广东中山东升高中人教A版选修1-2,2-2,2-3精讲精练第三版(全稿)2009.1
文档属性
| 名称 | 广东中山东升高中人教A版选修1-2,2-2,2-3精讲精练第三版(全稿)2009.1 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-08-10 10:20:00 | ||
图片预览
文档简介
精讲精练 新课标高中数学精讲精练
人教 A 版选修 1 2 & 2 2 & 2 3
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
丛书主编 徐山洪
编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石 1 §1.1 回归分析的基本思想及其初步应用………（01）
王庚儿 李剑夫 张志略 2 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)…（03）
马荣林 邓世疆 赵朝贤
3 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)…（05）
陈新权 刘会金 陈远刚
李德明 王振芳 黄全顺 4 第一章 统计案例 复习 ………………………（07）
王福山 饶乘凤 关丽琼
潘泽学 匡唐松 宾业河 5 §2.1.1 合情推理………………………………（09）
谢凤仙 余扩益 高建彪
6 §2.1.2 演绎推理…………………………………（11）
张天良 谢小毛 谢吉权
张梅玲 陈上越 赵启锐 7 §2.2.1 综合法与分析法………………………（13）
饶胜文 周志明 李志敏 8 §2.2.2 反证法…………………………………（15）
9 第二章 推理与证明 复习………………………（17）
本册主编 赵朝贤
主要编者 陈鉴源（第一章）
张 平（第二章） 10 §3.15 数系的扩充和复数的概念………………（19）
罗明明（第三章） 11 §3.2 复数代数形式的四则运算………………（21）
罗明明（第四章）
12 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习………（23）
校 审 蔡建信（第一章）
廖 惠（第二章）
付增徳（第三章） 13 §4.1 流程图………………………………………（25）
付增徳（第四章） 14 §4.2 结构图……………………………………（27）
质量反馈 0760 86853660
zssxzb@ 15 第四章 框图 复习………………………………（29） 意见信箱
信息反馈 http://sx./nh
美术编辑 陆镜平 16《统计案例》单元测试 …………………………（31）
17《推理与证明》单元测试 ………………………（35）
开 本 890mm×1 240mm 16 开
印 张 4.5 18《数系的扩充与复数的引入》单元测试 ………（39）
字 数 70 000 19《框图》单元测试 ………………………………（41）
印 数 3 001～4 800 册 20《选修 2 3》模块水平测试 ……………………（44）
版 次 2009 年 1月第 3 版
印 次 2009 年 1月第 3 次印刷
第 1～15 练参考答案…………………………（ 49～56）
本册成本 7.0 元 第 16～20 测试答案……………………………（ 57～67）
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 1 讲§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
¤学习目标：了解掌握相关指数（相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方
和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析）,会求上述的相关指数,通过典型案例，掌握回归分析的基本
步骤.
¤知识要点：掌握回归分析的步骤. 相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平
和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析 求回归系数 a , b .
¤例题精讲：
【例 1】有下列关系：
（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是 .
解：有相关关系的是：（ 1）（3）（4）.
【例 2】某种书每册的成本费 y（元）与印刷册数 x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200
y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
1
检验每册书成本费 y与印刷册数倒数 之间是否具有线性相关关系，如有，求 y对 x的回归方程.
x
u 1 解：首先设变量 = ，题目所给的数据变成如下表所示的数据：
x
ui 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005
yi 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
经计算得 r = 0.9998 > 0.75 ，从而认为u与 y之间具有线性相关关系，
由公式得 a =1.125,b = 8.973 ， 所以 y =1.125 + 8.973 x ，
1 8.973
最后回代 u = ，可得 y =1.125 + .
x x
【例 3】营 养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿生长的影响，调查了一批年龄在两个月到三岁的
婴幼儿，将他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白食物组两组，并测量身高，得到
下面的数据：高蛋白食物组
年龄 0.2 0.5 0.8 1 1 1.4 1.8 2 2 2.5 2.5 3 2.7
身高 54 54.3 63 66 69 73 82 83 80.3 91 93.2 94 94
低蛋白食物组
年龄 0.4 0.7 1 1 1.5 2 2 2.4 2.8 3 1.3 1.8 0.2 3
身高 52 55 61 63.4 66 68.5 67.9 72 76 74 65 69 51 77
身高与年龄近似有线性关系，检验：不同食物的婴幼儿的身高有无差异；若存在，这种差异有何特
点？
解：对高蛋白的食物组，设年龄 x，身高为 y ,
n n n n n
则 S = ∑ x 2 1 1 xx i (∑ x 2 i ) =9.69，S ∑ x y ∑ x xy = i i i ∑ y i =154.81.
i=1 n i=1 i=1 n i=1 i=1
S b xy = 154.81 = =15.97， a =76.8 15.97×1.65=50.40， 回归方程 y = 50.40 + 15.97 x .
S xx 9.69
对低蛋白食物组，设年龄为 x，身高为 y ,同样可得线性回归方程为 y = 51.226 + 8.686 x ，通过对斜
率、截距进行比较，可以看出不同食物对婴儿的身高有显著的差异，且高蛋白食物组同龄婴幼儿身高明
显高些.
1
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
※基础达标
1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）.
A. 预报变量在 x轴上，解释变量在 y轴上 B. 解释变量在 x轴上，预报变量在 y轴上
C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x轴上 D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y轴上
2. 一位母亲记录了儿子 3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 y = 7.19x + 73.93
用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ）.
A. 身高一定是 145.83cm B. 身高在 145.83cm以上
C. 身高在 145.83cm以下 D. 身高在 145.83cm左右
3. 两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R 2 如下 ，其中拟合
效果最好的模型是（ ）.
A. 模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80
C. 模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25
4. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下列判断正确的
是（ ）.
A. 劳动生产率为 1000 元时，工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150 元
C. 劳动生产率提高 1000元时，工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元
5. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）.
A. 残差 B. 样本编号 C. x D. en
6. 通过 e1,e2 ,..., en 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为
（ ）.
A.回归分析 B.独立性检验分析 C.残差分析 D. 散点图分析
※能力提高
7． 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有
缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速 x (转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数 y（件） 11 9 8 5
（1）变量 y对 x进行相关性检验；
（2）如果 y对 x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制
在什么范围内？
※探究创新
8. 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国 50个州的
成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )的
∧
数据，建 立的回归直线方程如下 y = 0.8x + 4.6 ，斜 率的估计等于 0.8说明 ；
成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )之间的
相关系数 (填充“大于 0”或“小于 0”)
2
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 2 讲 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)
¤学习目标：理解独立性检验的基本思想,会从列联表、柱形图、条形图直观判断吸烟与患癌有关,
了解随机变量 K2 的含义.
¤知识要点: 1、独立性检验的基本思想.
2、随机变量 K2 的含义.
¤例题精讲：
【例 1】某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别
非统计专业 统计专业
专业
男 13 10
女 7 20
50× (13× 20 10× 7) 2
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，得到 k = ≈ 4.844 ，判定主修统计专业
23× 27× 20× 30
与性别有关系，则这种判断出错的可能性为 _.
解：因 K 2 ≥ 3.841 ，所以这种判断出错的可能性为 5%.
【例 2】有人发现,多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠 不冷漠 总计
多看电视 68 42 110
少看电视 20 38 58
总计 88 80 168
则大约有__ ___的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
k 168× (68×38 42× 20)
2
解：根据表中的数据，得到 = ≥ 6.635 ,
88×80×110× 58
所以大约有 99%把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
【例 3】在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人.女性中
有 43人主要的休闲方式是看电视，另外 27人主要的休闲方式是运动；男性中有 21人主要的休闲方式是
看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个 2×2 的列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系.
解：（1）2×2 的列联表如下：
休闲方式 看电视 运动 总计
女 43 27 70
男 21 33 54
总计 64 60 124
（2）假设“休闲方式与性别无关”，
k 124× (43×33 27× 21)
2
计算 = ≈ 6.201 ， 因为 K 2 ≥ 5.024 ，
70×54×64× 60
所以，有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别
有关”.
【例 4】现调查中学生性别与肥胖的关系，从一学校随机抽取 300 人，得到以下联表：
肥胖 不肥胖 总计
女 35 90 125
男 30 145 175
总计 65 235 300
由表中数据计算得 K 2 ≈ 0.3453 ，中学生的性别是否与肥胖有关系？为什么？
解：因为在假设“性别与肥胖之间没有关系“的前提下，事件 A = { K 2 ≤ 2.706} 的概率为
P(K 2 ≤ 2.706) ≈ 0.25 ，
由样本计算得 K 2 ≈ 0.3453 < 2.706 ，因此肥胖与性别没有充分的证据显示有关系.
3
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)
※基础达标
1. 三维柱形图中，主副对角线上两个柱形的高度 相差越大，要推断的论述成立的可能性越大（ ）.
A. 乘积 B. 和 C. 差 D. 商
2. 考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，则（ ）.
A. 种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关
C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的
3. 某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？
.
4. 由一个 2*2 列联表中数据计算得 k 2 = 4.013 ,有 把握认为两个变量有关系.
5. 对于两个分类变量 X 与Y ：
（1）如果 K > 6.635 ，就约有_______的把握认为“X 与 Y有关系”；
（2）如果 K > 3.841 ，就约有_______的把握认为“X 与 Y有关系”；
（3）如果 K ≤ 2.706 ，则_______（填“有”或“没有”） 充足的把握认为“X 与 Y有关系”.
※能力提高
6. 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚
都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1355 1379
合计 54 1579 1633
※探究创新
7. 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行 3 年跟踪研究，调查他们
是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计
心脏搭桥手术 39 157 196
血管清障手术 29 167 196
合计 68 324 392
试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别
4
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 3 讲§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)
¤学习目标：理解独立性检验的基本思想,会从列联表、柱形图、条形图直观判断是否有相关,了解
随机变量 K 2 的含义.
¤知识要点：
n ad bc 2
1.独立性检验 k 2 ( ) =
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
2．独立性检验的思想（类似反证法）.
¤例题精讲：
【例 1】某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩游戏 18 9 27
不喜欢玩游戏 8 15 23
合计 26 24 50
则认为喜欢游戏与作业量的多少有关系的把握大约为
A．99% B. 95% C.90% D.无充分依据
50× (18×15 8× 9) 2
解：由表中数据得 K 2 = ≈ 5.059 > 3.841 ，所以约有 95%的把握认为两变量之间
26× 24× 27× 23
有关系.选 B.
【例 2】在 某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因
为患心脏病而住院的男性病人中有 175 秃顶，请用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你
所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
患心脏病 未患心脏病 合计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
合计 665 772 1437
2 n ( ad bc )
2
K = ≈16.373 > 6.635 . 所以有 99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
【例 3】为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取
300 名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计
男 37 85 122
女 35 143 178
合计 72 228 300
由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k≈ 4.513. 在多大程度上可以人为高中生的性别与是否喜欢数学课程之
间有关系？为什么？
解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下， k 2 应该很小，并且
k 300× (37×143 35× 85)
2
= > 3.841 这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”这一结论是错
72×122×178× 228
误的可能性为 0.05，即有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”.
【例 4】甲 乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联
表：
优秀 不优秀 合计
甲班 37 85 122
乙班 35 143 178
合计 72 228 300
利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少？
解：由表中数据计算，得到 K 2 的观察值为 k ≈ 0.653 > 0.455 ,从而有 50%的把握认为“成绩优秀与
班级有关系”，即“成绩优秀与班级有关系“犯错误的概率为 0.05.
5
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)
※基础达标
1．检验两个分类是否相关时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是（ ）.
A.散点图 B.三维柱形和二维条形图 C.独立性检验 D.以上都可以
2．在二维条形图中，两个比值______相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（ ）.
a c a c a c a A． 与 B. 与 C. 与 D. 与 c
a + b c + d c + d a + b a + d b + c b + d a + c
3. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）.
A. 若K 2 的观测值为 k = 6.635 ,我们有99% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100个吸烟的
人中必有 99人患有肺病.
B. 从独立性检验可知有 99% 的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有
99% 的可能患有肺病.
C. 若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判
出现错误.
D. 以上三种说法都不正确.
4 . 两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4个不同模型，它们的相关指数 R 2 如下 ，其中拟合
效果最好的模型是（ ）.
A.模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80
C.模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25
5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠 不冷漠 总计
多看电视 68 42 110
少看电视 20 38 58
总计 88 80 168
则大约有 的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
※能力提高
6. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：
患病 不患病 总计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
请问能有多大把握认为药物有效
※探究创新
7. 通过随机询问 72名不同性别的大学生在购买食物时时否看营养说明，得到如下联表：
女 男 总计
读营养说明 16 28 44
不读营养说明 20 8 28
合计 36 36 72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？
6
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 4 讲§1.2 统计案例 复习
¤学习目标： 掌握回归分析的基本步骤,独立性检验的基本思想及实施步骤了解随机变量 K 2 的含
义, K 2 太大认为两个就量是有关系的.
¤知识要点: 1.掌握回归分析的步骤，独立性检验的思想（类似反证法）；
2.求回归系数 a , b , 求回归方程；
2 n ( ad bc )
2
3.独立性检验 k = ；
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
4．参考公式
P（K 2 ≥ k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
¤例题精讲:
【例 1】 (1). 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数 ，可以叙述为“身高解释了
64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的 36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.
(2). 若一组观测值（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）之间满足 yi=bxi+a+ei (i=1、2.
若 ei 恒为 0，则 R 2 为
(3). 已知 x与 y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则 y与 x的线性回归方程 y = bx + a 必过点______
解：(1). 0.64； (2). 1 ； (3). (1.5,4).
【例 2】在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有 24
人，不晕机的有 31人；女乘客晕机的有 8人，不晕机的有 26人. 请你根据所给数据判定是否在恶劣气候
飞行中男人比女人更容易晕机？
解：根据题意，列出列联表如下
晕机 不晕机 合计
男 24 31 55
女 8 26 34
合计 32 57 89
2 89× ( 24× 26 31× 8
2
则 K ) = ≈ 3.689 > 2.706 , ∴ 90%的 把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.
55×34×32× 57
【例 3】一 只红铃虫的产卵数 y和温度 x有关现收集了 7 组数据于下表,试建立 y与 x之间的回归方程.
温度 x 21 23 25 27 29 32 35
产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325
解：依题意，把温度作为解释变量 x ，产卵个数 y 作为预报变量 , 作散点图，由观察知两个变量
不呈线性相关关系. 但样本点分布在某一条指数函数 y = c e c2 x 1 周围.
令 z = ln y , a = ln c1 , b = ln c2 , 则 z = bx + a .
此时可用线性回归来拟合 z=0.272x 3.843，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
Y=e 0.272x 3.843
【例 4】为了调查某生产线上，某质监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：
产品正品数 次品数 合计
甲在现场 982 8 990
甲不在现场 493 17 510
合计 1475 25 1500
试用独立性检验的方法对数据进行分析.
2
解：因为 K 2
1500× ( 982×17 493× 8 )
= ≈13.097 > 6.636 ,所以约有 99%的把握认为“质量监督员甲
1475× 25×510× 990
在不在现场与产品质量有关系”.
7
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 统计案例 复习
※基础达标
1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）.
A.预报变量在 x轴上，解释变量在 y轴上 B.解释变量在 x轴上，预报变量在 y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 x轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 y轴上
2. 设两个变量 x和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 r ， y 关于 x的回归直线的斜率是
b，纵截距是 a ，那么必有（ ）.
A. b与 r 的符号相同 B. a 与 r 的符号相同
C. b与 r 的相反 D. a 与 r 的符号相反
3. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下列判断正确的
是（ ）.
A.劳动生产率为 1000 元时，工资为 50 元
B.劳动生产率提高 1000元时，工资提高 150 元
C.劳动生产率提高 1000元时，工资提高 90 元
D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元
4. 为研究变量 x和 y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方
程 l1 和 l 2 ，两人计算知 x相同， y也相同，下列正确的是（ ）.
A. l1 与 l 2 重合 B. l1 与 l 2 一定平行
C. l1 与 l 2 相交于点 ( x, y ) D. 无法判断 l1 和 l 2 是否相交
5. 变量 x与 y具有线性相关关系，当 x取值 16、14、12、8时，通过观测得到 y的值分别为 11、9、
8、5，若在实际问题中， y的预报最大取值是 10，则 x的最大取值不能超过（ ）.
A．16 B.17 C.15 D.12
6. 作两个变量的散点图的主要目的是__________________________________.
7．两个模型的残差平方和越小的模型，拟合的效果_____________________.
8. 若由一个 2*2 列表中的数据计算得 K 2 ≈ 4.013 ，那么有_________的把握认为两个变量间有关系.
※能力提高
9. 某厂为了研究生产率与废品率之间的关系,记录了 7 天的数据,试根据以下数据建军立废品率与生
产率的回归模型:
生产率/个.周 1000 2000 3000 3500 4000 4500 500
废品率/% 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13
※探究创新
10. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取 300
名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计
男 37 85 122
女 35 143 178
合计 72 228 300
由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ≈ 4.51 ,在多大程度上可以人为高中生的性别与是否喜欢数学课
程之间有关系？为什么？
8
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 5 讲 §2.1.1 合情推理
¤学习目标：理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法，能通过归纳法和类比法的步
骤，体会逻辑推理的严谨性.
¤知识要点：
1、归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理. 归纳推理步骤：（1）通过观察个别情况发现某
些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
2、类比推理：由特殊到特殊的推理. 类比推理步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）
用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
¤例题精讲：
2a
【例 1】在数列{a } 中， a =1,a = n n 1 n +1 , n∈ N ,试猜想这个数列的通项公式. 2 + an
分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项.
{a } 2a a 1,a 1 2 2a 2 1 2 2 a 2 解： n 中， 1 = 2 = = ,a3 = = = ,a = 3 = , L 2 + a1 3 2 + a 4 2 2 4 2 + a3 5
∴ {a 2 n } 的通项公式 an = . n + 1
点评：通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，本题的
结论可以通过适当的变形得证.
【例 2】顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1,…的前 4项的值，由此猜测：
a n =1+2+3+…+( n 1)+ n +( n 1)+…3+2+1 结果.
解：1=1 2 ；
1+2+1=4=2 2 ；
1+2+3+2+1=9=3 2 ；
1+2+3+4+3+2+1=16=4 2 ；
从而猜想： a n =1+2+3+…+( n 1)+ n +( n 1)+…3+2+1= n
2 .
【例 3】通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.
解：
圆 球
球心与截面（不经过圆心的小截面圆）圆
圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦
心的连线垂直截面圆
与圆心距离相等的两条弦长相等 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等
圆的周长 C=π d 球的表面积 S=π d2
圆的面积 S=π r 2 球的体积 V= π r 3
点评：本题推测球的有关性质其前三个得到的结论是正确的，最后一个则是错误的，由此可见，类
比的结论只具有或然性，即可能真，也可能假.
【例 4】在Rt △ABC 中，若∠C=90 0， 则 cos 2A +cos 2B =1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.
分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有 3 个面两两垂直的四面体 P ABC,
且三个面与面 ABC 所成的二面角分别是α 、β、γ .
B
解：如图，在Rt △ABC 中，
2 2
cos2 A +cos 2B = (b )2 + (a )2 a + b = 2 = 1 .
c
c c c a
于是把结论类比到四面体 P ABC 中，我们猜想，三棱锥 P ABC P C b A
中，若三个侧面 PAB、PBC、PCA 两两互相垂直且分别与底面所 C
成的角为α 、β、γ . A
B
由此可猜想出四面体性质为：cos 2 α +cos2 β+cos 2 γ =1 .
点评：类比推理应从具体问题出发，通过观察、联想进行对比，归纳，提出猜想.平面问题与空间问题
的类比，通常抓住平面角与二面角、面积与体积、边与面等各方面几何要素进行对比.
9
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §2.1.1 合情推理
※基础达标
1. 由数列 1，10，100，1000，……猜测该数列的第 n 项可能是（ ）.
A．10 n B．10 n 1 C．10 n+1 D．11 n .
2. 1，3， 7，15，( )，63，· ··， 括号中的数字应为（ ）.
A．33 B． 31 C． 27 D． 57
3. 数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第 1000 项是（ ）.
A 42 B 45 C 48 D 51
4. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你
认为比较恰当的是（ ）.
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面
所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A．①； B．①②； C．①②③； D．③.
5. 设平面内有 n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用
f (n ) 表示 n 条直线交点的个数，则 f (4) = （ ）.
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 _______________.
7. 设 f (n ) >0（n∈N﹡）, f (2) =9，并且对于任意 n1 、 n 2 ∈ N *，
f (n1 ) f (n2 ) = f ( n1 + n2 )成立，猜想 f (n) = .
※能力提高
8. n 已知 an+1 = an （n=1、2、·· ·）， a1=1，试归纳这个数列的通项公式. n + 1
9. 已知： sin2 30o + sin2 90o + sin2 150 o 3 = ； sin2 5o + sin2 65o + sin2 125o 3 = . 通过观察上述两等式的规
2 2
律，请你写出一般性的命题：__________________________= 3 （*），并给出（*）式的证明.
2
※探究创新
10. {a } n S a 2 1 已知数列 n 的前 项和为 n ， 1 = ，满足 Sn + + 2 = an (n ≥ 2) ，计算 S1,S2 ,S3 , S 3 S 4
，并推
n
测 S n 的表达式.
10
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 6 讲 §2.1.2 演绎推理
¤学习目标：理解演绎推理的概念，能利用“三段论”进行简单的推理，通过演绎推理能体会推理
的规则，能合乎逻辑地进行推理.
¤知识要点：
1、 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理. 是由一般到
特殊的推理.
2、三段论推理：（1）大前提 已知的一般性原理；（2）小前提 所研究的特殊情况；（3）结论 根
据一般原理，对特殊情况做了的判断.
¤例题精讲：
【例 1】把下列演绎推理写成“三段论”的形式.
（1）三角函数都是周期函数，y=tanx 是三角函数，所以 y=tanx是周期函数.
（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2 100+ 1）是奇数，所以（2 100+ 1）不能被 2 整除.
解：（1）三角函数都是周期函数 ……大前提
y=tanx 是三角函数 ……小前提
∴ y=tanx是周期函数 ……结论
（2）一切奇数都不能被 2 整除 ……大前提
（21 00+ 1）是奇数 ……小前提
∴（21 00+ 1）不能被 2 整除 ……结论
【例 2】设 a > 0,b > 0,a + b 1, 1 1 1 = 求证: + + ≥ 8 .
a b ab
证明：∵ a > 0, b > 0, a + b = 1,∴ 1 = a + b ≥ 2 ab ,∴ ab 1≤ , 1 ∴ ≥ 4 .
2 ab
∴ 1 1 1 1 1 + + = ( a + b )( + ) 1 + ≥ 2 ab 1 1 2 + ≥ 4 + 4 = 8 .
a b ab a b ab ab ab
当且仅当 a = b 时等号成立，所以 1 + 1 1 + ≥ 8 .
a b ab
点评：对不等式证明除考虑利用均值不等式外，对“1”的灵活使用值得注意.
π
【例 3】如图所示为三个拼在一起的正方形，求证：α+β= .
4
π π 1 1
证明：∵0<α< , 0<β< , ∴0<α+β<π . 又 tanα= , tanβ= , β α
2 2 2 3
1 1
+
∵ tan(α + β ) tanα + tan β = = 2 3 = 1 ,
1 tanα tan β 1 1 × 1
2 3
π
∵ 0<α+β<π , ∴α+β= .
4
x
【例 4】求证函数 y 2 1 = x 是奇函数，且在定义域上是增函数. 2 + 1
x
证明：(1)∵ y 2 1 = = 1 2 , 定义域为 x∈ R .
2x + 1 2x + 1
x
∴ f ( x) + f (x ) = ( 1 2 )+( 1 2 )=2 2 2 2 =2 2=0 , 2 x + 1 2x + 1 2x
+
+1 2
x + 1
即 f ( x) = f (x ) ∴ f (x ) 是奇函数.
(2) 任取 x1,x2, 且 x1x1 x2
f (x1) f (x
2
) = = 1 1 2 1 1 2 2 2 x =2 = , 2 1 +1 2x 2 + 1 2x2 +1 2x1 +1 (2x2 +1) + (2x1 + 1)
∵x从而 f (x1) f (x 2 ) <0.
∴ f (x1) < f (x2 ) 故 f (x ) 为增函数
点评：例 3与例 4 在证明过程中都使用了“三段论”推理规则. 例 4 在证明奇函数是使用定义法，使
式子变形而得，如果 f( x) f(x) =0则函数为偶函数.
11
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 §2.1.2 演绎推理
※基础达标
1. 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特
殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
2. 演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）.
A．一般的原理原则； B．特定的命题； C．一般的命题； D．定理、公式.
3．已知ΔABC 中，∠A=30°∠B=60°求证：a证明： ∵ ∠A=30°，∠B=60°∴ ∠A<∠B ∴ aA．大前提 B．小前提 C．结论 D．三段论
4. 已知直线 m、n与平面 α , β ，给出下列三个命题： ①若 m //α ,n //α ,则m // n
②若 m //α ,n ⊥ α ,则 n ⊥ m ③若 m ⊥ α ,m // β , 则 α ⊥ β . 其中真命题的个数是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
5. 设函数 f (x)(x∈ R ) 为奇函数， f 1 (1) = , f ( x + 2 ) = f ( x ) + f ( 2 ) , 则 f (5 ) = （ ）.
2
A．0 B．1 C． 5 D．5
2
6. 在数列{ a n } 中， a1 =1,a2 = 2,an+ 2 an =1+ ( 1)n (n∈ N * ) ，则 S1 0 = __________.
7. 已知无穷数列 1，4，7，10，…，则 4891 是它的第__________项.
※能力提高
8. 用三段论证明：三角形内角和等于 180°.
9. 已知实数 p 满足不等式 (2x +1)(x + 2) < 0 ，试判断方程 y2 2y + 5 p 2 = 0 有无实根，并给出证明.
※探究创新
10. 已知{ an } 是各项均为正数的等差数列， lga1, lga2 , lg a
1
4 成等差数列，又 bn = ，n=1,2,3,… a
2 n
证明：{b n } 为等比数列.
12
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 7 讲 §2.2.1 综合法与分析法
¤学习目标：理解综合法证明和分析法证明的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法，分析法证
题，能体会这两种方法的相辅相成、辩证统一的关系.
¤知识要点：
1、综合法：它是从已知到末知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真
实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题. 它是一种由因索果的证明方法.
2、分析法：它是先假设所要求证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的判断. 而当
这些判断恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）时，命题得证. 它是执果索因
的证明方法.
¤例题精讲：
【例 1】已知 a、b、c 是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2 ) +b(c 2+ a 2) +c(a 2+ b2 ) >6abc
证明：∵b2 + c 2≥ 2bc ∴a(b2 + c 2) ≥2abc…… ①
同理 b(c 2+ a2 ) ≥2abc ……②
同理 c(a2 + b2 ) ≥2abc ……③
∵ a、b、c 是不全相等的正数
∴b 2+ c 2≥ 2bc、(c2 + a 2) ≥2ac、(a 2+ b2 ) ≥2ab 三式中不能全取“=”号
∴①②③三式相加 a(b2 + c 2) +b(c2 + a2 ) +c(a2 + b2 ) >6abc
点评：从本题的已知条件到要证明结论，显然利用综合法证明较方便，即使用均值不等式. 但要注意
使用均值不等式时，取“=”号成立的条件.
【例 2】求证 2 + 7 < 3 + 6 .
证明： ∵ 2 + 7 >0, 3 + 6 >0,
要证 2 + 7 < 3 + 6 ，
只需证 （ 2 + 7 ） 2< （ 3 + 6 ） 2，
即证 9+2 14 <9+2 18 ，
即 14 < 18 ,即证 14<18.
∵14<18 显然成立，
∴ 2 + 7 < 3 + 6 .
【例 3】设 a、 b ， x、 y ∈ R ，且 a2 + b2 =1, x2 + y 2 = 1 ，试证 ax + by ≤ 1 .
证法 1： ax + by ≤ 1 (ax + by)2 ≤1 a2x2 + 2abxy + b2 y 2 ≤ 1
a2x2 + 2 abxy + b2 y 2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) (bx ay )2 ≥ 0 ，这显然成立.
∴ ax + by ≤ 1 .
证法 2： (ax + by)2 = a2x2 + 2 abxy + b2 y 2 ≤ a2x2 + b2 y2 + b2x2 + a2 y 2 = (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = 1 ，
∴ ax + by ≤ 1 .
【例 4】如图 AB为⊙O的直径，⊙O 在平面γ内，SA⊥平面γ，∠SBA=30 0， 动点 P在圆 O 上移动
（不重合于 A、B 两点），以 N和 M表示点 A在 SP、SB 上的射影，∠BAP=α, ∠AMN=β.
求证：(1)△SPB 是直角三角形,
(2)AN S ⊥平面 SPB.
证明：（1）SA⊥平面 APB,P为圆上一点 AP⊥PB
M
SP ⊥ PB
AP为 SP在平面γ上的射影
△SPB 是直角三角形. N
P B ⊥ S P A O B
（2）
P B ⊥ S A PB ⊥ 平面 SAP P
S A ∩ S P = S AN 平面 SAP
PB ⊥ AN
SP ⊥ AN AN⊥平面 SPB
PB ∩ SP = P
点评：在高中数学的证明题中，立体几何占有很大部分，其中以综合法为主，培养学生的逻辑思维
能力.
13
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §2.2.1 综合法与分析法
※基础达标
1. 已知α∩β＝l，a α、b β，若 a、b 为异面直线，则（ ）.
A． a、b 都与 l 相交 B． a、b 中至少一条与 l相交
C． a、b 中至多有一条与 l 相交 D． a、b都与 l 相交
2. 已知 a = 3 + 10 ， b = 2 + 11 ，则 a 与 b的大小关系是（ ）.
A. a < b B. a = b C. a > b D. 无法判定
3. 设 x, y 为正数, 则 (x + y )(1 4 + ) 的最小值为（ ）.
x y
A. 6 B.9 C.12 D.15
4．已 知 a1 , a 2 , L a8 是各项均为正数的等比数列，且 公比q≠1，则 A=a1+a8与B=a4+a5的大小关系（ ）.
A．A>B B．A5. 数列{an}满足 an+1=an－an－1(n≥2)，a1=a，a2=b，设 Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（ ）.
A．a100=－a ，S100=2b－a B．a100=－b ，S100=2b－a
C．a100=－b， S100=b－a D．a100=－a， S100=b－a
6. 2 已知集合 A＝{－1，3，2m－1}，集合 B＝{ 3， m }．若 B A，则实数m＝ ．
7. 已知实数 a ≠ 0 , f (x) a(x2 1) (2x 1 = + + ) 有最小值－1，则a =________.
a
※能力提高
8. π 已知： A + B = ，求证： ( 1+ tan A) (1 + tan B ) = 2 .
4
9. 1 4 已知：0 < a < 1 ，求证： + ≥ 9 .
a 1 a
※探究创新
10. a b 用适当方法证明：已知： a > 0,b > 0 ，求证： + ≥ a + b .
b a
14
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 8 讲 §2.2.2 反证法
¤学习目标：理解反证法的概念，掌握反证法的证题的步骤；能体会直接证明与间接证明之间的辩
证关系，体现对立与统一的思想观点和方法
¤知识要点：
1、反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立. 这样的证明方法叫反证法.
2、应用反证法证明命题的步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所
做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.
¤例题精讲：
【例 1】用反证法证明， 若 a > b > 0, 则 a > b .
证明：假设 a 不大于 b ，
则 a < b 或 a = b ，
∵ a > 0 , b > 0, ∴ a < b a a < b a 与 a b < b b a < b .
又 a = b a = b ,
这些都与已知 a > b > 0 相矛盾， 则 a > b .
点评：“ 大于”的否定是“不大于”， “ 不大于”要注意其包括“等于”或“小于”， 在论证时一定要
两方面都考虑.
2 f (x) a x x 2 【例 】已知函数 = + (a > 1) ，请用反证法证明 f (x ) = 0 没有负实数根.
x + 1
x 2
证法 1：设存在 x < 0(x ≠ 1 ) ，满足 f (x ) = 0 ，则 a x0 0 0 0 0 = . x0 + 1
ax x0 2 又 0 < 0 < 1，所以 0 1 < < 1 ，即 < x0 < 2 与假设 x0 < 0 矛盾. 故方程 f (x ) = 0 没有负实数根. x0 + 1 2
证法 2：设存在 x0 < 0(x0 ≠ 1 ) ，满足 f (x0 ) = 0 .
x0 2 （1）若 1< x0 < 0 ， 则 < 2 ， a
x0 < 1 ， 所以 f (x
x + 1 0
) < 1 与 f (x0 ) = 0 矛盾.
0
x 2
（2） x0 < 1 ，则
0 > 0 ， a x0 > 0 ，所以 f (x0 ) > 0 与 f (x0 ) = 0 矛盾. x0 + 1
故方程 f (x ) = 0 没有负数根.
【例 3】证明 5是无理数.
证明：假设 5不是无理数，则 5是有理数，
p
设 5 = ，其中 p 、q为互质的正整数，两边平方： p 2 =5 i q 2 .
q
则 p 2 是 5 的倍数，则 p 也是 5 的倍数，
令 p =5m, m 为正整数 ，则 25m2 = 5 i q 2 ，
2
则 q =5m2 2 所以 q 是 5 的倍数，同样q也是 5 的倍数,
那么这与 p 、 q为互质的正整数相矛盾 ，所以 5是无理数.
【例 4】已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD交于点 P，且 AB、CD 不是直径. A
求证：弦 AB、CD 不被 P平分.
O
证明：假设弦 AB、CD被 P平分，连结 AD、BD、BC、AC,
因为弦 AB、CD 被 P点平分，所以四边形 ABCD 是平行四边形 P C D
所以 ∠A CB = ∠ ADB, ∠C AD = ∠ CBD B
因为 ABCD 为圆内接四边形 ，所以 ∠A CB + ∠A DB = 180 o , ∠ CAD + ∠ CBD = 180 o
因此 ∠A CB = 90 o , ∠ CAD = 90 o
所以，对角线 AB、CD 均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立，
所以，弦 AB、CD 不被 P平分.
15
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §2.2.2 反证法
※基础达标
1. 下列证明方法中属“间接证法”的是（ ）.
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法
2. 用反证法证明：“ a>b”. 应假设（ ）.
A．a>b B．a3. 有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）.
A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾
C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对
4. 实数 a、b、c不全为 0的条件是（ ）.
A．a、b、c 均不为 0； B．a、b、c中至少有一个为 0；
C．a、b、c至多有一个为 0； D．a、b、c 至少有一个不为 0.
5. 反证法证明命题：“ 三角形的内角中至少有一个不大于 60°”， 反设正确的是（ ）.
A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60°
C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°
6. 用反证法证明：“ f (n ) 被 4 除余 1”， 应假设 ______即 .
7. 设实数 a,b,c 成等比数列，非零实数 x、y分别为 a与 b，b 与 c a c 的等差中项，则 + =________.
x y
※能力提高
8. 已知：∠A， ∠B， ∠C 是△ABC 的内角.
求证： ∠A， ∠B， ∠C 中至少有一个不小于 60°.
9. 2 求证： y = ax + 2b x + c, y = bx 2 + 2c x + a , y = cx 2 + 2 ax + b （a,b,c 是互不相等的实数），3 条
抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点.
※探究创新
10. 平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
16
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 9 讲 第二章 推理与证明 复习
¤学习目标：理解合情推理、演绎推理的联系与区别；理解直接证明与间接证明的方法、步骤. 能体
会推理方法在探索和问题解决中的思路及作用，并能掌握数学证明的方法.
¤例题精讲：
【例 1】已知数列{a n } a
1
的通项公式 n = 2 (n∈ N + ) ，记 f (n) = (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) ，试通过计 (n + 1)
算 f (1), f (2), f (3) 的值，推测出 f (n ) 的值.
1 3 1 3 8 2 4
解： f (1 ) = 1 a1 = 1 = ， f ( 2) = (1 a1 )(1 a 2 ) = f (1 ) (1 ) = = = ， 4 4 9 4 9 3 6
f a a a f 1 2 15 5 (3 ) = (1 1 )(1 2 )(1 3 ) = ( 2 ) (1 ) = = . 16 3 16 8
由此猜想， f (n ) n + 2 = .
2(n + 1)
【例 2】在平面几何中，有勾股定理：“ 设 ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB 2 + AC 2 = BC 2 . ”
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确
结论是：“ 设三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 .”
解： 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形；面 边；体 积 面 积；二面角 平面角；面 积 线段长
由此，可类比猜测本题的答案： S 2 2 2 2 ABC + S ACD + S ADB = S BCD
【例 3】对于直线 l：y=kx+1，是否存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C 3x 2 ： －y 2 =1 的交点 A、B
关于直线 y=ax（a 为常数）对称？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.
证明：（ 反证法）假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称，设 A（x1，y1）、B（x2，y2）则
ka = 1 (1) y = kx + 1 ， 由 (3 k 2 )x2 2kx 2 = 0 （4）
y1 + y2 = k (x1 + k ) + 2(2) y2 = 3x 2 2 1
y1 + y2 a x + x = 1 2 (3)
2 2
由（2）、（3）有 a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 （5）
由（4）知 x 2 k1+x2= ， 代入（5）整理得：ak=－3，与（1）矛盾.
3 k 2
故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称.
【例 4】已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 b + c a a + c b a + b c + + > 3 .
a b c
解：方法一：（综合法）∵ a，b，c全不相等, ∴ b 与 a ， c 与 a ， c 与 b 全不相等.
a b a c b c
b a 2 c a 2 c b ∴ + > ， + > ， + > 2 , b c c a a b 三式相加得 + + + + + > 6 .
a b a c b c a a b b c c
(b c 1) (c a 1) (a b ∴ + + + + + 1) > 3 , 即 b + c a a + c b a + b c + + > 3 .
a a b b c c a b c
方法二：（ 分析法）要证 b + c a a + c b a + b c + + > 3 ,
a b c
只需证明 b c 1 c a 1 a b + + + + + 1 > 3 ,
a a b b c c
即证 b c c a a b + + + + + > 6 .
a a b b c c
而事实上，由 a，b，c 是全不相等的正实数,
b a
∴ + > 2 c a， + > 2 c b ， + > 2 ,
a b a c b c
b c c a a b b + c a a + c b a + b c ∴ + + + + + > 6 , ∴ + + > 3 ，得证.
a a b b c c a b c
17
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 第二章 推理与证明 复习
※基础达标
1．下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间
接证法；⑤反证法是逆推法. 正确的语句有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．观察下列数：1，3，2，6，5，15，14，x，y，z，122，…中 x，y，z 的值依次为（ ）.
A.42,41,123 B. 13,39,123 C. 24,23,123 D.28,27,123
3．若命题 P: x ∈ A ∪ B , 则 P 是（ ）.
A. x A∪ B B. x A或 B C. x A且 B D. x∈ A∩ B
4．设 m≠n，x=m4 － m 3n ，y=n 3m －n 4， 则 x 与 y 的大小关系为（ ）.
A．x>y B．x=y C．x5．若一个数列的前四项为 2，0，2，0，则这个数列的通项公式不能是（ ）.
A . an =1+ ( 1)
n +1 B. an =1 cos nπ C. a 2sin
2 nπ
n = D. an =1+ ( 1)
n 1 + (n 1)(n 2)
2
6．凸 n 边形的对角线条数 f (n ) =_________
7．用砖砌墙，第一层（底层）用去全部砖的一半多一块，第二层用去剩下的一半多一块……依此类
推，每一层都用去剩下的一半多一块，如果到了第九层恰好砖块用完，则一共用了________块砖.
※能力提高
8．已知 a + b + c = 0 ，求证： ab + bc + ca ≤ 0 .
9．已知 x, y π ≠ kπ + (k∈ Z ) ， sin x是 sin θ ， cosθ 的等差中项，sin y 是 sinθ ,cos θ 的等比中项.
2
2 2
求证：（1） cos 2x 1 cos 2 y 2 2(1 tan x) 1 tan y = ； （ ）
2 1+ tan2
= .
x 1+ tan 2 y
※探究创新
10．若 a1 > 0 ， a1 ≠ 1
2a
， a n n +1 = (n =1,2,…，) . （1）求证： a1 + a n+1
≠ a n ；
n
1
（2）令 a1 = ，写出 a2 、 a3 、 a4 、 a5 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 a ； 2 n
a + p
（3）证明：存在不等于零的常数 p，使{ n } 是等比数列，并求出公比 q 的值.
an
18
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 10 讲 §3.1 数系的扩充和复数的概念
¤学习目标：在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，通过对其过程的探索，理
解复数的有关概念与复数相等的充要条件，通过用其代数表示法和几何意义的学习，体会复数与向量之
间的关系．
¤知识要点：
1、复数的有关概念——实数、虚数、纯虚数以及它们之间的关系．
2、复数的代数表示法 z=a+bi(a,b ∈ R )．
3、复数的几何意义，复数与点，向量之间的关系．
4、复数相等的条件，a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d．
5、知识连接——向量表示方法和向量的模．
¤例题精讲：
【例 1】（ 1） 在下列结论中正确的是（ ）
A．在复平面上，实轴上的点表示实数；虚轴上的点表示纯虚数．
B．任何两个复数都不能比较大小．
C．如果令实数 a 与纯虚数 ai 对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应．
D．满足 z 2 = 1 的复数 z 只有 ±i ．
解：答案：D．
A 答案表述不严谨，除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数．B 答案应改两个实数可以比较大小，但
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小．C 答案就明显错误．只能说，复数集和复平面内所有的
点所成的集合一一对应；复数集和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的．
（2） (3x + 2y) + (5x y)i =17 2i ，求 x，y 的值．
3x + 2y =17 x = 1
解：利用复数相等的条件得， .
5x y = 2 y = 7
所以 x，y 的值分别为 1，7．
点评：（ 1）掌握复数的基本概念，从书本入手，对定义的理解 必须要有一种严谨性．
（2）考查复数的基本知识，抓住其概念，以及复数相等的条件，在解答过程中，应分清两复
数的实部与虚部，然后让实部与虚部分别相等．
【例 2】 z = (a2 2a) + (a2 a 2) i (a∈ R ) 对应的点在虚轴上，则（ ）
A． a ≠ 2或 a ≠ 1 B． a ≠ 2且 a ≠ 1 C． a = 2或 a = 0 D． a = 0
解：复数 z 对应的点在虚轴，则实部为零且虚部不为零，因此得
a2 2a = 0 ，解得 a = 0或 a = 2 ．答案为 C.
点评：求 a 的范围，分清复数的实部和虚部，并根据复数在复平面内对应点所在位置确定实部和虚
部组成的不等式组．
uuur uuur uuur
【例 3】 平行四边形 OABC，OA 对应的复数为1+ 2i ，OB 对应的复数为 1+ 3i ，则OC 对应的复数
为（ ）．
A．5i uBuur． uu 5uir uCu．ur 2 + uiu ur D． 2 i
O C
解：作图，OA +OC = OB ，设OC 对应复数为 z，
则1+ 2i + z = 1+ 3i, ∴ z = 2 + i . A B
答案为 C．
点评：复数的几何意义，利用复数集与复平面内所有点及向量的集合对应，画图利用三角形或平行四
边形法则进行加减法．
4 z z 2 【例 】已知复数 满足 2 z 3 = 0 ，则复数 z对应点的轨迹是（ ）．
A．1 个圆 B．线段 C．2个点 D．2 个圆
解：由 z 2 2 z 3 = 0 得，（ z +1）( z 3) = 0 ，
则（ z +1）=0或 ( z 3) = 0 ，
所以 z = 1 （舍去）， z = 3 ．
故复数 z的对应点的轨迹是以原点为圆心，以 3 为半径的圆，答案为 A．
点评：复数的几何意义与圆的定义的结合应用．复数的几何意义体现了数形结合的思想，利用模的几
何意义，可把许多问题求解得很精彩．
19
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 §3.1 数系的扩充和复数的概念
※基础达标
1．以3i 2 的虚部为实部，以 3i2 + 2i 的实部为虚部的复数是（ ）．
A．3 3i B．3 + i C． 2 + 2i D． 2 + 2i
2．设全集Ｉ＝｛复数｝，Ｒ＝｛实数｝，Ｍ＝｛纯虚数｝，则（ ）．
A．M ∪ R = I B． CI M ∪ R = I C． CI M ∩ R = R D． M ∩ CI R =
3．若 a、 b、 c∈ C ，则 (a b)2 + (b c )2 = 0 是 a=b=c 的（ ）．
A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D.．既不充分也不必要条件
uuur
4．向量 OZ = (3,6) 对应的复数是（ ）．
Ａ．3 + 6i Ｂ． 6 + 3i Ｃ． 3+ 3i Ｄ． 6 + 6i
5．若复数 (m2 3m 4) + (m2 5m 6) i 表示的点在虚轴上，则实数 m的值为（ ）．
A．－１ B．４ Ｃ．－１和４ Ｄ． －１和６
6．若 x是实数，y 是纯虚数且满足 2x 1+ 2i = y ，则 x＝ ，y＝ ．
7．设复数 z＝a+bi 对应的点在虚轴的右侧，则 a,b满足的条件 ．
※能力提高
2
8 x x 6 ．已知 + (x2 2x 3)i = 0 (x∈ R ) ，求 x 的值．
x + 1
9．求若 log (m2 2 3m 3) + i log 2 (m 2) 为纯虚数，求实数 m的值．
※探究创新
uuur uuur
10．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为 45o ，向量OZ 对应的复数 z 的模为１，求 z．
20
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 11 讲 §3.2 复数代数形式的四则运算
¤学习目标：在数系扩充的过程中体会加减乘除运算的合理性，能进行复数代数形式的加减运算和
其几何意义，掌握复数的代数形式的乘法、除法的运算法则，掌握 i 幂的有关性质；掌握共轭复数的概念，
解决复数的运算问题．
¤知识要点：
1、复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义．
2、 i 幂的有关性质， i 2 = 1 ．
3、共轭复数的概念，两个复数的实部相等，虚部互为相反数．
¤例题精讲：
【例 1】 计算（ 6 3i）+ (3+ 2i) (3 4i) ( 2 + i ) .
解：（ 6 3i）+ (3+ 2i) (3 4i) ( 2 + i )
=6 3i + 3+ 2i 3 + 4i + 2 i
= [6 + 3 3 ( 2)]+ [ 3 + 2 ( 4) 1] = 8 + 2i .
点评：复数的加减运算，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程. 具体解题时，可适当地进行组
合，简化运算．
2 （ 2 + 2i）
3 ( 4 + 5i )
【例 】计算 .
(5 4i)(1 i )
（ 2 + 2i）
3 ( 4 + 5i )
解：
(5 4i)(1 i )
2 2(1+ i)3 (5 4i) i 2 2(1+ i) 4 i
= = = 2i(2i)2 = 4 2i .
(5 4i)(1 i) (1 i)(1+ i )
点评：复数的四则运算，一般按乘法除法法则进行计算，分数进行化简，采取共轭复数的定义，解
题过程类似于多项式四则运算，适当地进行组合，简化运算．
【例 3】若复数 z 满足 z(1+ i ) = 2 ，则 z 的实部是 ．
解：设 z = x + yi(x, y∈ R)，则( x + yi)(1+ i ) = 2 ,
∴(x y) + (x + y)i = 2；
x y = 2 x = 1
∴ .
x + y = 0 y = 1
即 z =1 i ，故 z 的实部为 1.
点评：考查复数的基本知识，抓住其概念，以及复数相等的定义，在解答过程中，应分清两复数的
实部与虚部，然后让实部与虚部分别相等．
【例 4】 已知：复数 z = m2 (1+ i) m(2 + 3i) 4(2 + i ) ，当 m取什么实数时，z是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零？
分析：因为 m ∈ R ，所以化简后由复数 z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数和零的条件确定 m的值．
解： z = m2 (1+ i) m(2 + 3i) 4(2 + i) =（m 2 2m 8）+ (m2 3m 4) i .
(1)当 m2 3m 4 = 0 时，复数 z 为实数， 即 m = 1 或 m = 4 时，z 为实数；
(2) m2 3m 4 ≠ 0 (m +1)(m 4) ≠ 0 m ≠ 1且m ≠ 4 ,
即当 m ≠ 1且 m ≠ 4 时，z 为虚数.
m2 2m 8 = 0 (m + 2)(m 4) = 0 m = 2或m = 4 (3) 当 时，化简即 2 .
m 3m 4 ≠ 0 (m +1)(m 4) ≠ 0 m ≠ 1且 m ≠ 4
即 m = 2 时，z 为纯虚数.
m2 2m 8 = 0 (m + 2)(m 4) = 0 m = 2或m = 4 (4) 当 ，化简即 ，
m2 3m 4 = 0 (m +1)(m 4) = 0
m = 1或 m = 4
即 m = 4 时，z 为零．
点评：根据复数的概念，对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实
数 0；当 b≠ 0 时，是虚数；当 a=0 且 b≠ 0 时，是纯虚数．在解答过程中，应分清两复数的实部与虚部，
然后让根据要求列方程组求解．
21
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 11 练 §3.2 复数的概念与四则运算
※基础达标
1．(a+bi)(a bi)( a+bi)( a bi)等于（ ）．
A．(a 2+ b 2) 2 B．(a 2 b 2) 2 C．a2 + b 2 D．a 2 b 2
2．设复数 z =1+ 2i ，则 z2 2 z 的值为（ ）．
A． 3 B．3 C． 3i D．3i
3． (1 + i ) 2008 =（ ）．
1 i
A．1 B．i C． 1 D． i
4．已知复数 z 满足 z= |z| ，则 z 的实部（ ）．
A．不小于 0 B．不大于 0 C．大于 0 D．小于 0
5．两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2 都是实数且 z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一
直线上的充要条件是（ ）．
b b b b
A． 1 2 = 1 B． a1a2 + b1b2 = 0 C． 1 = 2 D． a1b2 = aa a a a 2
b1
1 2 1 2
6 1． =
i ______ , (1± i )
2 = ______ , 1+ i =1 i ______ ,
1 i
=
1 i ______ ． +
7．已知复数 z1=3+4i，z2=t+i，且 z1 z 2 是实数，则实数 t 等于___________．
※能力提高
a 0, z a i u z z i 3 ８．已知 > = ,复数 = （ + ）的 虚部减去它的实部所得的差等于 ，求实数 a 的值．
1 i 2
4
９．求复数Z ，使 Z + 为实数，且 Z 2 = 2 ．
Z
※探究创新
10．若复数 2 + 3i 是实系数方程 ax2 + bx +1= 0 的一根，求实数 a、b的值.
22
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 12 讲 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习
¤学习目标：理解并掌握复数的基本概念，了解复数的代数表示法及其几何意义，通过用其代数表
示法和几何意义的学习，体会复数与向量之间的关系. 在数系扩充的过程中体会加减乘除运算的合理性，
能进行复数代数形式的加减运算和其几何意义，掌握复数的代数形式的乘法、除法的运算法则及其几何
意义，解决复数的运算问题．
¤例题精讲：
【例 1】已知 M={1， (m2 2m) + (m2 + m 2) i }，P={ 1，1，4i}，若M∪P=P，求实数 m 的值.
解：由 M∪P=P 知 M P，
∴ (m2 2m) + (m2 + m 2)i = 1 (或 (m2 2m) + (m2 + m 2)i = 4 i )
2
当 (m2 2m) + (m2
m 2m = 1 m = 1
+ m 2)i = 1 时， 2 ，解得 m=1；
m + m 2 = 0 m =1或 m = 2
2 2 m
2 2m = 0 m = 0或m = 2
当 (m 2m) + (m + m 2)i = 4 i 时， ，解得 m=2．
m2 + m 2 = 4 i m = 2或 m = 3
所以实数 m的值为 1 或 2．
点评：复数与集合结合的运用．清楚集合的关系及运算 A∩ B = A A B A∪ B = B ，并结合复
数相等的条件，a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d，即实部和虚部分别相等，建立方程组求解，
求解过程切记不要漏解或多解．
【例 2 z 】已知 z 是复数，z+2i、 均为实数，且复数 (z + ai ) 2 在复平面上对应的点在第一象限，求
2 i
实数 a 的取值范围.
解：根据题意，设复数 z=c+di,
则 z+2i=c+(d+2)i 为实数，即 d + 2 = 0,解得d = 2 ,解得 所以 z = c 2i .
z c 2i 2c + 2 + (c 4) i c 4 又 = = 为实数，即 = 0,解得 c = 4,所以 z = 4 2i .
2 i 2 i 5 5
而 (z + ai)2 = (4 2i + ai)2 =16 (2 a)2 8(2 a)i 对应的点在第一象限，
1 6 (2 a )2 > 0 2 < a < 6
∴ , 解得 2 8(2 a ) > 0 a > 2
所以实数 a 的取值范围是 2点评：复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数集的问题．因而，需熟记
各种转化的条件（实数，虚数，纯虚数的满足条件）．
【例 3】已 知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+ 2i, 2 + i, 1 2i ，求 第四个顶点所对
应的复数.
解：设第四个顶点对应的复数是 z=a+bi ,令 z1 =1+ 2i, z2 = 2 + i, z3 = 1 2i ，
uuur uuuur
根据平行四边形法则或三角形法则，有 z3z = z2z1 ，
即 (a + bi) ( 1 2i) = (1+ 2i) ( 2 + i ) ，∴ a + bi = 2 i .
∴所求第四个顶点对应的复数为 z = 2 i .
点评：复数与向量的关系．复数集和复平面内所有的点所成的集合一一对应；复数集和复平面内的
向量所成的集合也是一一对应的．复数的几何意义体现了数形结合的思想，可把许多问题求解得很精彩，
知识之间的内在联系越来越密切.
【例 4】已知方程 x2 + 4x + a = 0 (a∈R)的一个根为 x1 = 2 + i ，求 a 的值和方程的另一个根.
解：由已知条件得到， x1 = 2 + i 为方程 x2 + 4x + a = 0 的一个根，
∴ ( 2 + i)2 + 4( 2 + i) + a = 0 , 化简得 a=5,
4 ± 4 i 2
∴方程为 x2 + 4x + 5 = 0 , 解得： x = = 2 ± i ，
2
∴方程的另一个根为 2 i .
点评：复数与二次函数的结合．理解二次函数的根，方程的根也就是说根满足方程，理解之间的关
系，灵活运用在解题过程. 将二次函数求根的结果从实数扩充到复数的范围，体现本章的思想．
23
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习
※基础达标
1．复数 Z = (a2 2a) + (a2 a 2)i 对应的点在虚轴上，则（ ）．
A． a ≠ 2 或 a ≠ 1 B ． a ≠ 2 且 a ≠ 1 C ． a = 2 或 a = 0 D． a = 0
2 2 + i ． 的值是（ ）．
1+ 2i
A． 4 + i B 4 3 ． + i C．i D．－i
5 5 5
3．（ 07 年安徽卷.理 4）若 a 2 + ai 为实数， ＝ 2 i，则 a 等于（ ）.
1+ 2i
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 2
4 Z Z 10 ．若复数Ｚ满足 = , 则Ｚ等于（ ）．
1 2i
A． 3+ 4i B． 3 4i C．3 4i D．3 + 4i
5．设 f (Z ) =1 Z ,Z1 = 2 + 3i,Z2 = 5 i , 则 f (Z1 Z 2 ) = （ ）．
A． 4 4i B．4 + 4i C．4 4i D． 4 + 4i
uuur uuur uuur
6．在 ABC 中， AB, AC 对应的复数分别为 1+ 2i, 2 3i , 则 BC 对应的复数为 .
4n 4 n
7 n 1+ i 1 i ． 是奇数，则 + = _______ ．
2 2
※能力提高
1 i 2 + 3(1+ i )
8．已知复数 Z ( ) = , 若 Z 2 + aZ + b =1 i , 求实数 a, b的值．
2 i
9 z ．把复数 z的共轭复数记为 z ，若 (1+ 2i)z = 4 + 3i ，求 z 及 .
z
※探究创新
10．已知关于 x的实系数方程 x2 2ax + a2 4a + 4 = 0 的两根分别为 x1, x2 , 且 x1 + x2 = 3 ，求 a的值．
24
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 13 讲 §4.1 流程图
¤学习目标：通过具体实例进一步认识程序框图；了解工序流程图，能绘制简单实际问题的流程图，
体会流程图在解决实际问题中的作用. 运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、流程图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出流程图.
¤例题精讲：
【例 1】两个形状一样的杯子里分别装有红葡萄酒和白葡萄酒. 现在要将这两个杯子里所装的酒对调，
试画出流程图．
解：设装红葡萄酒的杯子为 A，装白葡萄酒的杯子为 B，为使两种酒能够对调，需要有一空杯，设
为 C，将 A中所盛之物注入 C 内，记为 A→C，于是流程图如下：→A→C→B→A→C→B
点评：简单的工序流程图，根据题目要求画出即可．
【例 2】设计一个程序框图，判断 2000 年 2500 年中，哪些年份是闰年，哪些年份不是闰年，并输
出结果．
解：如图所示
点评：根据题目要求写出程序流程图，题目难度稍大，必须按部就班，先设计好算法再画出图形，
同时该题目设计很多判断，注意安放的位置．
【例 3】图书馆一般用类似下面的图示说明图书借阅流程图．
解：
入库 找书 阅览 借书 出库 还书
点评：与生活相结合的简单应用，授课过程可以由学生自己完成．
【例 4】请利用梯形的面积公式计算上底为 2，下底为 4，高为 5 的梯形面积，设计出该问题的算
法及程序框图.
解： 程序框图如下， 开始
算法如下
1、 a=2，b=4，h=5； a=2，b=4，h=5
2 1 、 S = (a + b) h ；
2 S = 1/ 2(a + b) h
3、 3、输出 S
输 出
点评：流程图与图形面积公式相结合，先设计好算法再画出图形． 结束
25
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §４.1 流程图
1．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请
查分：（１）本人填写<<查分登记表>>，交县（区）招办申请查分，县（区）招办呈交市招办，再报省招
办；（２）省招办复查，无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束
后通知；（３）市招办接通知，再由县（区）招办通知考生．请画出该事件流程图．
2．请根据以下程序流程图说明它解决的是什么问题并写出计算机程序．
开始
输入 x
是 否
x>0
输出 x 输出－x
结束
３．某市环境保护局信访工作流程如下：（１）法制科受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长
批示；（２）及时转送有关部门办理，督办，如特殊情况不能按期办毕，批准后可延办，办毕反馈；（３）
信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．请据上给出该局信访工作流程图．
26
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 14 讲 §4.２ 结构图
¤学习目标：通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息，理
解流程图和结构图的特征，掌握结构图的画法，用结构图去掌握知识，从中体验用结构图的优越性．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、结构图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出结构图.
¤例题精讲：
【例 1】填空：如果说流程图从 角度描述各系统各部分之间的关系，结构图则是从
描述各系统各部分之间的关系．
解：动态；静态．
【例 2】设计一个结构图有关你学校的学生会的组织结构
解：
学生会
学习部 生活部 宣传部 文艺部 体育部 宿检部 广播部
点评：组织结构图一般呈＂树＂型结构，可采用从上到下或从左到右顺序绘制，注意各单元要素之
间的关系，注重美观，简洁．
【例 3】下图是某公司的组织结构图.
解：
总经理
总工程师 专家办公室
咨询 监理 信 息 开发 财务 后勤 编辑
点评：组织结构图一般呈＂树＂型结构，可采用从上到下或从左到右顺序绘制，注意各单元要素之
间的关系，注重美观，简洁．
【例４】写出数学“不等式”的知识结构图.
解：
两个实数的大小比较
一元二次不等式的解法 不等式的实际应用
不等关系
二元一次不等式（组）表
简单的线性规划
示的平面区域
不等式的基本性质
均值不等式及其应用
点评：该题与前两例有点不同，采用从左到右顺序绘制，但本质是一样的．
27
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §４.1 结构图
1．某型电脑由以下设备与主机相连，外存储器（磁盘驱动器和磁带机）、打印机、显示器、键盘、
游戏杆，试画出该型电脑的结构图．
2．某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、
教科室、保卫刻、政教科、总务处，各科室共同管理和服务各班级. 试画出该校的行政组织结构图．
３．某地行政服务中心办公分布结构如下：（１）服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公
室、综合业务处、督察投诉中心，三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：（2）二楼：公安局、
民政局、财政局；（3）三楼：工商、地税、国税、技监、交通局；（4）四楼：城建局、人防办、计生局、
规划局；（5）五楼：其余部门办理窗口．请绘制该中心结构图．
28
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 15 讲 框图 复习
¤学习目标：通过具体实例进一步认识程序框图；了解工序流程图，能绘制简单实际问题的流程图，
运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息，体会流程图解决实际问题中的作用．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、流程图与结构图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出流程图与结构图.
¤例题精讲：
【例 1】商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，
待研究结束后决定生产的产品数量. 请画出一下方案的流程图，并比较哪个更好？
方案一 派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量．
方案二 商场如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产. 调研为此项目的瓶颈，因此需要添加力量，
齐头并进（即平行工序）搞调研，以便提早结束调研，尽早投产使产品占领市场．
解：方案一，立项→北京调研→上海调研→广州调研→投产
→ 北京调研
方案二， 立项 → → 上海调研 → 投资
→
广州调研
通过方案一和方案二的比较可以发现，方案二较方案一更为可取
点评：流程图的运用，与实际生活相联系，画之前，先将上述流程分解若干比较明确的步揍，并确
定这些步骤之间的关系．
【例 2】画出解关于 x 的不等式，ax+b<0(a,b∈R)的流程图
解：
点评：根据题目要求写出程序流程图，题目难度稍大，必须按部就班，先设计好算法再画出图形，
同时该题目设计很多判断，注意安放的位置．
【例３】试画出你学校的课程安排结构图．
点评：与生活相结合的简单应用，授课过程可以由学生自己完成
【例４】一名中学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来搽地或者浇
花，洗衣服的水留下冲卫生间. 这样全家一个月节省水费 10 多元，一年就节约 120 元. 你想知道这名中
学生是如何去做的吗？完整下表
（1） 擦地、浇花用水
自来水
洗、涮用 （2）
水
解：（1）洗菜、淘米水；（2）冲洗厕所
点评：与生活相结合的简单应用，题目较简单，审清读懂，按照题目结构图去展开内容．
29
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 框图 复习
※基础达标
1．据二分法原理求方程 x 2 2=0得到的程序框图可称为（ ）．
A．工序流程图 B．程序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图
2．读下面程序框图，说明输出结果（ ）．
A．1 B．3 C．4 D．6
工序 a b c d e f
开始
紧前工 — — a,b c c d,e
a=1 2
C 序
4
A 3 工时数 2 3 2 5 4 1
b=a+3
3 （天）
5 3
B (第 4 题）
输出 b D
4 i=1 i=i+1
4 n=i^3 n=i^3
结束 （第 3 题） WHILE n<10^4 WEND 第（7）题
PRINT n (续右框) END
（第 2 题）
3．如上图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连结表示它们有网线相连. 相连接标注的数字表示
该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同路程
线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）．
A．11 B．10 C．8 D．7
4．如上图，某工程由下列工序组成，则工程总时数为（ ）．
Ａ．11 Ｂ． 10 Ｃ．9 Ｄ． 8
5．流程图一般按照 、 的顺序来画出．
6．在组织结构图中，一般采用 形结构绘制，直观，容易理解，被应用于很多领域．
7．如上图，该程序说明 ．
※能力提高
8．某自动化仪表公司组织结构图如下：（１）董事会下设总经理，（2）总经理分管甲、乙两副总经
理、办公室、财务部、开发部；（3）副总甲负责销售部，副总乙负责生产部、品管部、采购部、而品管
部又下设三个车间. 请绘出该公司组织结构图．
9．某大学远程教育学院网上学习流程如下：（1）学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费
注册，领取网上学习注册码；（2）网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩；（3）
预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该
远程教育学院网上学习流程图．
※探究创新
10．北京获得了 2008 年第 29 届奥林匹克运动会主办权，国际奥委会是通过对遴选出的 5 个申办城
市进行表决定主办权的．表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果一个城市得票超过总票数的一
半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市
淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止，请设计一个算法表述上述过程，并画出程序流
程图．
30
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
《统计案例》单元测试
选修 1 2 第一章 选修 2 3 第三章
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60分）
1. 工人月工资（ 元）依 劳动生产率（ 千元）变 化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下 列判断正确的是（ ）.
A. 劳动生产率为 1000元时，工资为 50 元
B. 劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150元
C. 劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 90 元
D. 劳动生产率为 1000元时，工资为 90 元
2. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ）.
A. 总偏差平方和 B. 残差平方和 C. 回归平方和 D. 相关指数 R2
3. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）.
A. $y =1.23x＋4 B. $y =1.23x+5 C. $y =1.23x+0.08 D. $y =0.08x+1.23
4. 在两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，它们的相关指数 R 2 如下，其中拟合效
果最好的模型是（ ）
A. 模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2的相关指数 R2 为 0.80
C. 模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D. 模型 4的相关指数 R 2 为 0.25
5. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点（ ）.
A.（2，2） B. （1.5，0） C.（1，2） D. （1.5，4）
6. 相关系数 r 可用来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，其计算公式为：
n
∑ ( xi x)( yi y )
r = i =1 ，则以下正确的命题是（ ）.
n 2 n
∑ ( xi x) ∑ ( yi y ) 2
i=1 i =1
A. r 只能取正值
B. r 可以取任意实数
C. r 只有大于 0.75时才认为两个变量有很强的线性相关关系
D. r 大于 0.75时才认为两个变量有很强的线性相关关系
7. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两
个变量有关系的可能性就（ ）.
A. 越大 B. 越小 C. 无法判断 D. 以上都不对
8. 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y是否有关系时，通 过查阅下表来确定断言“ X 和 Y有关系”
的可信度. 如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y有关系”的百分比为（ ）.
P(k2 > k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
A. 25％ B. 75％ C. 2.5％ D. 97.5％ y
9. 如图所示，有５组 (x, y ) 数据，去掉其中一组后，剩下的４组数据的线性相关 (10,12) (3,10)
系数最大，则应去掉的一组数据所对应的点是（ ）.
A. (3,10) B. (4,5) C. (10,12) D. (1,2) (2,4)( 4,5)
(1,2)
31 O x
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —单元测试 月 日 : ~ : 自评 分
10. 考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，则（ ）.
A. 种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关
C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的
11. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别 专业 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
50× (13× 20 10× 7) 2
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 k = ≈ 4.844 ，
23× 27× 20× 30
因为 K 2 ≥ 3.841 ，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）.
A. 2.5％ B. 5％ C. 10％ D. 15％
12. 假设关于某设备的使用年限 x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知 y对 x 呈线性相关关系，则线性回归方程为（ ）.
A. $y = 0.08x 1.23 B. $y = 0.08x + 1.23 C. $y =1.23x 0.08 D. $y =1.23x + 0.08
二、填空题（每小题 4 分，共 4 小题，共 16 分）
13. 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R 2 ≈ ______________，可以叙述为“身高解释了 64%的
体重变化，而随机误差贡献了剩余的 36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.
14. 若有一组数据的总偏差平方和为 100，相关指数为 0.5，则其残差平方和为_________.
15. 若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k2 = 4.013,那么有 把握认为两个变量有关系.
5 5 5 5
16. 在求两个变量 x和 y的线性回归方程过程中, 计算得 ∑ xi =25, ∑ y 2 i =250, ∑ xi =145, ∑ xi y i =1380,
i =1 i =1 i =1 i =1
则该回归方程是 .
三、解答题（前 5 小题每题 12 分，最后 1 小题 14 分，共 74 分）
17．某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取 100 件产品，检验后
得到如下联表：
生产线与产品合格率列联表
合格 不合格 总计
甲线 97 3 100
乙线 95 5 100
总计 192 8 200
请问甲、乙两线生产的产品合格率在多大程度上有关系？
32
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
18．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据：
时间 t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
深度 （y μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
（1）画出散点图；
（2）求腐蚀深度 y 对腐蚀时间 t 的回归直线方程.
19．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服用药的共有
55 个样本，服用药但患病的仍有 10 个样本，没有服用药且未患病的有 30个样本.
（1）根据所给样本数据画出 2×2 列联表；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
20．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：
年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3
试估计1998年我国居民生活污水排放量，并预测 2006年生活污水排放量（单位： 108 t ）．
33
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —单元测试 月 日 : ~ : 自评 分
21．某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机地调查了 1000人，通过对学习的测评
和生理的检查，统计结果为：生理不健康有 78 人，在不健康人群中，成绩优秀的有 37 人，在健康人群
中，成绩优秀的有 296 人. 分别利用相关的统计分析方法判断高中生学习状况与生理健康是否有关系？
22．为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数 x/天 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190
(1) 用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2) 描述解释变量与预报变量之间的关系；
（3）计算残差、相关指数 R 2.
34
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
《推理与证明》单元测试
选修 1 2 第二章 选修 2 2 第二章
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后
的括号内（每小题 5分，共 50分）．
1．已知α∩β＝l，a α、b β，若 a、b 为异面直线，则（ ）.
A． a、b 都与 l 相交 B． a、b 中至少一条与 l相交
C． a、b 中至多有一条与 l 相交 D． a、b都与 l 相交
2．用反证法证明命题“如果 a > b ，那么 3 a > 3 b ”时，假设的内容应是（ ）.
A. 3 a = 3 b B. 3 a < 3 b
C. 3 a = 3 b , 或 3 a < 3 b D. 3 a = 3 b , 且 3 a < 3 b
3. 已知 a i , bi ∈ R , (i = 1, 2, 3 , ....n ) a
2 2 2 2 2
， 1 + a 2 + ..... + a n = 1 ， b1 + b2 + ..... + b
2
n = 1 ，则
a1 b 1 + a 2 b2 + ..... + a n b n 的最大值为（ ）.
A．1 B．2 C． n 2 D． 2 n
4. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）.
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果 ∠A 和 ∠ B 是两条平行直线的同旁内角，则 ∠A + ∠B =180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53人，3 班有 52 人，由此推测各班都超过 50 人
1 1
D．在数列{ an } 中， a1 =1, an = （a + ）（ n ≥ 2） ， 由此归纳出{ a } 的通项公式 2 n 1 a n n 1
5．函数 f (x ) 由下表定义：
x 1 2 3 4 5
f (x ) 4 1 3 5 2
若 a1 = 2 ， an+1 = f (an ) ， n = 1,2,3,L ，则 a2 008 = （ ）.
A．5 B．4 C．3 D．1
6．下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若 a 3 = b 3 ,则 a = b ”类推出“若 a 0 = b 0 ,则 a = b ”
B.“若 (a + b)c = ac + bc ”类推出“ (a b) c = ac bc ”
(a b)c ac bc a + b a b C.“若 + = + ” 类推出“ = + （c≠0）”
c c c
D.“（ ab）n = anb n ” 类推出“（ a + b）n = an + b n ”
7．在平面几何里，有勾股定理：“ 设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2 + AC2 = BC 2” 拓展到空间，
类比平面几何的勾股定理，“ 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可
得”（ ）
A．AB 2+ AC 2+ AD 2= BC2 +CD 2 +BD2 B S 2 × S 2 × S 2 = S 2 ． A BC A CD ADB BCD
C S 2 2 2 2 ． 2 2 2 2 2 2 ABC + S ACD + S A DB = S B CD D．AB ×AC ×AD =BC ×CD ×BD
8．已知函数 f ( x ) = 2 x 2 + mx + n ，则 f (1 ) 、 f ( 2 ) 、 f (3 ) 与 1
人教 A 版选修 1 2 & 2 2 & 2 3
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
丛书主编 徐山洪
编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石 1 §1.1 回归分析的基本思想及其初步应用………（01）
王庚儿 李剑夫 张志略 2 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)…（03）
马荣林 邓世疆 赵朝贤
3 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)…（05）
陈新权 刘会金 陈远刚
李德明 王振芳 黄全顺 4 第一章 统计案例 复习 ………………………（07）
王福山 饶乘凤 关丽琼
潘泽学 匡唐松 宾业河 5 §2.1.1 合情推理………………………………（09）
谢凤仙 余扩益 高建彪
6 §2.1.2 演绎推理…………………………………（11）
张天良 谢小毛 谢吉权
张梅玲 陈上越 赵启锐 7 §2.2.1 综合法与分析法………………………（13）
饶胜文 周志明 李志敏 8 §2.2.2 反证法…………………………………（15）
9 第二章 推理与证明 复习………………………（17）
本册主编 赵朝贤
主要编者 陈鉴源（第一章）
张 平（第二章） 10 §3.15 数系的扩充和复数的概念………………（19）
罗明明（第三章） 11 §3.2 复数代数形式的四则运算………………（21）
罗明明（第四章）
12 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习………（23）
校 审 蔡建信（第一章）
廖 惠（第二章）
付增徳（第三章） 13 §4.1 流程图………………………………………（25）
付增徳（第四章） 14 §4.2 结构图……………………………………（27）
质量反馈 0760 86853660
zssxzb@ 15 第四章 框图 复习………………………………（29） 意见信箱
信息反馈 http://sx./nh
美术编辑 陆镜平 16《统计案例》单元测试 …………………………（31）
17《推理与证明》单元测试 ………………………（35）
开 本 890mm×1 240mm 16 开
印 张 4.5 18《数系的扩充与复数的引入》单元测试 ………（39）
字 数 70 000 19《框图》单元测试 ………………………………（41）
印 数 3 001～4 800 册 20《选修 2 3》模块水平测试 ……………………（44）
版 次 2009 年 1月第 3 版
印 次 2009 年 1月第 3 次印刷
第 1～15 练参考答案…………………………（ 49～56）
本册成本 7.0 元 第 16～20 测试答案……………………………（ 57～67）
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 1 讲§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
¤学习目标：了解掌握相关指数（相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方
和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析）,会求上述的相关指数,通过典型案例，掌握回归分析的基本
步骤.
¤知识要点：掌握回归分析的步骤. 相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平
和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析 求回归系数 a , b .
¤例题精讲：
【例 1】有下列关系：
（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；
（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
（3）苹果的产量与气候之间的关系；
（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
（5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是 .
解：有相关关系的是：（ 1）（3）（4）.
【例 2】某种书每册的成本费 y（元）与印刷册数 x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200
y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
1
检验每册书成本费 y与印刷册数倒数 之间是否具有线性相关关系，如有，求 y对 x的回归方程.
x
u 1 解：首先设变量 = ，题目所给的数据变成如下表所示的数据：
x
ui 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005
yi 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15
经计算得 r = 0.9998 > 0.75 ，从而认为u与 y之间具有线性相关关系，
由公式得 a =1.125,b = 8.973 ， 所以 y =1.125 + 8.973 x ，
1 8.973
最后回代 u = ，可得 y =1.125 + .
x x
【例 3】营 养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿生长的影响，调查了一批年龄在两个月到三岁的
婴幼儿，将他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白食物组两组，并测量身高，得到
下面的数据：高蛋白食物组
年龄 0.2 0.5 0.8 1 1 1.4 1.8 2 2 2.5 2.5 3 2.7
身高 54 54.3 63 66 69 73 82 83 80.3 91 93.2 94 94
低蛋白食物组
年龄 0.4 0.7 1 1 1.5 2 2 2.4 2.8 3 1.3 1.8 0.2 3
身高 52 55 61 63.4 66 68.5 67.9 72 76 74 65 69 51 77
身高与年龄近似有线性关系，检验：不同食物的婴幼儿的身高有无差异；若存在，这种差异有何特
点？
解：对高蛋白的食物组，设年龄 x，身高为 y ,
n n n n n
则 S = ∑ x 2 1 1 xx i (∑ x 2 i ) =9.69，S ∑ x y ∑ x xy = i i i ∑ y i =154.81.
i=1 n i=1 i=1 n i=1 i=1
S b xy = 154.81 = =15.97， a =76.8 15.97×1.65=50.40， 回归方程 y = 50.40 + 15.97 x .
S xx 9.69
对低蛋白食物组，设年龄为 x，身高为 y ,同样可得线性回归方程为 y = 51.226 + 8.686 x ，通过对斜
率、截距进行比较，可以看出不同食物对婴儿的身高有显著的差异，且高蛋白食物组同龄婴幼儿身高明
显高些.
1
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
※基础达标
1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）.
A. 预报变量在 x轴上，解释变量在 y轴上 B. 解释变量在 x轴上，预报变量在 y轴上
C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x轴上 D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y轴上
2. 一位母亲记录了儿子 3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 y = 7.19x + 73.93
用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ）.
A. 身高一定是 145.83cm B. 身高在 145.83cm以上
C. 身高在 145.83cm以下 D. 身高在 145.83cm左右
3. 两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R 2 如下 ，其中拟合
效果最好的模型是（ ）.
A. 模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80
C. 模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25
4. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下列判断正确的
是（ ）.
A. 劳动生产率为 1000 元时，工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150 元
C. 劳动生产率提高 1000元时，工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元
5. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）.
A. 残差 B. 样本编号 C. x D. en
6. 通过 e1,e2 ,..., en 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为
（ ）.
A.回归分析 B.独立性检验分析 C.残差分析 D. 散点图分析
※能力提高
7． 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有
缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速 x (转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数 y（件） 11 9 8 5
（1）变量 y对 x进行相关性检验；
（2）如果 y对 x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制
在什么范围内？
※探究创新
8. 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国 50个州的
成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )的
∧
数据，建 立的回归直线方程如下 y = 0.8x + 4.6 ，斜 率的估计等于 0.8说明 ；
成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )之间的
相关系数 (填充“大于 0”或“小于 0”)
2
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 2 讲 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)
¤学习目标：理解独立性检验的基本思想,会从列联表、柱形图、条形图直观判断吸烟与患癌有关,
了解随机变量 K2 的含义.
¤知识要点: 1、独立性检验的基本思想.
2、随机变量 K2 的含义.
¤例题精讲：
【例 1】某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别
非统计专业 统计专业
专业
男 13 10
女 7 20
50× (13× 20 10× 7) 2
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，得到 k = ≈ 4.844 ，判定主修统计专业
23× 27× 20× 30
与性别有关系，则这种判断出错的可能性为 _.
解：因 K 2 ≥ 3.841 ，所以这种判断出错的可能性为 5%.
【例 2】有人发现,多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠 不冷漠 总计
多看电视 68 42 110
少看电视 20 38 58
总计 88 80 168
则大约有__ ___的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
k 168× (68×38 42× 20)
2
解：根据表中的数据，得到 = ≥ 6.635 ,
88×80×110× 58
所以大约有 99%把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
【例 3】在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人.女性中
有 43人主要的休闲方式是看电视，另外 27人主要的休闲方式是运动；男性中有 21人主要的休闲方式是
看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动.
（1）根据以上数据建立一个 2×2 的列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系.
解：（1）2×2 的列联表如下：
休闲方式 看电视 运动 总计
女 43 27 70
男 21 33 54
总计 64 60 124
（2）假设“休闲方式与性别无关”，
k 124× (43×33 27× 21)
2
计算 = ≈ 6.201 ， 因为 K 2 ≥ 5.024 ，
70×54×64× 60
所以，有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别
有关”.
【例 4】现调查中学生性别与肥胖的关系，从一学校随机抽取 300 人，得到以下联表：
肥胖 不肥胖 总计
女 35 90 125
男 30 145 175
总计 65 235 300
由表中数据计算得 K 2 ≈ 0.3453 ，中学生的性别是否与肥胖有关系？为什么？
解：因为在假设“性别与肥胖之间没有关系“的前提下，事件 A = { K 2 ≤ 2.706} 的概率为
P(K 2 ≤ 2.706) ≈ 0.25 ，
由样本计算得 K 2 ≈ 0.3453 < 2.706 ，因此肥胖与性别没有充分的证据显示有关系.
3
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)
※基础达标
1. 三维柱形图中，主副对角线上两个柱形的高度 相差越大，要推断的论述成立的可能性越大（ ）.
A. 乘积 B. 和 C. 差 D. 商
2. 考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，则（ ）.
A. 种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关
C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的
3. 某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？
.
4. 由一个 2*2 列联表中数据计算得 k 2 = 4.013 ,有 把握认为两个变量有关系.
5. 对于两个分类变量 X 与Y ：
（1）如果 K > 6.635 ，就约有_______的把握认为“X 与 Y有关系”；
（2）如果 K > 3.841 ，就约有_______的把握认为“X 与 Y有关系”；
（3）如果 K ≤ 2.706 ，则_______（填“有”或“没有”） 充足的把握认为“X 与 Y有关系”.
※能力提高
6. 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚
都打鼾与患心脏病有关吗？
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1355 1379
合计 54 1579 1633
※探究创新
7. 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行 3 年跟踪研究，调查他们
是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计
心脏搭桥手术 39 157 196
血管清障手术 29 167 196
合计 68 324 392
试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别
4
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 3 讲§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)
¤学习目标：理解独立性检验的基本思想,会从列联表、柱形图、条形图直观判断是否有相关,了解
随机变量 K 2 的含义.
¤知识要点：
n ad bc 2
1.独立性检验 k 2 ( ) =
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
2．独立性检验的思想（类似反证法）.
¤例题精讲：
【例 1】某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 合计
喜欢玩游戏 18 9 27
不喜欢玩游戏 8 15 23
合计 26 24 50
则认为喜欢游戏与作业量的多少有关系的把握大约为
A．99% B. 95% C.90% D.无充分依据
50× (18×15 8× 9) 2
解：由表中数据得 K 2 = ≈ 5.059 > 3.841 ，所以约有 95%的把握认为两变量之间
26× 24× 27× 23
有关系.选 B.
【例 2】在 某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因
为患心脏病而住院的男性病人中有 175 秃顶，请用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你
所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
患心脏病 未患心脏病 合计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
合计 665 772 1437
2 n ( ad bc )
2
K = ≈16.373 > 6.635 . 所以有 99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
【例 3】为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取
300 名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计
男 37 85 122
女 35 143 178
合计 72 228 300
由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k≈ 4.513. 在多大程度上可以人为高中生的性别与是否喜欢数学课程之
间有关系？为什么？
解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下， k 2 应该很小，并且
k 300× (37×143 35× 85)
2
= > 3.841 这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”这一结论是错
72×122×178× 228
误的可能性为 0.05，即有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”.
【例 4】甲 乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联
表：
优秀 不优秀 合计
甲班 37 85 122
乙班 35 143 178
合计 72 228 300
利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少？
解：由表中数据计算，得到 K 2 的观察值为 k ≈ 0.653 > 0.455 ,从而有 50%的把握认为“成绩优秀与
班级有关系”，即“成绩优秀与班级有关系“犯错误的概率为 0.05.
5
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(2)
※基础达标
1．检验两个分类是否相关时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是（ ）.
A.散点图 B.三维柱形和二维条形图 C.独立性检验 D.以上都可以
2．在二维条形图中，两个比值______相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大（ ）.
a c a c a c a A． 与 B. 与 C. 与 D. 与 c
a + b c + d c + d a + b a + d b + c b + d a + c
3. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）.
A. 若K 2 的观测值为 k = 6.635 ,我们有99% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100个吸烟的
人中必有 99人患有肺病.
B. 从独立性检验可知有 99% 的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有
99% 的可能患有肺病.
C. 若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判
出现错误.
D. 以上三种说法都不正确.
4 . 两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4个不同模型，它们的相关指数 R 2 如下 ，其中拟合
效果最好的模型是（ ）.
A.模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80
C.模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25
5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠 不冷漠 总计
多看电视 68 42 110
少看电视 20 38 58
总计 88 80 168
则大约有 的把握认为多看电视与人变冷漠有关系.
※能力提高
6. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表：
患病 不患病 总计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
请问能有多大把握认为药物有效
※探究创新
7. 通过随机询问 72名不同性别的大学生在购买食物时时否看营养说明，得到如下联表：
女 男 总计
读营养说明 16 28 44
不读营养说明 20 8 28
合计 36 36 72
请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系？
6
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲 第一章 统计案例
第 4 讲§1.2 统计案例 复习
¤学习目标： 掌握回归分析的基本步骤,独立性检验的基本思想及实施步骤了解随机变量 K 2 的含
义, K 2 太大认为两个就量是有关系的.
¤知识要点: 1.掌握回归分析的步骤，独立性检验的思想（类似反证法）；
2.求回归系数 a , b , 求回归方程；
2 n ( ad bc )
2
3.独立性检验 k = ；
( a + b)( c + d )( a + c)( b + d )
4．参考公式
P（K 2 ≥ k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
¤例题精讲:
【例 1】 (1). 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数 ，可以叙述为“身高解释了
64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的 36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.
(2). 若一组观测值（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）之间满足 yi=bxi+a+ei (i=1、2.
若 ei 恒为 0，则 R 2 为
(3). 已知 x与 y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则 y与 x的线性回归方程 y = bx + a 必过点______
解：(1). 0.64； (2). 1 ； (3). (1.5,4).
【例 2】在一次恶劣气候的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有 24
人，不晕机的有 31人；女乘客晕机的有 8人，不晕机的有 26人. 请你根据所给数据判定是否在恶劣气候
飞行中男人比女人更容易晕机？
解：根据题意，列出列联表如下
晕机 不晕机 合计
男 24 31 55
女 8 26 34
合计 32 57 89
2 89× ( 24× 26 31× 8
2
则 K ) = ≈ 3.689 > 2.706 , ∴ 90%的 把握认为在这次航程中男人比女人更容易晕机.
55×34×32× 57
【例 3】一 只红铃虫的产卵数 y和温度 x有关现收集了 7 组数据于下表,试建立 y与 x之间的回归方程.
温度 x 21 23 25 27 29 32 35
产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325
解：依题意，把温度作为解释变量 x ，产卵个数 y 作为预报变量 , 作散点图，由观察知两个变量
不呈线性相关关系. 但样本点分布在某一条指数函数 y = c e c2 x 1 周围.
令 z = ln y , a = ln c1 , b = ln c2 , 则 z = bx + a .
此时可用线性回归来拟合 z=0.272x 3.843，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为
Y=e 0.272x 3.843
【例 4】为了调查某生产线上，某质监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：
产品正品数 次品数 合计
甲在现场 982 8 990
甲不在现场 493 17 510
合计 1475 25 1500
试用独立性检验的方法对数据进行分析.
2
解：因为 K 2
1500× ( 982×17 493× 8 )
= ≈13.097 > 6.636 ,所以约有 99%的把握认为“质量监督员甲
1475× 25×510× 990
在不在现场与产品质量有关系”.
7
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 统计案例 复习
※基础达标
1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）.
A.预报变量在 x轴上，解释变量在 y轴上 B.解释变量在 x轴上，预报变量在 y轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 x轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在 y轴上
2. 设两个变量 x和 y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 r ， y 关于 x的回归直线的斜率是
b，纵截距是 a ，那么必有（ ）.
A. b与 r 的符号相同 B. a 与 r 的符号相同
C. b与 r 的相反 D. a 与 r 的符号相反
3. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下列判断正确的
是（ ）.
A.劳动生产率为 1000 元时，工资为 50 元
B.劳动生产率提高 1000元时，工资提高 150 元
C.劳动生产率提高 1000元时，工资提高 90 元
D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元
4. 为研究变量 x和 y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方
程 l1 和 l 2 ，两人计算知 x相同， y也相同，下列正确的是（ ）.
A. l1 与 l 2 重合 B. l1 与 l 2 一定平行
C. l1 与 l 2 相交于点 ( x, y ) D. 无法判断 l1 和 l 2 是否相交
5. 变量 x与 y具有线性相关关系，当 x取值 16、14、12、8时，通过观测得到 y的值分别为 11、9、
8、5，若在实际问题中， y的预报最大取值是 10，则 x的最大取值不能超过（ ）.
A．16 B.17 C.15 D.12
6. 作两个变量的散点图的主要目的是__________________________________.
7．两个模型的残差平方和越小的模型，拟合的效果_____________________.
8. 若由一个 2*2 列表中的数据计算得 K 2 ≈ 4.013 ，那么有_________的把握认为两个变量间有关系.
※能力提高
9. 某厂为了研究生产率与废品率之间的关系,记录了 7 天的数据,试根据以下数据建军立废品率与生
产率的回归模型:
生产率/个.周 1000 2000 3000 3500 4000 4500 500
废品率/% 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13
※探究创新
10. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取 300
名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计
男 37 85 122
女 35 143 178
合计 72 228 300
由表中数据计算得到 K 2 的观察值 k ≈ 4.51 ,在多大程度上可以人为高中生的性别与是否喜欢数学课
程之间有关系？为什么？
8
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 5 讲 §2.1.1 合情推理
¤学习目标：理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法，能通过归纳法和类比法的步
骤，体会逻辑推理的严谨性.
¤知识要点：
1、归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理. 归纳推理步骤：（1）通过观察个别情况发现某
些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
2、类比推理：由特殊到特殊的推理. 类比推理步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）
用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.
¤例题精讲：
2a
【例 1】在数列{a } 中， a =1,a = n n 1 n +1 , n∈ N ,试猜想这个数列的通项公式. 2 + an
分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项.
{a } 2a a 1,a 1 2 2a 2 1 2 2 a 2 解： n 中， 1 = 2 = = ,a3 = = = ,a = 3 = , L 2 + a1 3 2 + a 4 2 2 4 2 + a3 5
∴ {a 2 n } 的通项公式 an = . n + 1
点评：通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，本题的
结论可以通过适当的变形得证.
【例 2】顺次计算数列：1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1,…的前 4项的值，由此猜测：
a n =1+2+3+…+( n 1)+ n +( n 1)+…3+2+1 结果.
解：1=1 2 ；
1+2+1=4=2 2 ；
1+2+3+2+1=9=3 2 ；
1+2+3+4+3+2+1=16=4 2 ；
从而猜想： a n =1+2+3+…+( n 1)+ n +( n 1)+…3+2+1= n
2 .
【例 3】通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.
解：
圆 球
球心与截面（不经过圆心的小截面圆）圆
圆心与弦（非直径）中心的连线垂直于弦
心的连线垂直截面圆
与圆心距离相等的两条弦长相等 与球心距离相等的两个截面圆的面积相等
圆的周长 C=π d 球的表面积 S=π d2
圆的面积 S=π r 2 球的体积 V= π r 3
点评：本题推测球的有关性质其前三个得到的结论是正确的，最后一个则是错误的，由此可见，类
比的结论只具有或然性，即可能真，也可能假.
【例 4】在Rt △ABC 中，若∠C=90 0， 则 cos 2A +cos 2B =1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.
分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有 3 个面两两垂直的四面体 P ABC,
且三个面与面 ABC 所成的二面角分别是α 、β、γ .
B
解：如图，在Rt △ABC 中，
2 2
cos2 A +cos 2B = (b )2 + (a )2 a + b = 2 = 1 .
c
c c c a
于是把结论类比到四面体 P ABC 中，我们猜想，三棱锥 P ABC P C b A
中，若三个侧面 PAB、PBC、PCA 两两互相垂直且分别与底面所 C
成的角为α 、β、γ . A
B
由此可猜想出四面体性质为：cos 2 α +cos2 β+cos 2 γ =1 .
点评：类比推理应从具体问题出发，通过观察、联想进行对比，归纳，提出猜想.平面问题与空间问题
的类比，通常抓住平面角与二面角、面积与体积、边与面等各方面几何要素进行对比.
9
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §2.1.1 合情推理
※基础达标
1. 由数列 1，10，100，1000，……猜测该数列的第 n 项可能是（ ）.
A．10 n B．10 n 1 C．10 n+1 D．11 n .
2. 1，3， 7，15，( )，63，· ··， 括号中的数字应为（ ）.
A．33 B． 31 C． 27 D． 57
3. 数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第 1000 项是（ ）.
A 42 B 45 C 48 D 51
4. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你
认为比较恰当的是（ ）.
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面
所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.
A．①； B．①②； C．①②③； D．③.
5. 设平面内有 n 条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用
f (n ) 表示 n 条直线交点的个数，则 f (4) = （ ）.
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 由“等腰三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 _______________.
7. 设 f (n ) >0（n∈N﹡）, f (2) =9，并且对于任意 n1 、 n 2 ∈ N *，
f (n1 ) f (n2 ) = f ( n1 + n2 )成立，猜想 f (n) = .
※能力提高
8. n 已知 an+1 = an （n=1、2、·· ·）， a1=1，试归纳这个数列的通项公式. n + 1
9. 已知： sin2 30o + sin2 90o + sin2 150 o 3 = ； sin2 5o + sin2 65o + sin2 125o 3 = . 通过观察上述两等式的规
2 2
律，请你写出一般性的命题：__________________________= 3 （*），并给出（*）式的证明.
2
※探究创新
10. {a } n S a 2 1 已知数列 n 的前 项和为 n ， 1 = ，满足 Sn + + 2 = an (n ≥ 2) ，计算 S1,S2 ,S3 , S 3 S 4
，并推
n
测 S n 的表达式.
10
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 6 讲 §2.1.2 演绎推理
¤学习目标：理解演绎推理的概念，能利用“三段论”进行简单的推理，通过演绎推理能体会推理
的规则，能合乎逻辑地进行推理.
¤知识要点：
1、 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理. 是由一般到
特殊的推理.
2、三段论推理：（1）大前提 已知的一般性原理；（2）小前提 所研究的特殊情况；（3）结论 根
据一般原理，对特殊情况做了的判断.
¤例题精讲：
【例 1】把下列演绎推理写成“三段论”的形式.
（1）三角函数都是周期函数，y=tanx 是三角函数，所以 y=tanx是周期函数.
（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2 100+ 1）是奇数，所以（2 100+ 1）不能被 2 整除.
解：（1）三角函数都是周期函数 ……大前提
y=tanx 是三角函数 ……小前提
∴ y=tanx是周期函数 ……结论
（2）一切奇数都不能被 2 整除 ……大前提
（21 00+ 1）是奇数 ……小前提
∴（21 00+ 1）不能被 2 整除 ……结论
【例 2】设 a > 0,b > 0,a + b 1, 1 1 1 = 求证: + + ≥ 8 .
a b ab
证明：∵ a > 0, b > 0, a + b = 1,∴ 1 = a + b ≥ 2 ab ,∴ ab 1≤ , 1 ∴ ≥ 4 .
2 ab
∴ 1 1 1 1 1 + + = ( a + b )( + ) 1 + ≥ 2 ab 1 1 2 + ≥ 4 + 4 = 8 .
a b ab a b ab ab ab
当且仅当 a = b 时等号成立，所以 1 + 1 1 + ≥ 8 .
a b ab
点评：对不等式证明除考虑利用均值不等式外，对“1”的灵活使用值得注意.
π
【例 3】如图所示为三个拼在一起的正方形，求证：α+β= .
4
π π 1 1
证明：∵0<α< , 0<β< , ∴0<α+β<π . 又 tanα= , tanβ= , β α
2 2 2 3
1 1
+
∵ tan(α + β ) tanα + tan β = = 2 3 = 1 ,
1 tanα tan β 1 1 × 1
2 3
π
∵ 0<α+β<π , ∴α+β= .
4
x
【例 4】求证函数 y 2 1 = x 是奇函数，且在定义域上是增函数. 2 + 1
x
证明：(1)∵ y 2 1 = = 1 2 , 定义域为 x∈ R .
2x + 1 2x + 1
x
∴ f ( x) + f (x ) = ( 1 2 )+( 1 2 )=2 2 2 2 =2 2=0 , 2 x + 1 2x + 1 2x
+
+1 2
x + 1
即 f ( x) = f (x ) ∴ f (x ) 是奇函数.
(2) 任取 x1,x2, 且 x1
f (x1) f (x
2
) = = 1 1 2 1 1 2 2 2 x =2 = , 2 1 +1 2x 2 + 1 2x2 +1 2x1 +1 (2x2 +1) + (2x1 + 1)
∵x
∴ f (x1) < f (x2 ) 故 f (x ) 为增函数
点评：例 3与例 4 在证明过程中都使用了“三段论”推理规则. 例 4 在证明奇函数是使用定义法，使
式子变形而得，如果 f( x) f(x) =0则函数为偶函数.
11
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 §2.1.2 演绎推理
※基础达标
1. 下列表述正确的是（ ）.
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特
殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.
2. 演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）.
A．一般的原理原则； B．特定的命题； C．一般的命题； D．定理、公式.
3．已知ΔABC 中，∠A=30°∠B=60°求证：a
4. 已知直线 m、n与平面 α , β ，给出下列三个命题： ①若 m //α ,n //α ,则m // n
②若 m //α ,n ⊥ α ,则 n ⊥ m ③若 m ⊥ α ,m // β , 则 α ⊥ β . 其中真命题的个数是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
5. 设函数 f (x)(x∈ R ) 为奇函数， f 1 (1) = , f ( x + 2 ) = f ( x ) + f ( 2 ) , 则 f (5 ) = （ ）.
2
A．0 B．1 C． 5 D．5
2
6. 在数列{ a n } 中， a1 =1,a2 = 2,an+ 2 an =1+ ( 1)n (n∈ N * ) ，则 S1 0 = __________.
7. 已知无穷数列 1，4，7，10，…，则 4891 是它的第__________项.
※能力提高
8. 用三段论证明：三角形内角和等于 180°.
9. 已知实数 p 满足不等式 (2x +1)(x + 2) < 0 ，试判断方程 y2 2y + 5 p 2 = 0 有无实根，并给出证明.
※探究创新
10. 已知{ an } 是各项均为正数的等差数列， lga1, lga2 , lg a
1
4 成等差数列，又 bn = ，n=1,2,3,… a
2 n
证明：{b n } 为等比数列.
12
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 7 讲 §2.2.1 综合法与分析法
¤学习目标：理解综合法证明和分析法证明的概念及它们的区别，能熟练地运用综合法，分析法证
题，能体会这两种方法的相辅相成、辩证统一的关系.
¤知识要点：
1、综合法：它是从已知到末知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真
实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题. 它是一种由因索果的证明方法.
2、分析法：它是先假设所要求证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的判断. 而当
这些判断恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）时，命题得证. 它是执果索因
的证明方法.
¤例题精讲：
【例 1】已知 a、b、c 是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2 ) +b(c 2+ a 2) +c(a 2+ b2 ) >6abc
证明：∵b2 + c 2≥ 2bc ∴a(b2 + c 2) ≥2abc…… ①
同理 b(c 2+ a2 ) ≥2abc ……②
同理 c(a2 + b2 ) ≥2abc ……③
∵ a、b、c 是不全相等的正数
∴b 2+ c 2≥ 2bc、(c2 + a 2) ≥2ac、(a 2+ b2 ) ≥2ab 三式中不能全取“=”号
∴①②③三式相加 a(b2 + c 2) +b(c2 + a2 ) +c(a2 + b2 ) >6abc
点评：从本题的已知条件到要证明结论，显然利用综合法证明较方便，即使用均值不等式. 但要注意
使用均值不等式时，取“=”号成立的条件.
【例 2】求证 2 + 7 < 3 + 6 .
证明： ∵ 2 + 7 >0, 3 + 6 >0,
要证 2 + 7 < 3 + 6 ，
只需证 （ 2 + 7 ） 2< （ 3 + 6 ） 2，
即证 9+2 14 <9+2 18 ，
即 14 < 18 ,即证 14<18.
∵14<18 显然成立，
∴ 2 + 7 < 3 + 6 .
【例 3】设 a、 b ， x、 y ∈ R ，且 a2 + b2 =1, x2 + y 2 = 1 ，试证 ax + by ≤ 1 .
证法 1： ax + by ≤ 1 (ax + by)2 ≤1 a2x2 + 2abxy + b2 y 2 ≤ 1
a2x2 + 2 abxy + b2 y 2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) (bx ay )2 ≥ 0 ，这显然成立.
∴ ax + by ≤ 1 .
证法 2： (ax + by)2 = a2x2 + 2 abxy + b2 y 2 ≤ a2x2 + b2 y2 + b2x2 + a2 y 2 = (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) = 1 ，
∴ ax + by ≤ 1 .
【例 4】如图 AB为⊙O的直径，⊙O 在平面γ内，SA⊥平面γ，∠SBA=30 0， 动点 P在圆 O 上移动
（不重合于 A、B 两点），以 N和 M表示点 A在 SP、SB 上的射影，∠BAP=α, ∠AMN=β.
求证：(1)△SPB 是直角三角形,
(2)AN S ⊥平面 SPB.
证明：（1）SA⊥平面 APB,P为圆上一点 AP⊥PB
M
SP ⊥ PB
AP为 SP在平面γ上的射影
△SPB 是直角三角形. N
P B ⊥ S P A O B
（2）
P B ⊥ S A PB ⊥ 平面 SAP P
S A ∩ S P = S AN 平面 SAP
PB ⊥ AN
SP ⊥ AN AN⊥平面 SPB
PB ∩ SP = P
点评：在高中数学的证明题中，立体几何占有很大部分，其中以综合法为主，培养学生的逻辑思维
能力.
13
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §2.2.1 综合法与分析法
※基础达标
1. 已知α∩β＝l，a α、b β，若 a、b 为异面直线，则（ ）.
A． a、b 都与 l 相交 B． a、b 中至少一条与 l相交
C． a、b 中至多有一条与 l 相交 D． a、b都与 l 相交
2. 已知 a = 3 + 10 ， b = 2 + 11 ，则 a 与 b的大小关系是（ ）.
A. a < b B. a = b C. a > b D. 无法判定
3. 设 x, y 为正数, 则 (x + y )(1 4 + ) 的最小值为（ ）.
x y
A. 6 B.9 C.12 D.15
4．已 知 a1 , a 2 , L a8 是各项均为正数的等比数列，且 公比q≠1，则 A=a1+a8与B=a4+a5的大小关系（ ）.
A．A>B B．A5. 数列{an}满足 an+1=an－an－1(n≥2)，a1=a，a2=b，设 Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（ ）.
A．a100=－a ，S100=2b－a B．a100=－b ，S100=2b－a
C．a100=－b， S100=b－a D．a100=－a， S100=b－a
6. 2 已知集合 A＝{－1，3，2m－1}，集合 B＝{ 3， m }．若 B A，则实数m＝ ．
7. 已知实数 a ≠ 0 , f (x) a(x2 1) (2x 1 = + + ) 有最小值－1，则a =________.
a
※能力提高
8. π 已知： A + B = ，求证： ( 1+ tan A) (1 + tan B ) = 2 .
4
9. 1 4 已知：0 < a < 1 ，求证： + ≥ 9 .
a 1 a
※探究创新
10. a b 用适当方法证明：已知： a > 0,b > 0 ，求证： + ≥ a + b .
b a
14
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 8 讲 §2.2.2 反证法
¤学习目标：理解反证法的概念，掌握反证法的证题的步骤；能体会直接证明与间接证明之间的辩
证关系，体现对立与统一的思想观点和方法
¤知识要点：
1、反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立. 这样的证明方法叫反证法.
2、应用反证法证明命题的步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；
（3）由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所
做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.
¤例题精讲：
【例 1】用反证法证明， 若 a > b > 0, 则 a > b .
证明：假设 a 不大于 b ，
则 a < b 或 a = b ，
∵ a > 0 , b > 0, ∴ a < b a a < b a 与 a b < b b a < b .
又 a = b a = b ,
这些都与已知 a > b > 0 相矛盾， 则 a > b .
点评：“ 大于”的否定是“不大于”， “ 不大于”要注意其包括“等于”或“小于”， 在论证时一定要
两方面都考虑.
2 f (x) a x x 2 【例 】已知函数 = + (a > 1) ，请用反证法证明 f (x ) = 0 没有负实数根.
x + 1
x 2
证法 1：设存在 x < 0(x ≠ 1 ) ，满足 f (x ) = 0 ，则 a x0 0 0 0 0 = . x0 + 1
ax x0 2 又 0 < 0 < 1，所以 0 1 < < 1 ，即 < x0 < 2 与假设 x0 < 0 矛盾. 故方程 f (x ) = 0 没有负实数根. x0 + 1 2
证法 2：设存在 x0 < 0(x0 ≠ 1 ) ，满足 f (x0 ) = 0 .
x0 2 （1）若 1< x0 < 0 ， 则 < 2 ， a
x0 < 1 ， 所以 f (x
x + 1 0
) < 1 与 f (x0 ) = 0 矛盾.
0
x 2
（2） x0 < 1 ，则
0 > 0 ， a x0 > 0 ，所以 f (x0 ) > 0 与 f (x0 ) = 0 矛盾. x0 + 1
故方程 f (x ) = 0 没有负数根.
【例 3】证明 5是无理数.
证明：假设 5不是无理数，则 5是有理数，
p
设 5 = ，其中 p 、q为互质的正整数，两边平方： p 2 =5 i q 2 .
q
则 p 2 是 5 的倍数，则 p 也是 5 的倍数，
令 p =5m, m 为正整数 ，则 25m2 = 5 i q 2 ，
2
则 q =5m2 2 所以 q 是 5 的倍数，同样q也是 5 的倍数,
那么这与 p 、 q为互质的正整数相矛盾 ，所以 5是无理数.
【例 4】已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD交于点 P，且 AB、CD 不是直径. A
求证：弦 AB、CD 不被 P平分.
O
证明：假设弦 AB、CD被 P平分，连结 AD、BD、BC、AC,
因为弦 AB、CD 被 P点平分，所以四边形 ABCD 是平行四边形 P C D
所以 ∠A CB = ∠ ADB, ∠C AD = ∠ CBD B
因为 ABCD 为圆内接四边形 ，所以 ∠A CB + ∠A DB = 180 o , ∠ CAD + ∠ CBD = 180 o
因此 ∠A CB = 90 o , ∠ CAD = 90 o
所以，对角线 AB、CD 均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立，
所以，弦 AB、CD 不被 P平分.
15
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §2.2.2 反证法
※基础达标
1. 下列证明方法中属“间接证法”的是（ ）.
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法
2. 用反证法证明：“ a>b”. 应假设（ ）.
A．a>b B．a3. 有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）.
A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾
C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对
4. 实数 a、b、c不全为 0的条件是（ ）.
A．a、b、c 均不为 0； B．a、b、c中至少有一个为 0；
C．a、b、c至多有一个为 0； D．a、b、c 至少有一个不为 0.
5. 反证法证明命题：“ 三角形的内角中至少有一个不大于 60°”， 反设正确的是（ ）.
A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60°
C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°
6. 用反证法证明：“ f (n ) 被 4 除余 1”， 应假设 ______即 .
7. 设实数 a,b,c 成等比数列，非零实数 x、y分别为 a与 b，b 与 c a c 的等差中项，则 + =________.
x y
※能力提高
8. 已知：∠A， ∠B， ∠C 是△ABC 的内角.
求证： ∠A， ∠B， ∠C 中至少有一个不小于 60°.
9. 2 求证： y = ax + 2b x + c, y = bx 2 + 2c x + a , y = cx 2 + 2 ax + b （a,b,c 是互不相等的实数），3 条
抛物线至少有一条与 x 轴有两个交点.
※探究创新
10. 平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
16
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》──精讲 第二章 推理与证明
第 9 讲 第二章 推理与证明 复习
¤学习目标：理解合情推理、演绎推理的联系与区别；理解直接证明与间接证明的方法、步骤. 能体
会推理方法在探索和问题解决中的思路及作用，并能掌握数学证明的方法.
¤例题精讲：
【例 1】已知数列{a n } a
1
的通项公式 n = 2 (n∈ N + ) ，记 f (n) = (1 a1)(1 a2 ) (1 an ) ，试通过计 (n + 1)
算 f (1), f (2), f (3) 的值，推测出 f (n ) 的值.
1 3 1 3 8 2 4
解： f (1 ) = 1 a1 = 1 = ， f ( 2) = (1 a1 )(1 a 2 ) = f (1 ) (1 ) = = = ， 4 4 9 4 9 3 6
f a a a f 1 2 15 5 (3 ) = (1 1 )(1 2 )(1 3 ) = ( 2 ) (1 ) = = . 16 3 16 8
由此猜想， f (n ) n + 2 = .
2(n + 1)
【例 2】在平面几何中，有勾股定理：“ 设 ABC 的两边 AB、AC 互相垂直，则 AB 2 + AC 2 = BC 2 . ”
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确
结论是：“ 设三棱锥 A BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 .”
解： 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形；面 边；体 积 面 积；二面角 平面角；面 积 线段长
由此，可类比猜测本题的答案： S 2 2 2 2 ABC + S ACD + S ADB = S BCD
【例 3】对于直线 l：y=kx+1，是否存在这样的实数 k，使得 l 与双曲线 C 3x 2 ： －y 2 =1 的交点 A、B
关于直线 y=ax（a 为常数）对称？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.
证明：（ 反证法）假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称，设 A（x1，y1）、B（x2，y2）则
ka = 1 (1) y = kx + 1 ， 由 (3 k 2 )x2 2kx 2 = 0 （4）
y1 + y2 = k (x1 + k ) + 2(2) y2 = 3x 2 2 1
y1 + y2 a x + x = 1 2 (3)
2 2
由（2）、（3）有 a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 （5）
由（4）知 x 2 k1+x2= ， 代入（5）整理得：ak=－3，与（1）矛盾.
3 k 2
故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 y=ax 对称.
【例 4】已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 b + c a a + c b a + b c + + > 3 .
a b c
解：方法一：（综合法）∵ a，b，c全不相等, ∴ b 与 a ， c 与 a ， c 与 b 全不相等.
a b a c b c
b a 2 c a 2 c b ∴ + > ， + > ， + > 2 , b c c a a b 三式相加得 + + + + + > 6 .
a b a c b c a a b b c c
(b c 1) (c a 1) (a b ∴ + + + + + 1) > 3 , 即 b + c a a + c b a + b c + + > 3 .
a a b b c c a b c
方法二：（ 分析法）要证 b + c a a + c b a + b c + + > 3 ,
a b c
只需证明 b c 1 c a 1 a b + + + + + 1 > 3 ,
a a b b c c
即证 b c c a a b + + + + + > 6 .
a a b b c c
而事实上，由 a，b，c 是全不相等的正实数,
b a
∴ + > 2 c a， + > 2 c b ， + > 2 ,
a b a c b c
b c c a a b b + c a a + c b a + b c ∴ + + + + + > 6 , ∴ + + > 3 ，得证.
a a b b c c a b c
17
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》─ ─精讲 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 第二章 推理与证明 复习
※基础达标
1．下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间
接证法；⑤反证法是逆推法. 正确的语句有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．观察下列数：1，3，2，6，5，15，14，x，y，z，122，…中 x，y，z 的值依次为（ ）.
A.42,41,123 B. 13,39,123 C. 24,23,123 D.28,27,123
3．若命题 P: x ∈ A ∪ B , 则 P 是（ ）.
A. x A∪ B B. x A或 B C. x A且 B D. x∈ A∩ B
4．设 m≠n，x=m4 － m 3n ，y=n 3m －n 4， 则 x 与 y 的大小关系为（ ）.
A．x>y B．x=y C．x
A . an =1+ ( 1)
n +1 B. an =1 cos nπ C. a 2sin
2 nπ
n = D. an =1+ ( 1)
n 1 + (n 1)(n 2)
2
6．凸 n 边形的对角线条数 f (n ) =_________
7．用砖砌墙，第一层（底层）用去全部砖的一半多一块，第二层用去剩下的一半多一块……依此类
推，每一层都用去剩下的一半多一块，如果到了第九层恰好砖块用完，则一共用了________块砖.
※能力提高
8．已知 a + b + c = 0 ，求证： ab + bc + ca ≤ 0 .
9．已知 x, y π ≠ kπ + (k∈ Z ) ， sin x是 sin θ ， cosθ 的等差中项，sin y 是 sinθ ,cos θ 的等比中项.
2
2 2
求证：（1） cos 2x 1 cos 2 y 2 2(1 tan x) 1 tan y = ； （ ）
2 1+ tan2
= .
x 1+ tan 2 y
※探究创新
10．若 a1 > 0 ， a1 ≠ 1
2a
， a n n +1 = (n =1,2,…，) . （1）求证： a1 + a n+1
≠ a n ；
n
1
（2）令 a1 = ，写出 a2 、 a3 、 a4 、 a5 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 a ； 2 n
a + p
（3）证明：存在不等于零的常数 p，使{ n } 是等比数列，并求出公比 q 的值.
an
18
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 10 讲 §3.1 数系的扩充和复数的概念
¤学习目标：在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，通过对其过程的探索，理
解复数的有关概念与复数相等的充要条件，通过用其代数表示法和几何意义的学习，体会复数与向量之
间的关系．
¤知识要点：
1、复数的有关概念——实数、虚数、纯虚数以及它们之间的关系．
2、复数的代数表示法 z=a+bi(a,b ∈ R )．
3、复数的几何意义，复数与点，向量之间的关系．
4、复数相等的条件，a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d．
5、知识连接——向量表示方法和向量的模．
¤例题精讲：
【例 1】（ 1） 在下列结论中正确的是（ ）
A．在复平面上，实轴上的点表示实数；虚轴上的点表示纯虚数．
B．任何两个复数都不能比较大小．
C．如果令实数 a 与纯虚数 ai 对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应．
D．满足 z 2 = 1 的复数 z 只有 ±i ．
解：答案：D．
A 答案表述不严谨，除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数．B 答案应改两个实数可以比较大小，但
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小．C 答案就明显错误．只能说，复数集和复平面内所有的
点所成的集合一一对应；复数集和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的．
（2） (3x + 2y) + (5x y)i =17 2i ，求 x，y 的值．
3x + 2y =17 x = 1
解：利用复数相等的条件得， .
5x y = 2 y = 7
所以 x，y 的值分别为 1，7．
点评：（ 1）掌握复数的基本概念，从书本入手，对定义的理解 必须要有一种严谨性．
（2）考查复数的基本知识，抓住其概念，以及复数相等的条件，在解答过程中，应分清两复
数的实部与虚部，然后让实部与虚部分别相等．
【例 2】 z = (a2 2a) + (a2 a 2) i (a∈ R ) 对应的点在虚轴上，则（ ）
A． a ≠ 2或 a ≠ 1 B． a ≠ 2且 a ≠ 1 C． a = 2或 a = 0 D． a = 0
解：复数 z 对应的点在虚轴，则实部为零且虚部不为零，因此得
a2 2a = 0 ，解得 a = 0或 a = 2 ．答案为 C.
点评：求 a 的范围，分清复数的实部和虚部，并根据复数在复平面内对应点所在位置确定实部和虚
部组成的不等式组．
uuur uuur uuur
【例 3】 平行四边形 OABC，OA 对应的复数为1+ 2i ，OB 对应的复数为 1+ 3i ，则OC 对应的复数
为（ ）．
A．5i uBuur． uu 5uir uCu．ur 2 + uiu ur D． 2 i
O C
解：作图，OA +OC = OB ，设OC 对应复数为 z，
则1+ 2i + z = 1+ 3i, ∴ z = 2 + i . A B
答案为 C．
点评：复数的几何意义，利用复数集与复平面内所有点及向量的集合对应，画图利用三角形或平行四
边形法则进行加减法．
4 z z 2 【例 】已知复数 满足 2 z 3 = 0 ，则复数 z对应点的轨迹是（ ）．
A．1 个圆 B．线段 C．2个点 D．2 个圆
解：由 z 2 2 z 3 = 0 得，（ z +1）( z 3) = 0 ，
则（ z +1）=0或 ( z 3) = 0 ，
所以 z = 1 （舍去）， z = 3 ．
故复数 z的对应点的轨迹是以原点为圆心，以 3 为半径的圆，答案为 A．
点评：复数的几何意义与圆的定义的结合应用．复数的几何意义体现了数形结合的思想，利用模的几
何意义，可把许多问题求解得很精彩．
19
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 §3.1 数系的扩充和复数的概念
※基础达标
1．以3i 2 的虚部为实部，以 3i2 + 2i 的实部为虚部的复数是（ ）．
A．3 3i B．3 + i C． 2 + 2i D． 2 + 2i
2．设全集Ｉ＝｛复数｝，Ｒ＝｛实数｝，Ｍ＝｛纯虚数｝，则（ ）．
A．M ∪ R = I B． CI M ∪ R = I C． CI M ∩ R = R D． M ∩ CI R =
3．若 a、 b、 c∈ C ，则 (a b)2 + (b c )2 = 0 是 a=b=c 的（ ）．
A．充要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D.．既不充分也不必要条件
uuur
4．向量 OZ = (3,6) 对应的复数是（ ）．
Ａ．3 + 6i Ｂ． 6 + 3i Ｃ． 3+ 3i Ｄ． 6 + 6i
5．若复数 (m2 3m 4) + (m2 5m 6) i 表示的点在虚轴上，则实数 m的值为（ ）．
A．－１ B．４ Ｃ．－１和４ Ｄ． －１和６
6．若 x是实数，y 是纯虚数且满足 2x 1+ 2i = y ，则 x＝ ，y＝ ．
7．设复数 z＝a+bi 对应的点在虚轴的右侧，则 a,b满足的条件 ．
※能力提高
2
8 x x 6 ．已知 + (x2 2x 3)i = 0 (x∈ R ) ，求 x 的值．
x + 1
9．求若 log (m2 2 3m 3) + i log 2 (m 2) 为纯虚数，求实数 m的值．
※探究创新
uuur uuur
10．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为 45o ，向量OZ 对应的复数 z 的模为１，求 z．
20
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 11 讲 §3.2 复数代数形式的四则运算
¤学习目标：在数系扩充的过程中体会加减乘除运算的合理性，能进行复数代数形式的加减运算和
其几何意义，掌握复数的代数形式的乘法、除法的运算法则，掌握 i 幂的有关性质；掌握共轭复数的概念，
解决复数的运算问题．
¤知识要点：
1、复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义．
2、 i 幂的有关性质， i 2 = 1 ．
3、共轭复数的概念，两个复数的实部相等，虚部互为相反数．
¤例题精讲：
【例 1】 计算（ 6 3i）+ (3+ 2i) (3 4i) ( 2 + i ) .
解：（ 6 3i）+ (3+ 2i) (3 4i) ( 2 + i )
=6 3i + 3+ 2i 3 + 4i + 2 i
= [6 + 3 3 ( 2)]+ [ 3 + 2 ( 4) 1] = 8 + 2i .
点评：复数的加减运算，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程. 具体解题时，可适当地进行组
合，简化运算．
2 （ 2 + 2i）
3 ( 4 + 5i )
【例 】计算 .
(5 4i)(1 i )
（ 2 + 2i）
3 ( 4 + 5i )
解：
(5 4i)(1 i )
2 2(1+ i)3 (5 4i) i 2 2(1+ i) 4 i
= = = 2i(2i)2 = 4 2i .
(5 4i)(1 i) (1 i)(1+ i )
点评：复数的四则运算，一般按乘法除法法则进行计算，分数进行化简，采取共轭复数的定义，解
题过程类似于多项式四则运算，适当地进行组合，简化运算．
【例 3】若复数 z 满足 z(1+ i ) = 2 ，则 z 的实部是 ．
解：设 z = x + yi(x, y∈ R)，则( x + yi)(1+ i ) = 2 ,
∴(x y) + (x + y)i = 2；
x y = 2 x = 1
∴ .
x + y = 0 y = 1
即 z =1 i ，故 z 的实部为 1.
点评：考查复数的基本知识，抓住其概念，以及复数相等的定义，在解答过程中，应分清两复数的
实部与虚部，然后让实部与虚部分别相等．
【例 4】 已知：复数 z = m2 (1+ i) m(2 + 3i) 4(2 + i ) ，当 m取什么实数时，z是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零？
分析：因为 m ∈ R ，所以化简后由复数 z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数和零的条件确定 m的值．
解： z = m2 (1+ i) m(2 + 3i) 4(2 + i) =（m 2 2m 8）+ (m2 3m 4) i .
(1)当 m2 3m 4 = 0 时，复数 z 为实数， 即 m = 1 或 m = 4 时，z 为实数；
(2) m2 3m 4 ≠ 0 (m +1)(m 4) ≠ 0 m ≠ 1且m ≠ 4 ,
即当 m ≠ 1且 m ≠ 4 时，z 为虚数.
m2 2m 8 = 0 (m + 2)(m 4) = 0 m = 2或m = 4 (3) 当 时，化简即 2 .
m 3m 4 ≠ 0 (m +1)(m 4) ≠ 0 m ≠ 1且 m ≠ 4
即 m = 2 时，z 为纯虚数.
m2 2m 8 = 0 (m + 2)(m 4) = 0 m = 2或m = 4 (4) 当 ，化简即 ，
m2 3m 4 = 0 (m +1)(m 4) = 0
m = 1或 m = 4
即 m = 4 时，z 为零．
点评：根据复数的概念，对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实
数 0；当 b≠ 0 时，是虚数；当 a=0 且 b≠ 0 时，是纯虚数．在解答过程中，应分清两复数的实部与虚部，
然后让根据要求列方程组求解．
21
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 11 练 §3.2 复数的概念与四则运算
※基础达标
1．(a+bi)(a bi)( a+bi)( a bi)等于（ ）．
A．(a 2+ b 2) 2 B．(a 2 b 2) 2 C．a2 + b 2 D．a 2 b 2
2．设复数 z =1+ 2i ，则 z2 2 z 的值为（ ）．
A． 3 B．3 C． 3i D．3i
3． (1 + i ) 2008 =（ ）．
1 i
A．1 B．i C． 1 D． i
4．已知复数 z 满足 z= |z| ，则 z 的实部（ ）．
A．不小于 0 B．不大于 0 C．大于 0 D．小于 0
5．两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2 都是实数且 z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一
直线上的充要条件是（ ）．
b b b b
A． 1 2 = 1 B． a1a2 + b1b2 = 0 C． 1 = 2 D． a1b2 = aa a a a 2
b1
1 2 1 2
6 1． =
i ______ , (1± i )
2 = ______ , 1+ i =1 i ______ ,
1 i
=
1 i ______ ． +
7．已知复数 z1=3+4i，z2=t+i，且 z1 z 2 是实数，则实数 t 等于___________．
※能力提高
a 0, z a i u z z i 3 ８．已知 > = ,复数 = （ + ）的 虚部减去它的实部所得的差等于 ，求实数 a 的值．
1 i 2
4
９．求复数Z ，使 Z + 为实数，且 Z 2 = 2 ．
Z
※探究创新
10．若复数 2 + 3i 是实系数方程 ax2 + bx +1= 0 的一根，求实数 a、b的值.
22
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第三章 数系的扩充与复数的引入
第 12 讲 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习
¤学习目标：理解并掌握复数的基本概念，了解复数的代数表示法及其几何意义，通过用其代数表
示法和几何意义的学习，体会复数与向量之间的关系. 在数系扩充的过程中体会加减乘除运算的合理性，
能进行复数代数形式的加减运算和其几何意义，掌握复数的代数形式的乘法、除法的运算法则及其几何
意义，解决复数的运算问题．
¤例题精讲：
【例 1】已知 M={1， (m2 2m) + (m2 + m 2) i }，P={ 1，1，4i}，若M∪P=P，求实数 m 的值.
解：由 M∪P=P 知 M P，
∴ (m2 2m) + (m2 + m 2)i = 1 (或 (m2 2m) + (m2 + m 2)i = 4 i )
2
当 (m2 2m) + (m2
m 2m = 1 m = 1
+ m 2)i = 1 时， 2 ，解得 m=1；
m + m 2 = 0 m =1或 m = 2
2 2 m
2 2m = 0 m = 0或m = 2
当 (m 2m) + (m + m 2)i = 4 i 时， ，解得 m=2．
m2 + m 2 = 4 i m = 2或 m = 3
所以实数 m的值为 1 或 2．
点评：复数与集合结合的运用．清楚集合的关系及运算 A∩ B = A A B A∪ B = B ，并结合复
数相等的条件，a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d，即实部和虚部分别相等，建立方程组求解，
求解过程切记不要漏解或多解．
【例 2 z 】已知 z 是复数，z+2i、 均为实数，且复数 (z + ai ) 2 在复平面上对应的点在第一象限，求
2 i
实数 a 的取值范围.
解：根据题意，设复数 z=c+di,
则 z+2i=c+(d+2)i 为实数，即 d + 2 = 0,解得d = 2 ,解得 所以 z = c 2i .
z c 2i 2c + 2 + (c 4) i c 4 又 = = 为实数，即 = 0,解得 c = 4,所以 z = 4 2i .
2 i 2 i 5 5
而 (z + ai)2 = (4 2i + ai)2 =16 (2 a)2 8(2 a)i 对应的点在第一象限，
1 6 (2 a )2 > 0 2 < a < 6
∴ , 解得 2
所以实数 a 的取值范围是 2
各种转化的条件（实数，虚数，纯虚数的满足条件）．
【例 3】已 知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是1+ 2i, 2 + i, 1 2i ，求 第四个顶点所对
应的复数.
解：设第四个顶点对应的复数是 z=a+bi ,令 z1 =1+ 2i, z2 = 2 + i, z3 = 1 2i ，
uuur uuuur
根据平行四边形法则或三角形法则，有 z3z = z2z1 ，
即 (a + bi) ( 1 2i) = (1+ 2i) ( 2 + i ) ，∴ a + bi = 2 i .
∴所求第四个顶点对应的复数为 z = 2 i .
点评：复数与向量的关系．复数集和复平面内所有的点所成的集合一一对应；复数集和复平面内的
向量所成的集合也是一一对应的．复数的几何意义体现了数形结合的思想，可把许多问题求解得很精彩，
知识之间的内在联系越来越密切.
【例 4】已知方程 x2 + 4x + a = 0 (a∈R)的一个根为 x1 = 2 + i ，求 a 的值和方程的另一个根.
解：由已知条件得到， x1 = 2 + i 为方程 x2 + 4x + a = 0 的一个根，
∴ ( 2 + i)2 + 4( 2 + i) + a = 0 , 化简得 a=5,
4 ± 4 i 2
∴方程为 x2 + 4x + 5 = 0 , 解得： x = = 2 ± i ，
2
∴方程的另一个根为 2 i .
点评：复数与二次函数的结合．理解二次函数的根，方程的根也就是说根满足方程，理解之间的关
系，灵活运用在解题过程. 将二次函数求根的结果从实数扩充到复数的范围，体现本章的思想．
23
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— 精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 第三章 数系的扩充与复数的引入 复习
※基础达标
1．复数 Z = (a2 2a) + (a2 a 2)i 对应的点在虚轴上，则（ ）．
A． a ≠ 2 或 a ≠ 1 B ． a ≠ 2 且 a ≠ 1 C ． a = 2 或 a = 0 D． a = 0
2 2 + i ． 的值是（ ）．
1+ 2i
A． 4 + i B 4 3 ． + i C．i D．－i
5 5 5
3．（ 07 年安徽卷.理 4）若 a 2 + ai 为实数， ＝ 2 i，则 a 等于（ ）.
1+ 2i
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 2
4 Z Z 10 ．若复数Ｚ满足 = , 则Ｚ等于（ ）．
1 2i
A． 3+ 4i B． 3 4i C．3 4i D．3 + 4i
5．设 f (Z ) =1 Z ,Z1 = 2 + 3i,Z2 = 5 i , 则 f (Z1 Z 2 ) = （ ）．
A． 4 4i B．4 + 4i C．4 4i D． 4 + 4i
uuur uuur uuur
6．在 ABC 中， AB, AC 对应的复数分别为 1+ 2i, 2 3i , 则 BC 对应的复数为 .
4n 4 n
7 n 1+ i 1 i ． 是奇数，则 + = _______ ．
2 2
※能力提高
1 i 2 + 3(1+ i )
8．已知复数 Z ( ) = , 若 Z 2 + aZ + b =1 i , 求实数 a, b的值．
2 i
9 z ．把复数 z的共轭复数记为 z ，若 (1+ 2i)z = 4 + 3i ，求 z 及 .
z
※探究创新
10．已知关于 x的实系数方程 x2 2ax + a2 4a + 4 = 0 的两根分别为 x1, x2 , 且 x1 + x2 = 3 ，求 a的值．
24
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 13 讲 §4.1 流程图
¤学习目标：通过具体实例进一步认识程序框图；了解工序流程图，能绘制简单实际问题的流程图，
体会流程图在解决实际问题中的作用. 运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、流程图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出流程图.
¤例题精讲：
【例 1】两个形状一样的杯子里分别装有红葡萄酒和白葡萄酒. 现在要将这两个杯子里所装的酒对调，
试画出流程图．
解：设装红葡萄酒的杯子为 A，装白葡萄酒的杯子为 B，为使两种酒能够对调，需要有一空杯，设
为 C，将 A中所盛之物注入 C 内，记为 A→C，于是流程图如下：→A→C→B→A→C→B
点评：简单的工序流程图，根据题目要求画出即可．
【例 2】设计一个程序框图，判断 2000 年 2500 年中，哪些年份是闰年，哪些年份不是闰年，并输
出结果．
解：如图所示
点评：根据题目要求写出程序流程图，题目难度稍大，必须按部就班，先设计好算法再画出图形，
同时该题目设计很多判断，注意安放的位置．
【例 3】图书馆一般用类似下面的图示说明图书借阅流程图．
解：
入库 找书 阅览 借书 出库 还书
点评：与生活相结合的简单应用，授课过程可以由学生自己完成．
【例 4】请利用梯形的面积公式计算上底为 2，下底为 4，高为 5 的梯形面积，设计出该问题的算
法及程序框图.
解： 程序框图如下， 开始
算法如下
1、 a=2，b=4，h=5； a=2，b=4，h=5
2 1 、 S = (a + b) h ；
2 S = 1/ 2(a + b) h
3、 3、输出 S
输 出
点评：流程图与图形面积公式相结合，先设计好算法再画出图形． 结束
25
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §４.1 流程图
1．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请
查分：（１）本人填写<<查分登记表>>，交县（区）招办申请查分，县（区）招办呈交市招办，再报省招
办；（２）省招办复查，无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束
后通知；（３）市招办接通知，再由县（区）招办通知考生．请画出该事件流程图．
2．请根据以下程序流程图说明它解决的是什么问题并写出计算机程序．
开始
输入 x
是 否
x>0
输出 x 输出－x
结束
３．某市环境保护局信访工作流程如下：（１）法制科受理来访，一般信访填单转办，重大信访报局长
批示；（２）及时转送有关部门办理，督办，如特殊情况不能按期办毕，批准后可延办，办毕反馈；（３）
信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．请据上给出该局信访工作流程图．
26
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 14 讲 §4.２ 结构图
¤学习目标：通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息，理
解流程图和结构图的特征，掌握结构图的画法，用结构图去掌握知识，从中体验用结构图的优越性．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、结构图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出结构图.
¤例题精讲：
【例 1】填空：如果说流程图从 角度描述各系统各部分之间的关系，结构图则是从
描述各系统各部分之间的关系．
解：动态；静态．
【例 2】设计一个结构图有关你学校的学生会的组织结构
解：
学生会
学习部 生活部 宣传部 文艺部 体育部 宿检部 广播部
点评：组织结构图一般呈＂树＂型结构，可采用从上到下或从左到右顺序绘制，注意各单元要素之
间的关系，注重美观，简洁．
【例 3】下图是某公司的组织结构图.
解：
总经理
总工程师 专家办公室
咨询 监理 信 息 开发 财务 后勤 编辑
点评：组织结构图一般呈＂树＂型结构，可采用从上到下或从左到右顺序绘制，注意各单元要素之
间的关系，注重美观，简洁．
【例４】写出数学“不等式”的知识结构图.
解：
两个实数的大小比较
一元二次不等式的解法 不等式的实际应用
不等关系
二元一次不等式（组）表
简单的线性规划
示的平面区域
不等式的基本性质
均值不等式及其应用
点评：该题与前两例有点不同，采用从左到右顺序绘制，但本质是一样的．
27
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §４.1 结构图
1．某型电脑由以下设备与主机相连，外存储器（磁盘驱动器和磁带机）、打印机、显示器、键盘、
游戏杆，试画出该型电脑的结构图．
2．某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、
教科室、保卫刻、政教科、总务处，各科室共同管理和服务各班级. 试画出该校的行政组织结构图．
３．某地行政服务中心办公分布结构如下：（１）服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公
室、综合业务处、督察投诉中心，三部门在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：（2）二楼：公安局、
民政局、财政局；（3）三楼：工商、地税、国税、技监、交通局；（4）四楼：城建局、人防办、计生局、
规划局；（5）五楼：其余部门办理窗口．请绘制该中心结构图．
28
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——精讲 第四章 框图
第 15 讲 框图 复习
¤学习目标：通过具体实例进一步认识程序框图；了解工序流程图，能绘制简单实际问题的流程图，
运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息，体会流程图解决实际问题中的作用．
¤知识要点：
1、算法与程序框图；
2、流程图与结构图的有关概念及其运用的领域；
3、根据实例画出流程图与结构图.
¤例题精讲：
【例 1】商家生产一种产品，需要先进行市场调研，计划对北京、上海、广州三地市场进行市场调研，
待研究结束后决定生产的产品数量. 请画出一下方案的流程图，并比较哪个更好？
方案一 派出调研人员赴北京、上海、广州调研，待调研人员回来后决定生产数量．
方案二 商场如战场！抓紧时间搞好调研，然后进行生产. 调研为此项目的瓶颈，因此需要添加力量，
齐头并进（即平行工序）搞调研，以便提早结束调研，尽早投产使产品占领市场．
解：方案一，立项→北京调研→上海调研→广州调研→投产
→ 北京调研
方案二， 立项 → → 上海调研 → 投资
→
广州调研
通过方案一和方案二的比较可以发现，方案二较方案一更为可取
点评：流程图的运用，与实际生活相联系，画之前，先将上述流程分解若干比较明确的步揍，并确
定这些步骤之间的关系．
【例 2】画出解关于 x 的不等式，ax+b<0(a,b∈R)的流程图
解：
点评：根据题目要求写出程序流程图，题目难度稍大，必须按部就班，先设计好算法再画出图形，
同时该题目设计很多判断，注意安放的位置．
【例３】试画出你学校的课程安排结构图．
点评：与生活相结合的简单应用，授课过程可以由学生自己完成
【例４】一名中学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来搽地或者浇
花，洗衣服的水留下冲卫生间. 这样全家一个月节省水费 10 多元，一年就节约 120 元. 你想知道这名中
学生是如何去做的吗？完整下表
（1） 擦地、浇花用水
自来水
洗、涮用 （2）
水
解：（1）洗菜、淘米水；（2）冲洗厕所
点评：与生活相结合的简单应用，题目较简单，审清读懂，按照题目结构图去展开内容．
29
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 框图 复习
※基础达标
1．据二分法原理求方程 x 2 2=0得到的程序框图可称为（ ）．
A．工序流程图 B．程序流程图 C．知识结构图 D．组织结构图
2．读下面程序框图，说明输出结果（ ）．
A．1 B．3 C．4 D．6
工序 a b c d e f
开始
紧前工 — — a,b c c d,e
a=1 2
C 序
4
A 3 工时数 2 3 2 5 4 1
b=a+3
3 （天）
5 3
B (第 4 题）
输出 b D
4 i=1 i=i+1
4 n=i^3 n=i^3
结束 （第 3 题） WHILE n<10^4 WEND 第（7）题
PRINT n (续右框) END
（第 2 题）
3．如上图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连结表示它们有网线相连. 相连接标注的数字表示
该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同路程
线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）．
A．11 B．10 C．8 D．7
4．如上图，某工程由下列工序组成，则工程总时数为（ ）．
Ａ．11 Ｂ． 10 Ｃ．9 Ｄ． 8
5．流程图一般按照 、 的顺序来画出．
6．在组织结构图中，一般采用 形结构绘制，直观，容易理解，被应用于很多领域．
7．如上图，该程序说明 ．
※能力提高
8．某自动化仪表公司组织结构图如下：（１）董事会下设总经理，（2）总经理分管甲、乙两副总经
理、办公室、财务部、开发部；（3）副总甲负责销售部，副总乙负责生产部、品管部、采购部、而品管
部又下设三个车间. 请绘出该公司组织结构图．
9．某大学远程教育学院网上学习流程如下：（1）学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到，交费
注册，领取网上学习注册码；（2）网上选课，课程学习，完成网上平时作业，获得平时作业成绩；（3）
预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得学分，否则重修．试画出该
远程教育学院网上学习流程图．
※探究创新
10．北京获得了 2008 年第 29 届奥林匹克运动会主办权，国际奥委会是通过对遴选出的 5 个申办城
市进行表决定主办权的．表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果一个城市得票超过总票数的一
半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市
淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止，请设计一个算法表述上述过程，并画出程序流
程图．
30
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
《统计案例》单元测试
选修 1 2 第一章 选修 2 3 第三章
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60分）
1. 工人月工资（ 元）依 劳动生产率（ 千元）变 化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下 列判断正确的是（ ）.
A. 劳动生产率为 1000元时，工资为 50 元
B. 劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150元
C. 劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 90 元
D. 劳动生产率为 1000元时，工资为 90 元
2. 在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ）.
A. 总偏差平方和 B. 残差平方和 C. 回归平方和 D. 相关指数 R2
3. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）.
A. $y =1.23x＋4 B. $y =1.23x+5 C. $y =1.23x+0.08 D. $y =0.08x+1.23
4. 在两个变量 y与 x的回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，它们的相关指数 R 2 如下，其中拟合效
果最好的模型是（ ）
A. 模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2的相关指数 R2 为 0.80
C. 模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D. 模型 4的相关指数 R 2 为 0.25
5. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点（ ）.
A.（2，2） B. （1.5，0） C.（1，2） D. （1.5，4）
6. 相关系数 r 可用来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，其计算公式为：
n
∑ ( xi x)( yi y )
r = i =1 ，则以下正确的命题是（ ）.
n 2 n
∑ ( xi x) ∑ ( yi y ) 2
i=1 i =1
A. r 只能取正值
B. r 可以取任意实数
C. r 只有大于 0.75时才认为两个变量有很强的线性相关关系
D. r 大于 0.75时才认为两个变量有很强的线性相关关系
7. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两
个变量有关系的可能性就（ ）.
A. 越大 B. 越小 C. 无法判断 D. 以上都不对
8. 利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y是否有关系时，通 过查阅下表来确定断言“ X 和 Y有关系”
的可信度. 如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y有关系”的百分比为（ ）.
P(k2 > k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
A. 25％ B. 75％ C. 2.5％ D. 97.5％ y
9. 如图所示，有５组 (x, y ) 数据，去掉其中一组后，剩下的４组数据的线性相关 (10,12) (3,10)
系数最大，则应去掉的一组数据所对应的点是（ ）.
A. (3,10) B. (4,5) C. (10,12) D. (1,2) (2,4)( 4,5)
(1,2)
31 O x
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —单元测试 月 日 : ~ : 自评 分
10. 考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，则（ ）.
A. 种子经过处理跟是否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关
C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的
11. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
性别 专业 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
50× (13× 20 10× 7) 2
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到 k = ≈ 4.844 ，
23× 27× 20× 30
因为 K 2 ≥ 3.841 ，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）.
A. 2.5％ B. 5％ C. 10％ D. 15％
12. 假设关于某设备的使用年限 x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知 y对 x 呈线性相关关系，则线性回归方程为（ ）.
A. $y = 0.08x 1.23 B. $y = 0.08x + 1.23 C. $y =1.23x 0.08 D. $y =1.23x + 0.08
二、填空题（每小题 4 分，共 4 小题，共 16 分）
13. 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R 2 ≈ ______________，可以叙述为“身高解释了 64%的
体重变化，而随机误差贡献了剩余的 36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多.
14. 若有一组数据的总偏差平方和为 100，相关指数为 0.5，则其残差平方和为_________.
15. 若由一个 2*2 列联表中的数据计算得 k2 = 4.013,那么有 把握认为两个变量有关系.
5 5 5 5
16. 在求两个变量 x和 y的线性回归方程过程中, 计算得 ∑ xi =25, ∑ y 2 i =250, ∑ xi =145, ∑ xi y i =1380,
i =1 i =1 i =1 i =1
则该回归方程是 .
三、解答题（前 5 小题每题 12 分，最后 1 小题 14 分，共 74 分）
17．某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取 100 件产品，检验后
得到如下联表：
生产线与产品合格率列联表
合格 不合格 总计
甲线 97 3 100
乙线 95 5 100
总计 192 8 200
请问甲、乙两线生产的产品合格率在多大程度上有关系？
32
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
18．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据：
时间 t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120
深度 （y μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
（1）画出散点图；
（2）求腐蚀深度 y 对腐蚀时间 t 的回归直线方程.
19．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服用药的共有
55 个样本，服用药但患病的仍有 10 个样本，没有服用药且未患病的有 30个样本.
（1）根据所给样本数据画出 2×2 列联表；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
20．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据：
年份 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.3
试估计1998年我国居民生活污水排放量，并预测 2006年生活污水排放量（单位： 108 t ）．
33
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》— —单元测试 月 日 : ~ : 自评 分
21．某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机地调查了 1000人，通过对学习的测评
和生理的检查，统计结果为：生理不健康有 78 人，在不健康人群中，成绩优秀的有 37 人，在健康人群
中，成绩优秀的有 296 人. 分别利用相关的统计分析方法判断高中生学习状况与生理健康是否有关系？
22．为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数 x/天 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 y/个 6 12 25 49 95 190
(1) 用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2) 描述解释变量与预报变量之间的关系；
（3）计算残差、相关指数 R 2.
34
《新课标高中数学选修 1 2 & 2 2 & 2 3精讲精练》——单元测试
《推理与证明》单元测试
选修 1 2 第二章 选修 2 2 第二章
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后
的括号内（每小题 5分，共 50分）．
1．已知α∩β＝l，a α、b β，若 a、b 为异面直线，则（ ）.
A． a、b 都与 l 相交 B． a、b 中至少一条与 l相交
C． a、b 中至多有一条与 l 相交 D． a、b都与 l 相交
2．用反证法证明命题“如果 a > b ，那么 3 a > 3 b ”时，假设的内容应是（ ）.
A. 3 a = 3 b B. 3 a < 3 b
C. 3 a = 3 b , 或 3 a < 3 b D. 3 a = 3 b , 且 3 a < 3 b
3. 已知 a i , bi ∈ R , (i = 1, 2, 3 , ....n ) a
2 2 2 2 2
， 1 + a 2 + ..... + a n = 1 ， b1 + b2 + ..... + b
2
n = 1 ，则
a1 b 1 + a 2 b2 + ..... + a n b n 的最大值为（ ）.
A．1 B．2 C． n 2 D． 2 n
4. 下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）.
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果 ∠A 和 ∠ B 是两条平行直线的同旁内角，则 ∠A + ∠B =180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
C．某校高三共有 10 个班，1 班有 51 人，2 班有 53人，3 班有 52 人，由此推测各班都超过 50 人
1 1
D．在数列{ an } 中， a1 =1, an = （a + ）（ n ≥ 2） ， 由此归纳出{ a } 的通项公式 2 n 1 a n n 1
5．函数 f (x ) 由下表定义：
x 1 2 3 4 5
f (x ) 4 1 3 5 2
若 a1 = 2 ， an+1 = f (an ) ， n = 1,2,3,L ，则 a2 008 = （ ）.
A．5 B．4 C．3 D．1
6．下面使用类比推理正确的是 （ ）.
A.“若 a 3 = b 3 ,则 a = b ”类推出“若 a 0 = b 0 ,则 a = b ”
B.“若 (a + b)c = ac + bc ”类推出“ (a b) c = ac bc ”
(a b)c ac bc a + b a b C.“若 + = + ” 类推出“ = + （c≠0）”
c c c
D.“（ ab）n = anb n ” 类推出“（ a + b）n = an + b n ”
7．在平面几何里，有勾股定理：“ 设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2 + AC2 = BC 2” 拓展到空间，
类比平面几何的勾股定理，“ 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可
得”（ ）
A．AB 2+ AC 2+ AD 2= BC2 +CD 2 +BD2 B S 2 × S 2 × S 2 = S 2 ． A BC A CD ADB BCD
C S 2 2 2 2 ． 2 2 2 2 2 2 ABC + S ACD + S A DB = S B CD D．AB ×AC ×AD =BC ×CD ×BD
8．已知函数 f ( x ) = 2 x 2 + mx + n ，则 f (1 ) 、 f ( 2 ) 、 f (3 ) 与 1