11.3.1多边形 教案 人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 11.3.1多边形 教案 人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 907.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-21 19:41:58 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
·11.3多边形及其内角和·
第一课时 多边形
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在前几节课学习了三角形的有关概念，这位本节课的教学打下了基础.多边形是以三角形为基础，类比三角形得出多边形的有关概念.与三角形相比，本课新增一个对角线的概念，但不难理解，因此学生可以轻松掌握本课重点.
二、教学目标
1.了解多边形的定义及其相关概念；
2.了解正多边形的概念及基本性质；
3.体会用类比的方法学习数学知识.
三、重点难点
【教学重点】
多边形内角、外角、对角线等概念及正多边形的性质.
【教学难点】
多边形点、线的数量规律.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
问题1：观察下列图片，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
学生积极发言，指出图中有四边形、五边形、六边形、八边形等.
教师引导学生回顾：什么叫三角形
生：由三条线段首尾顺次连接而成的图形叫做三角形.
教师追问：什么叫多边形？
学生进行思考，教师揭示课题：本节课我们一起来学习——多边形.
设计意图：通过图片赏析，引导学生找出图中所含有的多边形，为定义中“在同一平面内”作铺垫.同时，提出三角形的概念，以此引出课题，引导学生有类比思想.
第二环节 【合作交流 探索新知】
教师提出：类比三角形的定义，你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？
在平面内，由不在同一直线上的 四条（五条、一些） 线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 四（五、多） 边形.
师：小组内交流关于多边形的定义是否正确？
学生组内讨论，积极发言.
在多边形的概念中，教师强调要分清以下几个方面：
（1）在平面内；（2）首尾顺次相接；（3）组成的封闭图形.
师：我们可以类比三角形的概念得出多边形的概念，那么能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称是什么？
师生针对不同要素分开类比：
三角形的内角
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角.如图中的∠A、∠B、∠C.
多边形的内角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.如：五边形ABCDE的内角有∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 共 5 个.
三角形的外角
三角形一边与另一边的延长线组成的角.如∠1就是△ABC的一个外角.
多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如：∠2是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图中的线段AC、AD.
教师提出：五边形ABCD共有几条对角线？请画出它的其他对角线.
学生在练习本中画出，并回答到有5条.
教师展示课件：
画出多边形任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同侧，那么这个多边形叫做凸多边形.如图1叫做凸四边形.
师：请判断图2是不是凸四边形，并说明理由.
生：在图2中，四边形ABCD不是凸四边形，因为四边形ABCD不在边CD(或BC)所在直线的同一侧.
师：在本节中，我们讨论的多边形均为凸多边形.
教师展示课件并提出问题：观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？
教师引导学生观察图形，发现，这些多边形的各个角都相等、各条边都相等.
以此给出正多边形的概念：
在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形.
教师引导学生仔细研读多边形的定义，提出：判断一个多边形是正多边形必须同时满足定义中的哪两个条件？
学生思考并回答：
（1）各个角都相等
（2）各条边都相等
教师提出，这两个条件，缺一不可，并举出反例.
例如：长方形的四个角相等，但它不是正多边形；
菱形的四条边相等，它也不是正多边形.
设计意图：本环节主要是通过三角形的有关概念类比得到多边形的有关概念，培养学生的类比思想.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
画出下列多边形的全部对角线.
例2.在多边形中，多边形的边数与对角线条数，多边形的边数与对角线所分成三角形的个数，都存在数量规律，你能探究出这个规律吗？
例3.如图，在正方形ABCD中，你能用不同的方法将正方形面积四等分吗？
设计意图：运用多边形的概念解决问题，让学生对新知识掌握更加牢固.
【答案】
例1.如图所示：
例2.
例3.（答案不唯一）
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列说法正确的是（ ）
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．各角都相等的多边形是正多边形
C．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
D．一个n边形(n＞3)有n条边，n个内角， 条对角线
2.下列属于正多边形的是（ ）
A．直角三角形 B．正方形
C．长方形 D．五边都相等的五边形
3.（2019春 道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ）
4.一个n边形有 个顶点， 条边， 个 内角， 个外角．
5.已知一个多边形从一个顶点处只能引出4条对角线，则它是（ ）
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
设计意图：本环节在于落实基础，巩固学生对概念的理解.
【答案】
C 2.B 3.A 4.n，n，n，2n 5.C
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019 河北）下列图形为正多边形的是（ ）
2.（2019春 文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知一个多边形的一个顶点所画出的全部对角线把它分成7个三角形，则它的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.八边形的对角线有（ ）
A．5条 B．15条
C．20条 D．24条
5.（2019秋 海淀区期末）如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．
6.如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为 .
7.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的.②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依次类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 .
8.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_______．
9.已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长.
10.（2019秋 广州期中）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线条数是边数的，求m-n+k的值.
设计意图：通过本环节的练习，丰富学生解题经验，深化学生对知识的运用.
【答案】
D 2.D 3.C 4.C
小，三角形的两边之和大于第三边.
48 7.n(n+1) 8.n2+2n
这个正多边形的边长为8.
10解得m=10，n=3，k=6，∴m-n+k=13.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.某学校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班进行一场比赛），求一共需进行多少场比赛？
2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图①)，其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点.(如图①)求证：S△OBC S△OAD=S△OAB S△OCD；
（2）在三角形中(如图②)，你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明；若不能，说明理由．
设计意图：本环节习题难度较高，考察学生能否灵活应用本课知识对综合问题进行求解，展现教学有梯度的理念.
【答案】
1.如图所示：
由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，共需比赛(场).
2.（1）分别过点A、C，作AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB =BO·AE，
S△COD =DO·CF，
S△AOD = DO·AE，
S△BOC =BO·CF，
∴ S△AOB·S△COD =BO·DO·AE·CF，
S△AOD·S△BOC =BO·DO·CF·AE，
∴ S△AOB·S△COD = S△AOD·S△BOC.
（2）能.从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连接线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等.或S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证： S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
证明：分别过点A、C，作AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有S△AOD =DO·AE，S△BOC =BO·CF，
S△OAB =OB·AE，S△DOC =OD·CF，
∴ S△AOD·S△BOC =OB·OD·AE·CF，
S△OAB·S△DOC =BO·DO·AE·CF，
∴ S△AOD·S△BOC = S△OAB·S△DOC.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
3.多边形的边与它的邻边的延长线 组成的角叫做多边形的外角.
4.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
5. 各个角相等、各条边相等的多边形叫正多边形.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·11.3多边形及其内角和·
第一课时 多边形
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生在前几节课学习了三角形的有关概念，这位本节课的教学打下了基础.多边形是以三角形为基础，类比三角形得出多边形的有关概念.与三角形相比，本课新增一个对角线的概念，但不难理解，因此学生可以轻松掌握本课重点.
二、教学目标
1.了解多边形的定义及其相关概念；
2.了解正多边形的概念及基本性质；
3.体会用类比的方法学习数学知识.
三、重点难点
【教学重点】
多边形内角、外角、对角线等概念及正多边形的性质.
【教学难点】
多边形点、线的数量规律.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
问题1：观察下列图片，你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
学生积极发言，指出图中有四边形、五边形、六边形、八边形等.
教师引导学生回顾：什么叫三角形
生：由三条线段首尾顺次连接而成的图形叫做三角形.
教师追问：什么叫多边形？
学生进行思考，教师揭示课题：本节课我们一起来学习——多边形.
设计意图：通过图片赏析，引导学生找出图中所含有的多边形，为定义中“在同一平面内”作铺垫.同时，提出三角形的概念，以此引出课题，引导学生有类比思想.
第二环节 【合作交流 探索新知】
教师提出：类比三角形的定义，你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？
在平面内，由不在同一直线上的 四条（五条、一些） 线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 四（五、多） 边形.
师：小组内交流关于多边形的定义是否正确？
学生组内讨论，积极发言.
在多边形的概念中，教师强调要分清以下几个方面：
（1）在平面内；（2）首尾顺次相接；（3）组成的封闭图形.
师：我们可以类比三角形的概念得出多边形的概念，那么能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称是什么？
师生针对不同要素分开类比：
三角形的内角
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角.如图中的∠A、∠B、∠C.
多边形的内角
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.如：五边形ABCDE的内角有∠A、∠B、∠C、∠D、∠E 共 5 个.
三角形的外角
三角形一边与另一边的延长线组成的角.如∠1就是△ABC的一个外角.
多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如：∠2是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图中的线段AC、AD.
教师提出：五边形ABCD共有几条对角线？请画出它的其他对角线.
学生在练习本中画出，并回答到有5条.
教师展示课件：
画出多边形任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同侧，那么这个多边形叫做凸多边形.如图1叫做凸四边形.
师：请判断图2是不是凸四边形，并说明理由.
生：在图2中，四边形ABCD不是凸四边形，因为四边形ABCD不在边CD(或BC)所在直线的同一侧.
师：在本节中，我们讨论的多边形均为凸多边形.
教师展示课件并提出问题：观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？
教师引导学生观察图形，发现，这些多边形的各个角都相等、各条边都相等.
以此给出正多边形的概念：
在平面内，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形.
教师引导学生仔细研读多边形的定义，提出：判断一个多边形是正多边形必须同时满足定义中的哪两个条件？
学生思考并回答：
（1）各个角都相等
（2）各条边都相等
教师提出，这两个条件，缺一不可，并举出反例.
例如：长方形的四个角相等，但它不是正多边形；
菱形的四条边相等，它也不是正多边形.
设计意图：本环节主要是通过三角形的有关概念类比得到多边形的有关概念，培养学生的类比思想.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
画出下列多边形的全部对角线.
例2.在多边形中，多边形的边数与对角线条数，多边形的边数与对角线所分成三角形的个数，都存在数量规律，你能探究出这个规律吗？
例3.如图，在正方形ABCD中，你能用不同的方法将正方形面积四等分吗？
设计意图：运用多边形的概念解决问题，让学生对新知识掌握更加牢固.
【答案】
例1.如图所示：
例2.
例3.（答案不唯一）
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.下列说法正确的是（ ）
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．各角都相等的多边形是正多边形
C．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
D．一个n边形(n＞3)有n条边，n个内角， 条对角线
2.下列属于正多边形的是（ ）
A．直角三角形 B．正方形
C．长方形 D．五边都相等的五边形
3.（2019春 道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（ ）
4.一个n边形有 个顶点， 条边， 个 内角， 个外角．
5.已知一个多边形从一个顶点处只能引出4条对角线，则它是（ ）
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
设计意图：本环节在于落实基础，巩固学生对概念的理解.
【答案】
C 2.B 3.A 4.n，n，n，2n 5.C
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019 河北）下列图形为正多边形的是（ ）
2.（2019春 文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知一个多边形的一个顶点所画出的全部对角线把它分成7个三角形，则它的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.八边形的对角线有（ ）
A．5条 B．15条
C．20条 D．24条
5.（2019秋 海淀区期末）如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长一定比原五边形的周长 （填：大或小），理由为 ．
6.如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为 .
7.如图所示，①中多边形是由正三角形“扩展”而来的.②中多边形是由正方形“扩展”而来的……依次类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 .
8.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_______．
9.已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长.
10.（2019秋 广州期中）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，过k边形一个顶点的对角线条数是边数的，求m-n+k的值.
设计意图：通过本环节的练习，丰富学生解题经验，深化学生对知识的运用.
【答案】
D 2.D 3.C 4.C
小，三角形的两边之和大于第三边.
48 7.n(n+1) 8.n2+2n
这个正多边形的边长为8.
10解得m=10，n=3，k=6，∴m-n+k=13.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.某学校八年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班进行一场比赛），求一共需进行多少场比赛？
2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形(如图①)，其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点.(如图①)求证：S△OBC S△OAD=S△OAB S△OCD；
（2）在三角形中(如图②)，你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明；若不能，说明理由．
设计意图：本环节习题难度较高，考察学生能否灵活应用本课知识对综合问题进行求解，展现教学有梯度的理念.
【答案】
1.如图所示：
由题意可知，比赛的总场数即为六边形的对角线条数加边数，共需比赛(场).
2.（1）分别过点A、C，作AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，则有：S△AOB =BO·AE，
S△COD =DO·CF，
S△AOD = DO·AE，
S△BOC =BO·CF，
∴ S△AOB·S△COD =BO·DO·AE·CF，
S△AOD·S△BOC =BO·DO·CF·AE，
∴ S△AOB·S△COD = S△AOD·S△BOC.
（2）能.从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连接线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等.或S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证： S△AOD·S△BOC = S△AOB·S△DOC.
证明：分别过点A、C，作AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有S△AOD =DO·AE，S△BOC =BO·CF，
S△OAB =OB·AE，S△DOC =OD·CF，
∴ S△AOD·S△BOC =OB·OD·AE·CF，
S△OAB·S△DOC =BO·DO·AE·CF，
∴ S△AOD·S△BOC = S△OAB·S△DOC.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
3.多边形的边与它的邻边的延长线 组成的角叫做多边形的外角.
4.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
5. 各个角相等、各条边相等的多边形叫正多边形.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】