1.3勾股定理的应用 课件 北师大版数学八年级上册（共39张PPT）

(共39张PPT)
第一章 勾股定理
第4课 勾股定理的应用
数学（BS）版八年级上册
几何体表面上两点之间的最短距离
例1 如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，要以点A环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正上方的点B处，问梯子最短需多少米？(π取3)
新课学习
解：圆柱形油罐的侧面展开图如图，则AB′的长为梯子的最短长度．
因为AA′＝2π×2＝12，A′B′＝AB＝5，
在Rt△AA′B′中，由勾股定理，得AB′2＝AA′^2 +(A′B′^2 ) ＝122＋52＝169＝132.所以AB′＝13.
答：梯子最短需13 m．
解：将长方体的侧面展开，如图，连接PQ，
则PQ的长即为所求的最短路程．
由题知PA＝2×(4＋2)＝12，QA＝5.
在Rt△PAQ中，由勾股定理，得PQ2＝PA2＋QA2＝122＋52＝132.
所以PQ＝13.
答：蚂蚁爬行的最短路程为13 cm.
1.如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和4 cm，高为 5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一周到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．
解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键步骤：(1)把立体图形展开成平面图形；(2)确定最短路线；(3)确定直角三角形；(4)根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解．
利用方程思想解决实际问题
例2 【教材P15习题T6变式】如图所示，小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m 后(即BC＝5 m)，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？若能，请计算出AC的长；若不能，请说明理由．
解：能．设AC＝x，则AB＝x＋1.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝5，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(x＋1)2＝x2＋52.解得x＝12.
答：AC的长为12 m．
2.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线BC向后拉开6米(即BC＝6米)，发现风筝线末端刚好接触地面，求风筝距地面的高度AB.
解：设风筝距地面的高度AB＝x，则AC＝x＋2.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，
即x2＋62＝(x＋2)2.解得x＝8.
答：风筝距地面的高度AB为8米．
勾股定理逆定理的应用
例3 如图，如果只给你一把带有刻度的直尺，你能否检验∠P是不是直角？简述你的方法，并说明理由．
解：能检验．
方法：①在射线PM上截取PA，使得PA为3 cm，确定点A的位置，在射线PN上截取PB，使得PB为4 cm，确定点B的位置；
②连接AB，得△PAB；
③用刻度尺测量AB的长度，若AB恰为5 cm，则说明∠P是直角，否则，∠P不是直角．
理由如下：
在△PAB中，PA＝3，PB＝4，PA2＋PB2＝32＋42＝52，
若AB＝5，则PA2＋PB2＝AB2.
所以△PAB是直角三角形，∠P是直角．(答案不唯一)
3.如图所示，某会场准备在其周围的一块四边形空地上种植草坪进行绿化，经测量∠B＝90°，AB＝7 m，BC＝24 m，CD＝15 m，AD＝20 m，求这块四边形草坪ABCD的面积．
解：如图所示，连接AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝72＋242＝625.
在△ADC中，AD2＋CD2＝202＋152＝625＝AC2，
所以△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°.
所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AB·BC＋AD·CD＝×7×24＋×20×15＝84＋150＝234(m2).
答：这块四边形草坪ABCD的面积是234 m2.
1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB的长为(　C　)
A．30 m
B．40 m
C．50 m
D．60 m
C
基础巩固
2．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具 　合格　 ．(填“合格”或“不合格”)
合格　
3．(2022·金华)如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是(　C　)
C
4．如图所示，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？
解：根据题意可知，BM＝8×2＝16(海里)，
BP＝15×2＝30(海里)．
在△BMP中，BM2＋BP2＝162＋302＝256＋900＝1 156.
又PM2＝342＝1 156，所以BM2＋BP2＝PM2.
所以△BMP是直角三角形，∠MBP＝90°.
所以180°－90°－60°＝30°.
答：乙船沿南偏东30°方向航行．
5．方程思想 如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它跃过的路线为直线)．如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
解：设BD＝x.由题意知BC＋AC＝BD＋AD，
所以AD＝30－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2.
解得x＝5.所以x＋10＝15.
答：这棵树的高为15 m．
6．一根长18 cm的牙刷置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是(　C　)
A．5B．6C．5≤h≤6
D．6≤h≤7
C
7．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则BE的长为 　3　 ．
3　
8．分类讨论如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体木块的对角顶点G处，若AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，则蜘蛛要在长方体表面上沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
解：可能有三种方案，如下：
方案一：如图1，当蜘蛛从点A出发经过EF再到点G时，连接AG.
因为BC＝5，
所以FG＝BC＝5.
所以BG＝FG＋BF＝5＋6＝11.
在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.
方案二：如图2，当蜘蛛从点A出发经过BF再到点G时，连接AG.
因为AB＝3，BC＝5，
所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8.
因为BF＝6，所以CG＝BF＝6.
在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.
方案三：如图3，当蜘蛛从点A出发经过HE再到点G时，连接AG.
因为AB＝3，所以GH＝AB＝3.
因为BC＝5，所以AD＝BC＝5.
因为BF＝6，所以HD＝BF＝6.
所以DG＝HD＋GH＝6＋3＝9.
在Rt△ADG中，AG2＝DG2＋AD2＝92＋52＝106.
因为100<106<130，所以蜘蛛沿着第二种方案的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm.
本课复习
1．机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个50 cm×40 cm×20 cm的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷：①38 cm；②40 cm；③60 cm；④68 cm.请问这位旅客可以购买的尺寸是（　B　）
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．①
B
2．如图，一个底面圆周长为24 m，高为5 m的圆柱体，一只蚂蚁沿其侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（　C　）
A．12 m
B．15 m
C．13 m
D．9.13 m
C
3．如图，墙A处需要维修，A处距离墙脚C处12米，墙下是一条宽BC为5米的小河，现要使用一架梯子维修A处的墙体，其中有一架12.8米长的梯子，则这架梯子 　不能　 (填“能”或“不能”)到达墙的A处．
不能　
4．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE＝4 cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8 cm时，摆锤离底座的垂直高度BF＝6 cm，则钟摆AD的长度为 　17　 cm.
17　
循环复习
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝1, AB2＝10，则BC＝ 　3　 ．
3　
1．【教材P14随堂练习变式】如图，一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距(　D　)
A．25海里
B．30海里
C．35海里
D．40海里
D
基础提能
2．如图，有一个圆柱，其高为8 cm，它的底面周长为16 cm，在圆柱外侧距下底1 cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到圆柱外侧距上底1 cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 　10　 cm.
第2题图
10　
3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm，3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，则沿着台阶面爬到点B的最短路程为 　13　 dm.
第3题图
13　
4．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长．
解：设AC＝x，则AB＝AC＝x.
由题意知EB＝CD＝1，所以AE＝x－1.
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，
由勾股定理，得AC2＝CE2＋AE2，
即x2＝32＋(x－1)2.
解得x＝5.
所以滑道AC的长为5 m.

5．公路旁有一块山地正在开发，现有C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围250米内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：公路AB段需要暂时封锁．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝400，AC＝300，
由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002.
所以AB＝500.
因为S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
所以CD＝＝＝240(米)．
因为240<250，
所以公路AB段需要暂时封锁．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400 m，BD＝200 m，且CD＝800 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？
解：由题意，得AC＝400，CD＝800，BD＝200.
如图，作点A关于直线CD对称的点A′，连接A′B交CD于点M，点M即为所求，即在M处饮水能使所走的总路程最短．过点A′作A′H⊥BD，交BD的延长线于点H，则BH＝400＋200＝600(m)．
由轴对称的性质可知A′M＝AM.
所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B.
在Rt△A′BH中，由勾股定理，得A′B2＝A′H2＋BH2＝CD2＋BH2＝8002＋6002＝1 000 000.
所以A′B＝1 000.所以最短路程是1 000 m.