两个袋内分别装有写着 0，1，2，3，4，5 这六个数字的 6张卡片，从每个袋内各任取 1 张卡
片，求所得两数之和等于 5 的概率．
26
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 14 讲 §3.2 古典概型
¤学习目标：使学生理解古典概型的概念，掌握相关概率的算法.
¤知识要点：古典概型的概念、相关概率的算法.
¤例题精讲：
【例 1】判断下列命题正确与否．
(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3 种结果；
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，则每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(3)从 4、 3、 2、 1、0、1、2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0的可能性相同；
(4)5个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同．
解： 所有命题均不正确．
(1)应为 4 种结果，还有一种是“一反一正”；
(2)摸到红球的概率为 1/2，摸到黑球的概率为 1/3，摸到白球的概率为 1/6；
(3)取到小于 0 的数字的概率为 4/7，不小于 0 的数字的概率为 3/7；
(4)抽签有先有后，但每人抽到某号的概率是相同的．其理由是：假设 5 号签为中奖签，甲先抽到
中奖签的概率为 1/5；乙接着抽，其抽中 5 号签的概率为 45 ×
1
4 =
1
5 ；
点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．
【例 2】甲、乙两人参加法律知识竞答，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4 道，甲、
乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少 (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多
少
解：甲、乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题，先抽的有 10 种抽法，后抽的有 9 种抽法，故所
有可能的抽法是 10×9=90 种．即基本事件总数是 90．
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 A，下面求事件 A包含的基本事件数：
甲抽选择题有 6种抽法，乙抽判断题有 4 种抽法，所以事件 A 的基本事件数为 6×4=24．
P(A) m 24 4 ∴ = = = ．
n 90 15
(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未
抽到选择题”， 即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B，“至少一人抽到选择题”为事件
C，则 B 含基本事件数为 4×3=12．
12 2 2 13
∴由古典概型概率公式，得 P(B ) = = ，由对立事件的性质可得 P(C) =1 P(B ) =1 = ．
90 15 15 15
点评：(1)本题关键是通过分析得出公式中的 m、n,即某事件所包含基本事件数和事件总数，然后代
入公式求解.(2) 含有“至多”、 “ 至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考
虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质 P(A)=l—P( A )进一步求解．
【例 3】从含有两件正品 a1 、 a2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 件，每次取出后不放回，连
续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 ： 方 法 一 ： 每 次 取 一 个 ， 取 后 不 放 回 地 连 续 取 两 次 ， 其 一 切 可 能 的 结 果 为
(a1 ,a2 ),(a1,b1), (a2 ,a1),(a2 ,b1), (b1,a1), (b1,a2 ) ，其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右 边
的字母表示第 2 次取出的产品．一切可能的结果由 6 个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出
现是等可能的．用 A 表示 “取出的两件中，恰好有一件次品 ”这一事件，则事件 A 由
(a1 ,b1), (a2 ,b1), (b1,a1), (b1,a )
4 2
2 这 4 个基本事件组成，因而 P(A ) = = ． 6 3
方法二：设事件 A 2× 2 2 ：取出的两件中恰好有一件次品，则 P(A) = = ．
3× 2 3
点评：事件 A 的概率的计算，关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中包含的结果数 n A ．因此，必
须解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是否是等可能的 (2)本试验的基本事件有多少个 (3)事件 A 包含
多少个基本事件 另外，用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的 n、 n A ，再
n
利用公式 P(A) = A 求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏．
n
27
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §3.2 古典概型
※基础达标
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）.
1 1 2
A. B. C. D. 1
2 3 3
2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有 1、2、3、4、5、6，将这个玩具先后抛掷两次，则“向
上的数之和是 5”的概率是（ ）.
1 1 1 1
A. B. C. D.
9 6 12 3
3．从含有三件正品和一件次品的 4 件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概
率是（ ）.
1 1 1
A. B. C. D. 1
4 3 2
4．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由l0人依次摸出1个球，
设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为 P1 ，第10个人摸出黑球的概率是 P1 0 ，则（ ）.
P 1 P 1 A. 10 = B. P10 1 10
= P C. P = 0 D. P = P
9 1 10 10 1
5．有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三
角形的概率是（ ）.
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 5
6．从 1，2，3，4，5这 5 个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是 ．
7．在一次问题抢答游戏中，要求答题者在问题所列出的 4 个答案中找出唯一正确的答案．某抢答者
不知道正确答案便随意说出了其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 .
※能力提高
8．某种饮料每箱装 12 听，如果其中有 2 听不合格，问质检人员从中随机抽出 2 听，检测出不合格
产品的概率有多大
9．抛掷两颗骰子，计算：
（1）事件“两颗骰子点数相同”的概率；
（2）事件“点数之和小于 7”的概率；
（3）事件“点数之和等于或大于 11”的概率．
※探究创新
10．随意安排甲乙丙 3 人在 3天节日中值班，每人值班 1 天.
（1）这 3 人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
（2）其中甲在乙之前的排法有多少种？
（3）甲在乙之前的概率是多少？
28
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 15 讲 §3.3 几何概型
¤学习目标：
1．使学生理解几何概型处理概率问题的方法；2．掌握相关概率的算法.
¤知识要点：
1．几何概型的概念、相关概率的算法.
¤例题精讲：
【例1】某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的
概率．
分析：假设他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但 0 到 60 之间有无穷个时
刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率．因为电台每隔 l 小时报时一次，他在 0 到 60 之间
任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，
而与该时间段的位置无关，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．
解：设 A={等待的时间不多于 10 分钟}．我 们所关心的事件 A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，6 0]
时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得
P(A) 60 50 1 1 = = ，即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 ．
60 6 6
【例 2】在右图所示的边长为 2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的
内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π 的值．
分析：如果我们把“在正方形中撒豆子”看成试验，把“豆子落在圆中”看成随机事
件 A．则落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数的比值就是事件 A 发生的频率．当
我们撒一大把豆子时，这时频率可以近似地看成事件 A 的概率，可以认为这是一个几何
概型问题．
解：由几何概型的计算公式，得
P(A) 圆面积 π = = ．所以， π = 4× P(A) ．
正方形面积 4
4m
我们在正方形中撒了 n 颗豆子，其中有 m 颗豆子落在圆中，则圆周率的值π 近似等于 ．
n
【例 3】如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 在 ∠A CB 内部作一条射线 CM，与线段 AB
交于点 M，求 AM < AC 的概率．
180° 45° C
解： 在 AB 上取 AC ' = AC ，连接 CC ' ，则 ∠ACC ' = = 67.5 °
2
设 A={在 ∠ ACB 内部作一条射线 CM，与 线段 AB交于点M，A M < AC }，
则 = 90°, A = 67.5
°， ∴P(A) A 67.5° 3 = = = .
A M C
' B
90° 4
点评：射线 CM 随机地落在么 ∠ ACB 内部，故 ∠A CB 为所有试验结果构
成的区域，当射线 CM 落在 ∠ ACC ' 内部时，AM
可离去．求两人能会面的概率．
解：以 x 轴和 y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面
的充要条件是|x y|≤15．在如图所示平面直角坐标系下. (x，y)的所有可能结果是边长
为 60的正方形区域，而 事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由
几何概型的概率公式得：
2 2
P(A) S = A 60 45 7 7 = 2 = ．所以，两人能会面的概率是 ． S 60 16 16
点评：(1)甲、乙两人都是在 6～7 时内的任意时刻到达会面地点，故每一对结果对应两个时间，分
别用 x，y 轴上的数表示. 则每一个结果(x，y)就对应于图中正方形内的任一点．
(2)找出事件 A发生的条件，并把它在图中的区域找出来，分别计算面积即可.
(3)本题的难点是把两个时间分别用 x，y 两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段
长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．
29
《新课标高中数学必修③精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 §3.3 几何概型
※基础达标
1．在 1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出 3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的
概率是（ ）.
A. 0.003 B. 0.006 C. 0.03 D. 0.06
2．已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）.
1 1 1
A. B. C. D. 以上都不对
10 11 9
3．向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小于 S/2的概率是（ ）.
1 1 3 2
A. B. C. D.
4 2 4 3 A T
4．如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在60° 角的终边上，任作一条射
线 OA，求射线 OA 落在 ∠x OT 内的概率为（ ）.
1 1 1 1 x
A. B. C. D. O
2 3 4 6
5．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖. 小明希望中奖，他应当选择的游戏盘
为（ ）.
A. B. C. D.
6．一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，当你到达路
口时，看见下列三种情况的概率各是：(1)红灯 ；(2)黄灯 ；(3)不是红灯 ．
7．两根相距 6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概率
是 ．
※能力提高
8．一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m，宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的
概率.
9．设 A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与 A 连结，求弦长超过半径的 2 倍的概率．
※探究创新
10．两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时
间分别为 4小时与 2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
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《新课标高中数学必修③精讲精练》——精讲 第三章 概率
第 16 讲 第三章概率 复习
¤学习目标：理解必然事件、不可能事件和随机事件，理解频率与概率的意义与性质，会求古典概
型与几何概型的概率.
¤例题精讲：
【例 1】判断下列每对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？
从一副桥牌（52 张）中，任取 1 张，
（1）“ 抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“ 抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“ 抽出的牌点数为 3 的倍数”与“抽出的牌点数大于 10”
解：（ 1）是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发
生，因而是互斥的.同时，不能保证