11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教案 人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 教案 人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 563.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-21 19:45:13 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
·11.1与三角形有关的线段·
第二课时 三角形的高、中线与角平分线
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.
二、教学目标
1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义，并会作出这三种重要的线段；
2.了解三角形的高、中线和角平分线的性质，并能应用它解决一些问题.
三、重点难点
【教学重点】
三角形的高、中线和角平分线的性质及应用.
【教学难点】
掌握各种线在三角形中分得的角和线段之间的倍分关系.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
1.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
2.过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗？
教师给出三角形的高的定义：
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
如图，线段AD是边BC上的高.
符号语言：
在△ABC中，
∵ AD⊥BC，∴ AD是△ABC的边BC上的高.
或
在△ABC中，
∵ AD是△ABC的边BC上的高，∴ AD⊥BC.
师生共同探究三角形的三条高之间的关系.
锐角三角形的三条高
教师让学生画一个锐角三角形，并完成下列问题
（1）你能画出这个三角形的另两条高吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
教师提出，如果画的是一个直角三角形，那么他的三条高会有怎样的位置关系呢？
直角边BC上的高是 AB ；
直角边AB上的高是 CB ；
斜边AC上的高是 BD .
通过观察发现，直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
教师提出：
（1）钝角三角形的三条高交于一点吗？
（2）它们所在的直线交于一点吗？
学生通过自己画出钝角三角形的高，得出结论，钝角三角形的高不相交于一点，但三条高所在直线交于一点.
通过对三种类型的三角形进行作高，完成下列表格：
即：三角形的三条高所在直线交于一点.
设计意图：学生在小学时，已经学过三角形的高，因此由难易程度较低的三角形的高进行本课的开始，引导学生用已学的知识发现“新学”的知识，从而培养学生自主探究的能力.
第二环节 【合作交流 探索新知】
活动一：三角形的中线
教师展示课件，给出定义.
在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.
符号语言：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD =BC.
教师提出，学生在刚才练习所画出的三角形中，利用刻度尺画出这个三角形另两条边的中线，有发现了什么？
学生通过实践得出：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.
教师提出，取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这是为什么呢？
学生进行思考，逐渐有重心的概念.教师顺势给出：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
活动二：三角形的角平分线
教师展示课件，给出定义.
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
符号语言：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC.
教师提出，学生在练习本上，利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,有发现了什么
学生通过实践得出：三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部.
为了加深学生印象，教师展示课件，让学生完成填空.
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ABE = ∠CBE = ∠ABC .
∵ CF是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACB = 2 ∠ACF = 2 ∠BCF .
教师提问：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
学生积极回答，教师适当表扬学生，最后总结：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.
设计意图：本环节新学的两种线段，对于学生来说，不难理解，因此可以通过实践、讨论等方式丰富课堂，让学生印象深刻之余还培养了学生的语言表达能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，△ABC中，边BC、AC上的高分别是AD、BE.已知BC = 5 cm，AD = 6 cm，AC = 7 cm，求BE的长度.
例2.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
例3.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
（1）当∠ABC = 60°，∠ACB = 80°时，求∠BOC的度数.
（2）当∠A = 40°时，求∠BOC的度数.
（3）当∠A = x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示).
设计意图：学生刚学习新课知识，通过教师讲解例题 ，总结方法，加深学生对新知识的理解.
【答案】
BE的长度为cm.
S△ABD = S△ADC.
（1）∠BOC=10°；（2）∠BOC=110°；
（3）∠BOC=90°+x.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（ ）
2.（2019 荆门校级月考）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
3.（2019 苍南期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1 =∠2 =∠3 =∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE B．△ADF
C．△ABC D．△ABC，△ADF
4.如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =
∠ =∠ ，
②BE是△ABC的中线，则 = = ，
③CF是△ABC的高，则∠ =∠ =90°．
如图1所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质（ ）
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一
设计意图：本环节为基础练习，适合学生在学习新课之后进行练习，以此巩固知识，同时体现了本课“由易到难”的教学理念.
【答案】
C 2.B 3.D
4.BAD；DAC；BAC；AE；EC；AC；BFC；AFC.
5.D
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019春 侯马市期末）如图，在△ABC中，边BC上的高为（ ）
A．BF B．CF C．BD D．AE
2.（2019秋 涡阳县期中）如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是边BC上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3.（2019春 武侯区校级期中）如图，在△ABC中，∠1 =∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（ ）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
4.（2019秋 石台县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF = CF B．∠C+∠CAD = 90°
C．∠BAF = ∠CAF D．S△ABC = 2S△ABF
5.（2020 碑林区校级四模）若线段AD、AE分别是△ABC的边BC上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AE B．AD＞AE
C．AD≤AE D．AD＜AE
6.已知，如图△ABC中，AD为边BC上的中线，AB = 6 cm， AC = 8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ，面积之差为 ．
7.（2019秋 新昌县期中）在△ABC中，AC = 2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC = ，AB = ．
8.如图所示，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，已知∠BAE = 30°，∠DAC = 20°，求∠B的度数.
9.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC = 4，求△BEF的面积.
10.如图所示，有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，要将这块地按人口比例分给甲、乙、丙三家.若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．
设计意图：通过本环节的练习，可以深化学生对知识的运用，做到回应目标、回应过程、回应课堂的“三回应”原则，同时可以通过反馈情况调整今后的教学.
【答案】
D 2.C 3.C 4.C 5.A
6.2cm；0cm2. 7.48；28.
8.∠B=50°．
9.S△BEF = 1.
10.取AC中点为D，BD中点为E，连接AD，AE.如图，所以甲家分得△ABE，乙家分得△AED，丙家分得△ADC. （答案不唯一）
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
2.已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM的长为h.若点P在△ABC的边BC上，如图①所示，此时， h3 = 0，可得结论h1+h2+h3 = h.当点P在△ABC内或在△ABC外时，如图②③所示，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；不成立h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想.
设计意图：本环节难度较高，综合性较强，展现了教学有弹性、有梯度的理念.
【答案】
1.h=5.
2.如图2，当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC
∴BC·AM =AB·PD+BC·PF+AC·PE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∴ AM = PD+PF+PE，
∴h1+h2+h3=h，当点P在△ABC外时，结论不成立.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
三角形的角平分线、中线、高的比较
相同点：
都是线段；
都从顶点画出；
所在直线都相交于一点.
不同点：
角平分线反映的是角的相等关系；
中线反映的是线段的相等关系；
高反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·11.1与三角形有关的线段·
第二课时 三角形的高、中线与角平分线
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.
二、教学目标
1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义，并会作出这三种重要的线段；
2.了解三角形的高、中线和角平分线的性质，并能应用它解决一些问题.
三、重点难点
【教学重点】
三角形的高、中线和角平分线的性质及应用.
【教学难点】
掌握各种线在三角形中分得的角和线段之间的倍分关系.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
1.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？
2.过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗？
教师给出三角形的高的定义：
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
如图，线段AD是边BC上的高.
符号语言：
在△ABC中，
∵ AD⊥BC，∴ AD是△ABC的边BC上的高.
或
在△ABC中，
∵ AD是△ABC的边BC上的高，∴ AD⊥BC.
师生共同探究三角形的三条高之间的关系.
锐角三角形的三条高
教师让学生画一个锐角三角形，并完成下列问题
（1）你能画出这个三角形的另两条高吗？
（2）这三条高之间有怎样的位置关系？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
教师提出，如果画的是一个直角三角形，那么他的三条高会有怎样的位置关系呢？
直角边BC上的高是 AB ；
直角边AB上的高是 CB ；
斜边AC上的高是 BD .
通过观察发现，直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高
教师提出：
（1）钝角三角形的三条高交于一点吗？
（2）它们所在的直线交于一点吗？
学生通过自己画出钝角三角形的高，得出结论，钝角三角形的高不相交于一点，但三条高所在直线交于一点.
通过对三种类型的三角形进行作高，完成下列表格：
即：三角形的三条高所在直线交于一点.
设计意图：学生在小学时，已经学过三角形的高，因此由难易程度较低的三角形的高进行本课的开始，引导学生用已学的知识发现“新学”的知识，从而培养学生自主探究的能力.
第二环节 【合作交流 探索新知】
活动一：三角形的中线
教师展示课件，给出定义.
在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.
符号语言：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD =BC.
教师提出，学生在刚才练习所画出的三角形中，利用刻度尺画出这个三角形另两条边的中线，有发现了什么？
学生通过实践得出：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.
教师提出，取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这是为什么呢？
学生进行思考，逐渐有重心的概念.教师顺势给出：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
活动二：三角形的角平分线
教师展示课件，给出定义.
在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
符号语言：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC.
教师提出，学生在练习本上，利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,有发现了什么
学生通过实践得出：三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部.
为了加深学生印象，教师展示课件，让学生完成填空.
∵ BE是△ABC的角平分线，
∴ ∠ABE = ∠CBE = ∠ABC .
∵ CF是△ABC的角平分线，
∴ ∠ACB = 2 ∠ACF = 2 ∠BCF .
教师提问：三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
学生积极回答，教师适当表扬学生，最后总结：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线.
设计意图：本环节新学的两种线段，对于学生来说，不难理解，因此可以通过实践、讨论等方式丰富课堂，让学生印象深刻之余还培养了学生的语言表达能力.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.如图，△ABC中，边BC、AC上的高分别是AD、BE.已知BC = 5 cm，AD = 6 cm，AC = 7 cm，求BE的长度.
例2.如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？
例3.如图，已知：△ABC中，BD、CE分别是△ABC的两条角平分线，相交于点O.
（1）当∠ABC = 60°，∠ACB = 80°时，求∠BOC的度数.
（2）当∠A = 40°时，求∠BOC的度数.
（3）当∠A = x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示).
设计意图：学生刚学习新课知识，通过教师讲解例题 ，总结方法，加深学生对新知识的理解.
【答案】
BE的长度为cm.
S△ABD = S△ADC.
（1）∠BOC=10°；（2）∠BOC=110°；
（3）∠BOC=90°+x.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.（2019秋 呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（ ）
2.（2019 荆门校级月考）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
3.（2019 苍南期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1 =∠2 =∠3 =∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE B．△ADF
C．△ABC D．△ABC，△ADF
4.如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =
∠ =∠ ，
②BE是△ABC的中线，则 = = ，
③CF是△ABC的高，则∠ =∠ =90°．
如图1所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质（ ）
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一
设计意图：本环节为基础练习，适合学生在学习新课之后进行练习，以此巩固知识，同时体现了本课“由易到难”的教学理念.
【答案】
C 2.B 3.D
4.BAD；DAC；BAC；AE；EC；AC；BFC；AFC.
5.D
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2019春 侯马市期末）如图，在△ABC中，边BC上的高为（ ）
A．BF B．CF C．BD D．AE
2.（2019秋 涡阳县期中）如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是边BC上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3.（2019春 武侯区校级期中）如图，在△ABC中，∠1 =∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（ ）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
4.（2019秋 石台县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF = CF B．∠C+∠CAD = 90°
C．∠BAF = ∠CAF D．S△ABC = 2S△ABF
5.（2020 碑林区校级四模）若线段AD、AE分别是△ABC的边BC上的中线和高线，则（ ）
A．AD≥AE B．AD＞AE
C．AD≤AE D．AD＜AE
6.已知，如图△ABC中，AD为边BC上的中线，AB = 6 cm， AC = 8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 ，面积之差为 ．
7.（2019秋 新昌县期中）在△ABC中，AC = 2BC，边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，则AC = ，AB = ．
8.如图所示，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC，已知∠BAE = 30°，∠DAC = 20°，求∠B的度数.
9.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC = 4，求△BEF的面积.
10.如图所示，有一块肥沃的三角形土地，其中一边与灌渠相邻，要将这块地按人口比例分给甲、乙、丙三家.若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地都与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案．
设计意图：通过本环节的练习，可以深化学生对知识的运用，做到回应目标、回应过程、回应课堂的“三回应”原则，同时可以通过反馈情况调整今后的教学.
【答案】
D 2.C 3.C 4.C 5.A
6.2cm；0cm2. 7.48；28.
8.∠B=50°．
9.S△BEF = 1.
10.取AC中点为D，BD中点为E，连接AD，AE.如图，所以甲家分得△ABE，乙家分得△AED，丙家分得△ADC. （答案不唯一）
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．
2.已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM的长为h.若点P在△ABC的边BC上，如图①所示，此时， h3 = 0，可得结论h1+h2+h3 = h.当点P在△ABC内或在△ABC外时，如图②③所示，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；不成立h1，h2，h3与h之间有怎样的关系？请写出你的猜想.
设计意图：本环节难度较高，综合性较强，展现了教学有弹性、有梯度的理念.
【答案】
1.h=5.
2.如图2，当点P在△ABC内时，结论成立．证明如下：
连接PA，PB，PC
∵S△PAB+S△PAC+S△PBC＝S△ABC
∴BC·AM =AB·PD+BC·PF+AC·PE，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC，∴ AM = PD+PF+PE，
∴h1+h2+h3=h，当点P在△ABC外时，结论不成立.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
三角形的角平分线、中线、高的比较
相同点：
都是线段；
都从顶点画出；
所在直线都相交于一点.
不同点：
角平分线反映的是角的相等关系；
中线反映的是线段的相等关系；
高反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】