高明区纪念中学2008—2009第一学期期末考试
高二级数学（文科）试题
一．选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。每题5分，满分50分）
1.命题“任意的”的否定是 （ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
2．函数y=x2cosx的导数为 （ ）
A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx-x2sinx
C．y′=2xcosx+x2sinx D．y′=xcosx-x2sinx
3．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
5．对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
6．已知抛物线的准线方程为,则抛物线上横坐标为－2的点到抛物线焦点的距离为( )
A． B． C． D．
7．是方程表示双曲线的实轴在轴的 ( )
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不必要亦不充分条件
8．曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
9．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是（单位：m）,则运动员在t=1s时的瞬时速度是 （ ）
A．11.6 B．1.6 C． D．9.8
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1（，0），点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题：（每题5分，满分20分）
11. 下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则；②命题“若不是周期函数，则不是正弦函数”是真命题；③命题q: ,命题p:, 则是真命题;④已知是实数,是的充分条件。其中错误的有 。
12．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M的抛物线的标准方程是 ；
13．已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 .
14．已知函数满足条件 ，请在坐标系中画出此函数图象在这点附近的大致形状。
三、解答题（本大题共6小题，满分共80分）
15．（本题14分）已知二次函数满足：(1)；(2)图象过点，且。
(I)求的解析式；
(II)求函数的单调递增区间及极小值。
16．（本题14分）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，经过点M
（1）求椭圆的标准方程，焦点坐标及离心率；
（2）点N在椭圆上，点N及两焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1，求点N的坐标。
17．（本题13分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部竖直方向上的高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？
18．（本题14分）用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
19.（本题13分）已知双曲线中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上.离心率e=且过点（４，）
（1）求双曲线方程.
（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：
20. （本题12分）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.
(1)求的值；
(2)求的值。
高明区纪念中学2008—2009第一学期期末考试
高二级数学（文科）答题卷
一．选择题(每小题5分，共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题(每小题5分，共20分)
11. ； 14.
12. ；
13. ；
三、解答题(共80分)
高明区纪念中学2008—2009第一学期期末考试
高二级数学（文科）试题答案
一．选择题：（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。每题5分，满分50分）
1.命题“任意的”的否定是 （ C ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
2．函数y=x2cosx的导数为 （ B ）
A．y′=x2cosx-2xsinx B．y′=2xcosx-x2sinx
C．y′=2xcosx+x2sinx D．y′=xcosx-x2sinx
3．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若，则（ D ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 （ A ）
A． B． C． D．
5．对抛物线，下列描述正确的是 ( B )
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
6．已知抛物线的准线方程为,则抛物线上横坐标为－2的点到抛物线焦点的距离为( D )
A． B． C． D．
7．是方程表示双曲线的实轴在轴的 ( B )
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不必要亦不充分条件
8．曲线在点处的切线方程为（ A ）
A. B. C. D.
9．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是（单位：m）,则运动员在t=1s时的瞬时速度是 （ C ）
A．11.6 B．1.6 C． D．9.8
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1（，0），点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是 （ B ）
A． B． C． D．
二．填空题：（每题5分，满分20分）
11. 下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则；②命题“若不是周期函数，则不是正弦函数”是真命题；③命题q: ,命题p:, 则是真命题;④已知是实数,是的充分条件。其中错误的有 ①④ 。
12．顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M的抛物线的标准方程是 ；
13．已知双曲线的左支上一点到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 18 .
14．已知函数满足条件 ，请在坐标系中画出此函数图象在这点附近的大致形状。
三、解答题（本大题共6小题，满分共80分）
15．（本小题14分）已知二次函数满足：(1)；(2)图象过点，且。
(I)求的解析式；
(II)求函数的单调递增区间及极小值。
解：（I）设，则． 2分
由题设可得：即 5分
解得 6分
所以． 7分
（II），． 8分
当x变化时，的变化情况如下表：
x
(-∞,)
(,1)
1
(1,+∞)
g((x)
－
0
+
0
+
g(x)
↗
↘
0
↗
11分
由表可得：函数g(x)的单调递增区间为，(1,+∞)． 12分
当x=1时有极小值，极小值为0 14分
16．已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，经过点M
（1）求椭圆的标准方程，焦点坐标及离心率；
（2）点N在椭圆上，点N及两焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1，求点N的坐标。
解：（1）设椭圆的标准方程为， 1分
∵长轴长为 ∴ 3分
又过点M ∴，∴ 5分
所以，椭圆的标准方程为， 6分
焦点坐标为，离心率 8分
（2）焦距，
11分
代入椭圆的标准方程，解得 12分
所以，点N的坐标为。共有四点。 14分
17．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部竖值方向上的高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？
解：在隧道截面上，以拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系。 1分
设隧道顶部所在抛物线的方程为。 3 分
点C（4，-4）在抛物线上，所以
∴ 6分
所以隧道顶部所在抛物线的方程为 7分
设，则 9分
点F的坐标代入方程，得 12分
答：车辆通过隧道的限制高度为3.25 13分
18．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
解：设容器底面短边为x m，则另一边长为 ( x + 0.5 ) m， 1分
高为 3分
由3.2－2 x > 0且x > 0，得0 < x <1.6， 5分
设容器的容积为y m3，则有
y = x ( x + 0.5 ) ( 3.2－2 x ) =－2 x 3 + 2.2 x 2 + 1.6 x , ( 0 < x <1.6 ) —————8分
∴ y ' =－6 x 2 + 4.4 x + 1.6 = 0, 即15 x 2－11 x－4 = 0，
解得，（不合题意，舍去）——————————————10分
当x∈( 0, 1 ) 时，y ' > 0；当x∈( 1 , 1.6 ) 时，y ' < 0.
∴ 函数y =－2 x 3 + 2.2 x 2 +1.6 x在 ( 0, 1 ) 上单调递增，在（1，1.6）上单调递减. ——————————12分
因此，当x = 1时，y m a x =－2 + 2.2 +1.6 = 1.8，这时，高为3.2－2 × 1 = 1.2， 13分
故容器的高为1.2 m时容器最大，最大容积为1.8 m 3. ——————————14分
19.（本题13分）已知双曲线中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上.离心率e=且过点（４，）
（1）求双曲线方程.
（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：
解：（1）由e= 得 =a=b 1分
双曲线为等轴双曲线， 2分
故可设双曲线方程为： 将点(4, )代入，得=6
双曲线方程为 7分
（2）∵M(3,m)在曲线上，∴ m2=3 8分
当m=时， ， 10分
11分
当m= - 时 ， 由对称性仍有 13分
20. （本题12分）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.
(1)求的值； (2)求的值。
解：
（1） 3分
（2）， 5分
依题意，得 即 8分
解得 11分
∴. 12分
