11.1.1三角形的边 教案 人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 11.1.1三角形的边 教案 人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-21 19:48:38 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
·11.1与三角形有关的线段·
第一课时 三角形的边
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
对于三角形的概念，学生在前两个学段里已有过接触，但还不够系统.因此本章需要进一步严格定义，让学生能进一步学习三角形，理解其定义，为学习其他平面几何打好基础.
二、教学目标
1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素；
2.理解三角形的对边与对角的关系，掌握其三边之间的关系；
3.能将三角形按边分类.
三、重点难点
【教学重点】
三角形的三边关系及应用.
【教学难点】
分类讨论思想的渗透，三边不等关系的应用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
图片赏析，通过课件展示图片，让学生找出图片中的三角形.
揭示课题：在我们生活中，几乎随处可见三角形.它简单，有趣，应用范围也十分广泛，那，什么样的图形是三角形呢？本节课我们一起来学习——三角形的边.
设计意图：通过对实际情况的观察引导学生进入本课题的学习，体会到数学来源于生活的思想.
第二环节 【合作交流 探索新知】
活动一：给出三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形.
给出一些图形，让学生判断其是否为三角形.
教师提问，组成三角形的要素有哪些？
学生积极发言：三条边和三个角.
教师追问：什么叫做三角形的边？
给出定义：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.
教师展示课件，并提出：如图，三角形ABC有几条边？
学生回答：3条，分别是线段BC、AC、AB.
师：学习了三角形的边，那什么是三角形的角呢？
教师给出三角形的角的定义：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角.简称三角形的角.
教师提出问题，观察上面的三角形，它有几个内角？分别是什么？
学生观察后回答：3个，分别是∠A、∠B、∠C.
教师展示课件，学生回答：
在△ABC中，
1.AB边所对的角是： ∠C ，∠C所对的边是： AB ；
2.BC边所对的角是： ∠A ，∠A所对的边是：BC ；
3.AC边所对的角是： ∠B ， ∠B所对的边是：AC .
教师提出：△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示.
三角形符号“△”，如图的三角形记作: △ABC(或△BCA或△CBA 等).
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.
活动2：三角形的分类
师：我们之前学过三角形，如果是按角分类，三角形可以分为哪几类呢？
学生积极发言：可分为3类，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.
教师追问：那按边可以分成几类呢？师生共同探究.
活动3：三角形的三边关系
教师展示课件：在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学？
学生提出，是因为两点之间的所有连线中，线段最短.
教师追问：从这个问题中，可以提炼出三角形三边的关系吗？
学生小组内讨论，回答：AC+BC＞AB.
教师提出问题并展示课件：在三角形中，其他两条边的和是否也大于第三边？
因此得出结论：三角形两边的和大于第三边.
教师提问：对上面三个不等式进行移项，你还有什么发现吗？
学生发现：AB-CB＜AC，AC-AB＜CB，CB-AC＜AB，因此可以得出结论：三角形两边的差小于第三边.
设计意图：本课题的重点是在于让学生理解三角形的定义，在学生对三角形有一定了解的基础上，通过引导学生观察，归纳去进一步学习三角形.同时，在学习三边关系时，增加情景，让学生能体会更深刻，对知识掌握更牢固.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.图中共有 个三角形，它们分别是 ：_________________________________________.
例2.现有四根长度分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm 的小木棍，从中任意取3根. 能搭成多少个不同的三角形？
例3.用一条长为 18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生对三角形的应用有一定了解，学会运用已学知识解决问题.
【答案】
例1.5；△ABE，△CDE，△BCE，△ABC，△BCD.
例2.可以组成3个不同的三角形.分别是2 cm，3 cm，4 cm ；2 cm，4 cm，5 cm ；3 cm，4 cm，5 cm .
例3.（1）三边长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（2）因为长是 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
如果 4 cm 长的边为底边，腰长为7 cm，
如果 4 cm 长的边为腰，底边为10 cm，不符合三角形两边的和大于第三边.
由上讨论可知，可以围成底边是 4 cm 的等腰三角形.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.如图所示，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形为 ，含∠OCB的三角形为 ；在△BOC中，OC的对角是 ，∠OCB的对边是 .
2.（2020春 浦东新区期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
3. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A.3 cm，3 cm，6 cm B.2 cm，3 cm，6 cm
C.5 cm，8 cm，12 cm D.4 cm，7 cm，11 cm
4.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
5.一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为__________.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.8；△ABO、△ABC、△ABD；△BOC、△ABC；∠OBC；OB.
2.C 3.C
4.5个，分别是：△ ABD、△DPC、△CPB、△BCD、△ABC.
5.6或8.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020 浙江自主招生）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（ ）对
A．8 B．16 C．24 D．32
2.（2019 浦东新区期末）若△ABC三条边的长度分别为m，n，p，且|m-n|+(n-p)2 = 0，则这个三角形为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3.（2020春 沙坪坝区校级月考）下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
4.（2019秋 江城区期末）若三角形的两边长分别为3和5，则其周长c的取值范围是（ ）
A．6＜c＜15 B．6＜c＜16
C．11＜c＜13 D．10＜c＜16
5. （2019春 无锡期中）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB = 12、BC = 14、CD = 18、DA = 24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为 ．
6.（2019秋 曾都区期末）我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形．已知△ABC是整三角形，其周长为偶数，若AC-BC = 3．则边长AB的最小值是 ．
7.（1）若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
（2）若三边分别为2，x-1，3，求x 的范围．
（3）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．
8.一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．
9.（2019 嘉祥镇期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b、c满足(b-5)+= 0，a为方程|a-3|= 2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
10.（2019秋 宜昌期中）已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=10，b=8，c=6，求这个式子．
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
1.D 2.B 3.B 4.D 5.32 6.5
7.（1）根据三角形三边关系，得10-7＜x＜10+7，即3＜x＜17.
（2）根据三角形三边关系，得3-2＜x-1＜3+2，解得2＜x＜6.
（3）根据三角形三边关系，得10-7＜x＜10+7，即3＜x＜17，∵ x为最长边，∴ 10≤x＜17.
8.设腰长为x，底边为y，根据题意可得，
解得，故该三角形各边长均为6.
由题意解得a=5，b=5，c=7，所以△ABC是等腰三角形.
10.（1）|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=a+b+c；
（2）当a=10，b=8，c=6时，a+b+c=24.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.已知：如图，P是△ABC内一点．请想一个办法说明AB+AC＞PB+PC.
2.小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c-2a|+(b+c-5)2= 0，求b的取值范围”．
（1）小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度．”你知道小明是如何计算的吗？帮他写出求解的过程．
（2）小红说：“我也看不出如何求b的范围，但我能用含b的代数式表示c”．帮小红写出过程．
（3）小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD，①
在△PCD中，PC＜PD+CD，②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即：PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC.
2.（1）a=；（2）c = 5-b；
（3）由三角形的三边关系，得当5-b≥，即b≤时，b＜5-b+，且b＞5-b-，解得＜b≤；
当5-b＜时，即b＞时，则b＜5-b+，且b＞-(5-b)，解得＜b＜；
∴ b的取值范围为＜b＜.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.三角形的三边关系的性质:
（1）三角形的任何两边的和大于第三边.
（2）三角形的任何两边的差小于第三边.
3.判断三条已知线段能否组成三角形时，采用一种较为简便的方法：
若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.
4.确定三角形第三边的取值范围： 两边之差＜第三边＜两边之和.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】
·11.1与三角形有关的线段·
第一课时 三角形的边
教案
班级： 课时： 课型：
学情分析
对于三角形的概念，学生在前两个学段里已有过接触，但还不够系统.因此本章需要进一步严格定义，让学生能进一步学习三角形，理解其定义，为学习其他平面几何打好基础.
二、教学目标
1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素；
2.理解三角形的对边与对角的关系，掌握其三边之间的关系；
3.能将三角形按边分类.
三、重点难点
【教学重点】
三角形的三边关系及应用.
【教学难点】
分类讨论思想的渗透，三边不等关系的应用.
四、教学过程设计
第一环节 【创设情境 引入新课】
图片赏析，通过课件展示图片，让学生找出图片中的三角形.
揭示课题：在我们生活中，几乎随处可见三角形.它简单，有趣，应用范围也十分广泛，那，什么样的图形是三角形呢？本节课我们一起来学习——三角形的边.
设计意图：通过对实际情况的观察引导学生进入本课题的学习，体会到数学来源于生活的思想.
第二环节 【合作交流 探索新知】
活动一：给出三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形.
给出一些图形，让学生判断其是否为三角形.
教师提问，组成三角形的要素有哪些？
学生积极发言：三条边和三个角.
教师追问：什么叫做三角形的边？
给出定义：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.
教师展示课件，并提出：如图，三角形ABC有几条边？
学生回答：3条，分别是线段BC、AC、AB.
师：学习了三角形的边，那什么是三角形的角呢？
教师给出三角形的角的定义：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角.简称三角形的角.
教师提出问题，观察上面的三角形，它有几个内角？分别是什么？
学生观察后回答：3个，分别是∠A、∠B、∠C.
教师展示课件，学生回答：
在△ABC中，
1.AB边所对的角是： ∠C ，∠C所对的边是： AB ；
2.BC边所对的角是： ∠A ，∠A所对的边是：BC ；
3.AC边所对的角是： ∠B ， ∠B所对的边是：AC .
教师提出：△ABC的三边，有时也用a、b、c来表示.
三角形符号“△”，如图的三角形记作: △ABC(或△BCA或△CBA 等).
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.
活动2：三角形的分类
师：我们之前学过三角形，如果是按角分类，三角形可以分为哪几类呢？
学生积极发言：可分为3类，直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.
教师追问：那按边可以分成几类呢？师生共同探究.
活动3：三角形的三边关系
教师展示课件：在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，难道小狗也懂数学？
学生提出，是因为两点之间的所有连线中，线段最短.
教师追问：从这个问题中，可以提炼出三角形三边的关系吗？
学生小组内讨论，回答：AC+BC＞AB.
教师提出问题并展示课件：在三角形中，其他两条边的和是否也大于第三边？
因此得出结论：三角形两边的和大于第三边.
教师提问：对上面三个不等式进行移项，你还有什么发现吗？
学生发现：AB-CB＜AC，AC-AB＜CB，CB-AC＜AB，因此可以得出结论：三角形两边的差小于第三边.
设计意图：本课题的重点是在于让学生理解三角形的定义，在学生对三角形有一定了解的基础上，通过引导学生观察，归纳去进一步学习三角形.同时，在学习三边关系时，增加情景，让学生能体会更深刻，对知识掌握更牢固.
第三环节 【应用迁移 巩固提高】
例1.图中共有 个三角形，它们分别是 ：_________________________________________.
例2.现有四根长度分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm 的小木棍，从中任意取3根. 能搭成多少个不同的三角形？
例3.用一条长为 18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
设计意图：本环节结合新课知识对例题进行讲解，让学生对三角形的应用有一定了解，学会运用已学知识解决问题.
【答案】
例1.5；△ABE，△CDE，△BCE，△ABC，△BCD.
例2.可以组成3个不同的三角形.分别是2 cm，3 cm，4 cm ；2 cm，4 cm，5 cm ；3 cm，4 cm，5 cm .
例3.（1）三边长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
（2）因为长是 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
如果 4 cm 长的边为底边，腰长为7 cm，
如果 4 cm 长的边为腰，底边为10 cm，不符合三角形两边的和大于第三边.
由上讨论可知，可以围成底边是 4 cm 的等腰三角形.
第四环节 【随堂练习 巩固新知】
1.如图所示，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形为 ，含∠OCB的三角形为 ；在△BOC中，OC的对角是 ，∠OCB的对边是 .
2.（2020春 浦东新区期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
3. 下列各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A.3 cm，3 cm，6 cm B.2 cm，3 cm，6 cm
C.5 cm，8 cm，12 cm D.4 cm，7 cm，11 cm
4.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
5.一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为__________.
设计意图：通过学生对简单习题的求解，让学生初步接触该课题的知识，巩固好基础，以便求解下一环节的习题.
【答案】
1.8；△ABO、△ABC、△ABD；△BOC、△ABC；∠OBC；OB.
2.C 3.C
4.5个，分别是：△ ABD、△DPC、△CPB、△BCD、△ABC.
5.6或8.
第五环节 【当堂检测 及时反馈】
1.（2020 浙江自主招生）如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（ ）对
A．8 B．16 C．24 D．32
2.（2019 浦东新区期末）若△ABC三条边的长度分别为m，n，p，且|m-n|+(n-p)2 = 0，则这个三角形为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3.（2020春 沙坪坝区校级月考）下列各线段中，能与长为4，6的两线段组成三角形的是（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
4.（2019秋 江城区期末）若三角形的两边长分别为3和5，则其周长c的取值范围是（ ）
A．6＜c＜15 B．6＜c＜16
C．11＜c＜13 D．10＜c＜16
5. （2019春 无锡期中）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB = 12、BC = 14、CD = 18、DA = 24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为 ．
6.（2019秋 曾都区期末）我们定义三边长均为整数的三角形叫做整三角形．已知△ABC是整三角形，其周长为偶数，若AC-BC = 3．则边长AB的最小值是 ．
7.（1）若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．
（2）若三边分别为2，x-1，3，求x 的范围．
（3）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．
8.一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．
9.（2019 嘉祥镇期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b、c满足(b-5)+= 0，a为方程|a-3|= 2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.
10.（2019秋 宜昌期中）已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=10，b=8，c=6，求这个式子．
设计意图：本环节的练习层次较高，主要考察学生对本课的掌握程度，以此反馈本课的学习质量，便于教师调整教学.
【答案】
1.D 2.B 3.B 4.D 5.32 6.5
7.（1）根据三角形三边关系，得10-7＜x＜10+7，即3＜x＜17.
（2）根据三角形三边关系，得3-2＜x-1＜3+2，解得2＜x＜6.
（3）根据三角形三边关系，得10-7＜x＜10+7，即3＜x＜17，∵ x为最长边，∴ 10≤x＜17.
8.设腰长为x，底边为y，根据题意可得，
解得，故该三角形各边长均为6.
由题意解得a=5，b=5，c=7，所以△ABC是等腰三角形.
10.（1）|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=a+b+c；
（2）当a=10，b=8，c=6时，a+b+c=24.
第六环节 【拓展延伸 能力提升】
1.已知：如图，P是△ABC内一点．请想一个办法说明AB+AC＞PB+PC.
2.小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c-2a|+(b+c-5)2= 0，求b的取值范围”．
（1）小明说：“b的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度．”你知道小明是如何计算的吗？帮他写出求解的过程．
（2）小红说：“我也看不出如何求b的范围，但我能用含b的代数式表示c”．帮小红写出过程．
（3）小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边满足的关系，即可求出答案．”你知道答案吗？请写出过程．
设计意图：本环节主要考察学生能否灵活运用本课知识求解综合性较高的习题，了解学生的掌握程度，展现了教学有梯度的理念.
【答案】
1.证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD，①
在△PCD中，PC＜PD+CD，②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即：PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC.
2.（1）a=；（2）c = 5-b；
（3）由三角形的三边关系，得当5-b≥，即b≤时，b＜5-b+，且b＞5-b-，解得＜b≤；
当5-b＜时，即b＞时，则b＜5-b+，且b＞-(5-b)，解得＜b＜；
∴ b的取值范围为＜b＜.
第七环节 【总结反思 知识内化】
课堂小结：
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
2.三角形的三边关系的性质:
（1）三角形的任何两边的和大于第三边.
（2）三角形的任何两边的差小于第三边.
3.判断三条已知线段能否组成三角形时，采用一种较为简便的方法：
若最短边与较长边的和大于最长边，则可构成三角形，否则不能.
4.确定三角形第三边的取值范围： 两边之差＜第三边＜两边之和.
设计意图：通过知识小结，使学生梳理本节课所学内容，理解本课核心知识，提高学习质量.
第八环节 【布置作业 夯实基础】