上海市洋泾中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

洋泾中学2023学年第一学期高一年级数学月考
2023.12
一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，共34分）
1．已知，化简：______．
2．已知，则______．
3．函数（，且）的图像恒过定点，则点坐标是______．
4．已知，用表示______．
5．已知函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围是______．
6．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
7．函数的值域为______．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则______．
9．已知，若实数且，则的最小值是______．
10．已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是______．
二、选择题（每题4分，共16分）
11．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
12．下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是（ ）
A． B． c． D．
13．若方程的解集为，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4）
14．已知，若对于任意，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本题共50分）
15．解关于的方程：
16．已知函数．
（1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值；
（2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围．
17．某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间（单位：小时）满足关系式现对小白鼠时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
（1）写出4小时内，该小白鼠血液中药物浓度与时间满足的函数关系式；
（2）求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值．
18．对于直角坐标平面上的两个点，记．
（1）若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；
（2）若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合．
19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7. ; 8.; 9. ; 10.③；
10．已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是______．
【答案】③
【解析】函数,根据函数的性质,
(1)当时,,函数的图象如图所示:
(2)当时,,函数的图象如图所示:
(3)当时,,函数的图象如图所示:
对于①：无论取何值,函数都有最小值,故①错误;
对于②:当时,函数在上单调递增,故②正确;
对于③：对任意,如上图(2),都存在实数,使方程有2个不同的实根,故③错误. 故答案为:③.
二、选择题
11.B 12.B 13.C 14.C
13．若方程的解集为，则以下结论一定正确的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．（1）（4） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（3）（4）
【答案】C
【解析】根据题意,或
故选:.
14．已知，若对于任意，均有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意在中,对称轴,
函数在上单调减,在上单调增,
对于,均有
即对于,均有恒成立,
在中,对称轴,函数在上单调减,在上单调增,
当即时，函数在上单调减,函数在上单调减，
函数在上单调减,在上单调增,函数在上单调减,
当,即时,,函数在上单调增,函数在上单调减,,故不符题意,舍去.
当,即时,函数在上单调增,
函数在上单调减,在上单调增,,
,解得,
当时,,函数在上单调增,
函数在上单调减,在上单调增,,
此时,符合题意,
当,即时,函数在上单调增,,
函数在上单调减,在上单调增,,
此时,,符合题意,
当时,函数在上单调增,函数在上单调增,
符合题意.综上,实数的取值范围是. 故选:.
三．解答题
15.
16.（1） （2）
17.（1） (2)
18．对于直角坐标平面上的两个点，记．
（1）若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；
（2）若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值，并指出取得最小值时的点的集合．
【答案】（1）
（2）最小值为3，集合为且.
【解析】（1）由题意
（2）即集合为且.
19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数．
（1）判断是否是函数在区间上的弱渐近函数，并说明理由．
（2）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在函数，使得是函数在区间上的弱渐近函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）是，见解析 （2） （3）不存在
【解析】（1）
又,,,恒成立,
是函数在区间上的弱渐近函数;
(2):函数是函数在区间上的弱渐近函数,
实数的取值范围为;
(3)若存在实数,满足条件,则根据题意可得:
令,由,可得,
,
又
而在上单调递增,,
且无解,不存在实数满足题意.