4.1 因式分解 讲义（无答案） 北师大版八年级数学下册

4.1 因式分解 （第1课时）讲义 2023--2024学年北师大版八年级数学下册
新课导入：
993–99能被100整除吗？还能被哪些数整除？你是怎么得出来的？
预习填空：
1. 分解因式的概念:把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个
多项式分解因式
2. 分解因式与整式乘法有什么关系？
分解因式是把一个多项式化成 积的关系。
整式的乘法是把整式化成 和的关系，分解因式是整式乘法的逆变形。
计算下面式子并填空：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b+c)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
（5）a(a+1)(a-1)= ．
根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）3x2-3x= ；
（3）m2-16= ；
（4）a3-a= ；
（5）y2-6y+9= ．
想一想：上面两种运算的联系与区别是什么？
区别与联系（重点）：
分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
分解因式的结果要以积的形式表示；
每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
必须分解到每个多项式不能再分解为止．
例1：下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
例2：在下面多项式中，能通过因式分解变形为的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习】
[变式1-1] 已知关于x的二次三项式3x2 +mx-n=(x+3)(3x-5),求m,n的值。
[变式1-2] 已知x-y=2010，
[变式1-3] 当m为何值时，有一个因式为y-4？
【想一想】分解因式都有哪一些方法？
一、提公因式法：
1、一个多项式各项都含有 ____________因式，叫做这个多项式各项的___________
2、公因式是各项系数的________________与各项都含有的字母的__________的积。
3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个__________提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________
4、把首项系数变为正数。
例1：确定下列各式的公因式
（1），，
（2），
（3），
例2：将下列式子填写完整：
（1）—（ ）
（2）—（ ）
（3）—（ ）
提公因式时应注意：
⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；
⑵公因式的系数和字母应分别考虑：
①系数是各项系数的最大公约数；
②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。
[练习2-1]
1.在下面因式分解中，正确的是（ ）
A.
B．
C.
D．
2.用提公因式法分解因式
（1） （2）
（3） （4）
[练习2-2]
利用分解因式简化计算：
如果，求的值
把分解因式
分解因式：
【注】 ⑴观察题目结构特征
⑵对于与的符号有下面的关系：
[变式练习2-3]
1．分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
2. 利用分解因式计算：
3. 解方程：
4.解方程组求：的值.
【当堂检测】
1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列因式分解中正确的是 （ ）
B.
C. D.
3. 把下列各式分解因式:
（1）
（2）
（3）
4. 用提公因式法将下列各式分解因式
（1） (2)
（3） (4)
5. 长，宽分别为，的矩形，周长为14，面积为10，则的值为_________
6. 先分解因式，再计算求值
，其中
7. 三角形三边长，，满足，试判断这个三角形的形状。
【小结】1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变符号。w W .X k b 1. c O m
2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。
3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用
4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致）
【课后练习】
一、选择题。
1．下列因式分解中正确的是（　　）
A．m2+n2＝（m+n）（m﹣n） B．﹣3x﹣6＝﹣3（x﹣2）
C．a2﹣a＝a（a﹣1） D．a2+a+1＝a（a+1）+1
2．把8x2y﹣2xy分解因式（　　）
A．2xy（4x+1） B．2x（4x﹣1） C．xy（8x﹣2） D．2xy（4x﹣1）
3．已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（　　）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
4．已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
二、填空题。
5. 多项式x3y﹣xy的公因式是 　．
6．若ab＝3，a﹣b＝1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　 　．
7．长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为　 　．
8．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　 　．
三、解答题。
9. 已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求ab2﹣a2b的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）已知a+b＝k2﹣2，求非负数k的值．
10. 下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了．
2x2+3x﹣6+＝（x﹣2）（2x+5）．
（1）求被墨水污染的一次式；
（2）若被墨水污染的一次式的值不小于2，求x的取值范围．
11. 阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）；
（2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）．
请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．