上海市宝山区上交附高2023-2024学年高二上学期12月数学卓越测试题（含答案）

上交附高2023-2024学年高二上学期12月数学卓越测试题
2023.12
一、填空题（本大题共有18题,每题5分,满分90分）
1.椭圆的焦距为 .
2.已知异面直线所成角的大小为,直线且,则 .
3.双曲线的渐近线方程为 .
4.正方体中,异面直线和所成角的大小为 .
5.在正三棱柱中,,则直线到平面的距离为 .
6.已知圆柱的高为2,体积为,则它的表面积为 .
7.若直线与平行,则实数的值为 .
8.抛物线的焦点为,其准线为,过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为.若直线的倾斜角为,则线段的长为 .
9.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点,若弦的长为,则直线的斜率为 .
10.已知抛物线的焦点为,点是该抛物线上一点，且,设是坐标原点,则线段的长为 .
11.直四棱柱中,底面是边长为2的菱形,.若直线与平面所成角的大小为,则该四棱柱的体积为 .
12.设直线与平面所成角为,给出下列命题：(1)平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;(2)平面上不存在直线，使之与所成角小于;(3)设，平面上恰有两条直线与所成角均为;(4)若直线,则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 .
13.如图所示,在空间四边形中,是中点,且,若二面角的大小为,则点到点的距离为 .
（第13题 ） （第14题 ） （第16题 ）
14.如图所示,在正四棱柱中,为棱的中点,过的平面分别与棱交于点,且,则四边形的面积为 .
15.已知双曲线的左顶点为,点为双曲线一条渐近线上的一点,直线与双曲线的另一条渐近线交于点.若直线的斜率为1,且点是线段的一个三等分点，则双曲线的离心率为 .
16.如图,在棱长为2的正方体中,点分别在线段和上,给出下列命题:(1)长的最小值为2;(2)四棱锥的体积为定值;(3)有且仅有一条直线与垂直;(4)存在点,使为等边三角形;其中真命题的序号为 .
17.如图所示,在四棱的中,底面是矩形,,,点是棱的中点,且.若直线与平面所成角的正弦值为,则 .
18.已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点.点为它们在第一象限内的公共点,动点在曲线上,若记曲线的离心率分别为,满足,直线与轴的交点坐标为,则的最大值为 .
二、选择题（本大题共有6题,每题5分,满分30分)
19.设平面的斜线在平面的射影为，直线在平面上，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
20.已知空间三条直线.若与异面,且与异面,则（ ）
A.与异面 B.与相交 C.与平行 D.与异面、相交、平行均有可能
21.已知圆,圆,则圆与的位置关系是（ ）
A.内含 B.外离 C.相切 D.相交
22.在三棱锥中,若顶点到底面三边距离相等,则顶点在平面上的射影为的（ ）
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
23.已知空间直线和平面满足:.若点在平面上,且点到直线距离相等,则点的轨迹是（ ）
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
24.已知直线与相交于点,长为的线段是圆的一条动弦,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有2题,满分30分)
25.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图所示,在长方体中,和交于点,为棱的中点.
(1)根据上下文,在“直线平行于平面”
的证明过程中完成填空；
(2)求二面角的正切值.
证明：(1)如图所示,联结.由是长方体,得 ① ,所以四边形为平行四边形,从而是的中点;再由是中点,是中平行于的中位线.于是， ② ，根据直线与平面平行判定定理，得直线平行于平面，证明完毕.
① ；
② .
26.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知双曲线是双曲线上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为,求椭圆的标准方程;
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点,是双曲线上一点,且,求的面积;
(3)当直线（常数）与双曲线的左支交于两点时,分别记直线的斜率为,求证为定值.
参考答案
一、填空题（本大题共有18题,每题5分,满分90分）
1.椭圆的焦距为 .
【答案】4.
2.已知异面直线所成角的大小为,直线且,则 .
【答案】或.
3.双曲线的渐近线方程为 .
【答案】.
4.正方体中,异面直线和所成角的大小为 .
【答案】.
5.在正三棱柱中,,则直线到平面的距离为 .
【答案】.
6.已知圆柱的高为2,体积为,则它的表面积为 .
【答案】.
7.若直线与平行,则实数的值为 .
【答案】1.
8.抛物线的焦点为,其准线为,过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为.若直线的倾斜角为,则线段的长为 .
【答案】5.
9.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点,若弦的长为,则直线的斜率为 .
【答案】
10.已知抛物线的焦点为,点是该抛物线上一点，且,设是坐标原点,则线段的长为 .
【答案】.
11.直四棱柱中,底面是边长为2的菱形,.若直线与平面所成角的大小为,则该四棱柱的体积为 .
【答案】.
12.设直线与平面所成角为,给出下列命题：(1)平面上有且仅有一条直线与直线所成角为;(2)平面上不存在直线，使之与所成角小于;(3)设，平面上恰有两条直线与所成角均为;(4)若直线,则直线与所成角大小为;其中真命题的序号为 .
【答案】(2)(4).
13.如图所示,在空间四边形中,是中点,且,若二面角的大小为,则点到点的距离为 .
【答案】.
14.如图所示,在正四棱柱中,为棱的中点,过的平面分别与棱交于点,且,则四边形的面积为 .
【答案】.
15.已知双曲线的左顶点为,点为双曲线一条渐近线上的一点,直线与双曲线的另一条渐近线交于点.若直线的斜率为1,且点是线段的一个三等分点，则双曲线的离心率为 .
【答案】.
【解析】直线的方程为,分别联立直线与双曲线渐近线的方程,不妨设点在第二象限,则点在第三象限,的纵坐标为和.再由是线段的三等分点,结合图形可知,即,整理得,结合可得.因此双曲线的离心率为.
16.如图,在棱长为2的正方体中,点分别在线段和上,给出下列命题:
(1)长的最小值为2;
(2)四棱锥的体积为定值;
(3)有且仅有一条直线与垂直;
(4)存在点,使为等边三角形;
其中真命题的序号为 .
【答案】(1)(2)(4).
【解析】对于(1),由点分别在两个平行平面上,其间距最小值为两个平面间的距离,即长的最小值为2,因此(1)正确.
对于(2),由,其中表示到平面的距离，显然为定值2,而的中,底与边上的高均为定值2,由此可知面积为定值,综合上述,四面体的体积为定值,因此(2)正确.
对于(3),点在平面上的射影的轨迹为线段,由三垂线定理可知,的一个充要条件.当射影位于线段上的任意位置时,过作的垂线,所得垂足记为,则,从而.于是这样的直线不唯一,因此(3)不正确.
对于(4),由,结合可知,的一个充要条件是.当时,考虑点在棱上自运动至,
即从0变化至2时,当时,点与重合,点与重合,
此时,从而;
当时,,
从而.由线段的长均随连续变化,因此在运动的过程中,必存在一个位置,使得,此时结合,就有是正三角形，因此(4)正确.
17.如图所示,在四棱的中,底面是矩形,,,点是棱的中点,且.若直线与平面所成角的正弦值为,则 .
【答案】.
【解析】由同时垂直于平面上的两条相交直线,根据直线与平面垂直判定定理,就有平面,从而是四棱的的高.
下考虑点到平面的距离,记为.在三棱锥中,一方面有
另一方面,在中,,因此;
进而结合,可得.
设,直线与平面所成角为,则,其中表示点到平面的距离.由平面几何知识可知到平面的距离为,
而,因此,即;
两边平方得,解得.
18.已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点.点为它们在第一象限内的公共点,动点在曲线上,若记曲线的离心率分别为,满足,直线与轴的交点坐标为,则的最大值为 .
【答案】
【解析】由是曲线的公共点以及椭圆和双曲线的定义，
有解得
根据题意,可设两焦点坐标为.根据离心率的定义有;
结合得.因为直线与轴的交点坐标为,
可得
另一方面,在中,根据余弦定理：综合二者,有,整理得,解得或者(舍去).再有可得.而由椭圆性质,当为短轴顶点时,取得最大值,
此时;结合,知,
因此,即.
二、选择题（本大题共有6题,每题5分,满分30分)
19.设平面的斜线在平面的射影为，直线在平面上，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】C
20.已知空间三条直线.若与异面,且与异面,则（ ）
A.与异面 B.与相交 C.与平行 D.与异面、相交、平行均有可能
【答案】D
21.已知圆,圆,则圆与的位置关系是（ ）
A.内含 B.外离 C.相切 D.相交
【答案】D
22.在三棱锥中,若顶点到底面三边距离相等,则顶点在平面上的射影为的（ ）
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
【答案】B
23.已知空间直线和平面满足:.若点在平面上,且点到直线距离相等,则点的轨迹是（ ）
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案】C
【解析】如图所示,设直线在平面上的射影为,则(证明略);
设点在直线上的射影分别为,联结,则(证明略),
线段的长即为直线到平面的距离,记为.
由点到直线距离相等,得,
即.
在平面上,以为坐标原点,的方向为轴正向,为轴正向,建立平面直角坐标系,并设.根据上面的论述,有,即.因此,点的轨迹是双曲线.
24.已知直线与相交于点,长为的线段是圆的一条动弦,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的方程可等价地变形为,
从而直线恒过定点(记为;
类似地,直线恒过定点(记为).
直线的法向量,直线的法向量,
于是,即,也即;
结合是直线的公共点,因此总是有即.
设,由得,从而点的轨迹是以为圆心(记为为半径为圆点除外).
另一方面,圆的圆心为,半径为.设为弦的中点,则
联结,由以及半径,结合与勾股定理和垂径定理知,
从而点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
于是,等号成立当且仅当是直线与圆的公共点且是直线与圆的公共点,因此的最小值为.
综上所述,的最小值为,即,因此选项正确.
三、解答题（本大题共有2题,满分30分)
25.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图所示,在长方体中,和交于点,为棱的中点.
(1)根据上下文,在“直线平行于平面”
的证明过程中完成填空；
(2)求二面角的正切值.
证明：(1)如图所示,联结.由是长方体,得 ① ,所以四边形为平行四边形,从而是的中点;再由是中点,是中平行于的中位线.于是， ② ，根据直线与平面平行判定定理，得直线平行于平面，证明完毕.
① ；
② .
答案：（1）①且;
②平面外的直线平行于该平面上的直线.
（2）二面角的正切值为.
【解析】(2)取的中点,联结,则在中,是平行于的中位线,
从而平面,即在平面上的射影为.
在平面上，过作的垂线，垂足为;联结,
则在平面上的射影为.由,
根据三垂线定理,.于是,是从二面角的棱上一点出发的两个半平面上的射线,
因此即为二面角的平面角.
由前述,是平行于的中位线,从而;在平面上,
由平面几何知识可求得.因此在直角中,.
综上所述,二面角的正切值为.
26.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知双曲线是双曲线上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为,求椭圆的标准方程;
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点,是双曲线上一点,且,求的面积;
(3)当直线（常数）与双曲线的左支交于两点时,分别记直线的斜率为,求证为定值.
【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)设椭圆的标准方程为,
由题意椭圆的焦点为,即;椭圆长轴长为,即,
从而.因此,所求椭圆的标准方程为.
(2)双曲线经过第一象限的渐近线为,于是可设;
设,则由可知,即
也即.再由点在双曲线上,其坐标符合的方程,
因此,解得,
从而点,直线的方程为,
原点到直线的距离为,因此的面积.
(3)联立直线与双曲线的方程,消去得,
由韦达定理得.设,则
综上所述,,从而是定值.