河南省南阳市社旗县2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（含解析）

社旗县2023-2024学年高一上学期1月月考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是
A． B．
C． D．
3．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
4．不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．已知点是角的终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
6．定义在上的函数是偶函数的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是方程的两个不等实根，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
8．已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）
9．若函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．是的一条对称轴
D．点是的一个对称中心
10．已知函数，（且），设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域是 B．函数的值域是
C．函数的图象过点 D．当时，函数的零点
11．为了了解某社区用水量情况，对该社区居民去年的月均用水量进行抽样调查，整理该社区居民去年的月均用水量的数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）
A．该社区居民去年的月均用水量高于9吨的用户比率估计为
B．估计该社区去年有一半的居民月均用水量在5吨到9吨之间
C．若该社区有1000户居民，估计该社区去年月均用水量不足3吨的用户有100户
D．估计该社区居民去年的月均用水量的平均值大于7吨（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
三、填空题（共4小题，每题5分，共20分。）
13．设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
14．已知函数()与的图象上存在关于轴对称的点，其中为自然对数，则实数的取值范围是 .
15．已知函数，给出三个性质：
①定义域为；
②是奇函数：
③在上是减函数．
写出一个同时满足性质①、性质②和性质③的函数解析式， .
16．已知指数函数（且）在其定义域内单调递增．设函数，当时，函数恒成立，则x的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，共70分）
（10分）17．化简与求值：
(1)计算；
(2)已知，求．
（12分）18．设集合,.
(1)若,求;
(2)若,求的取值范围，
（12分）19．大连市某高中对2023年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生的数学成绩，将成绩按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计该校高一全体学生数学成绩的分位数；
(3)现从成绩在和的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中再随机抽取2名学生，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率．
（12分）20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数．
(1)证明：函数的图象关于点对称；
(2)若，求实数的取值范围．
（12分）21．如图，半径为1的扇形圆心角为，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB．
(1)求四边形OAPB面积的最大值；
(2)求四边形OAPB周长的最大值．
（12分）22．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且资金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的．
(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？
(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定最小正整数的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据集合A中的在集合中进行筛选即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2．C
【详解】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.
考点：定义域.
3．D
【分析】利用扇形的面积公式：，即可求解.
【详解】圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.
4．C
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，
即，得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
5．B
【分析】利用三角函数的定义，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】因为点是角终边上一点，
所以，，
所以，
故选：B．
6．B
【分析】利用偶函数的定义结合必要不充分条件可得结果.
【详解】由偶函数的定义知，为充要条件，因此为充要条件，故CD错误；
对于选项A：若函数为，则，故A错误；
对于选项B：由函数是偶函数可以得到，反之不成立，故B正确．
故选：B.
7．B
【分析】根据题意求出与之间关系，再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】由题意知，其中，，则，
所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确.
故选：B.
8．B
【分析】先作图确定四个根的范围，再举反例说明A不成立，根据不等式性质否定C,D,最后根据放缩法证B成立.
【详解】方程的根可化为函数与图象的交点的横坐标，作图如下：
由图象可得，，故；
因为D错误，
若，则可取，但，所以A错误，
因为，所以，
即，，C错；
，
即，
∴，∴.
故选：B
【点睛】本题考查根据函数零点情况判断不等式，考查综合分析求解判断能力，属中档题.
9．BD
【分析】由图可知，从而得，再由周期公式可得，再把代入函数中可求出的值，进而可求出函数解析式，然后逐个分析判断即可
【详解】对于A，由图可知，从而得，
所以，解得，所以，
将代入上式中得，，得，
即，因为，所以，
所以，故A错误；
对于B，由，得，
令，得的减区间为，又，
所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C，因为，所以不是的一条对称轴，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：BD
10．ACD
【分析】对于A，直接令验算即可；对于B，由换元法即可求得的值域，从而判断；对于C，直接将点坐标代入函数表达式验证即可；对于D，由复合函数单调性以及零点存在定理即可判断.
【详解】对于A，令，解得，即函数的定义域是，故A正确；
对于B，当时，，，即函数的值域是，故B错误；
对于C，，故函数的图象过点，故C正确；
对于D，由题意得，它的定义域为，
由复合函数单调性可知此时单调递减，单调递增，
所以在定义域内单调递减，
又，
所以由零点存在定理可知当时，函数的零点，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】利用频率分布直方图的相关知识，逐一分析判断即可.
【详解】对A：该社区居民去年的月均用水量高于吨的比率估计为，故A错误.
对B：该社区去年有一半的居民月均用水量在吨到吨之间为，故B正确.
对C：估计该社区去年月均用水量不足吨的户数为，故C正确.
对D：月均用水量的平均值为，故D正确.
故选：BCD.
12．AC
【分析】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可.
【详解】由于，
对于选项A，设任意，则，；
设任意，则，；
总之，对于任意实数，恒成立，A正确；
对于选项B，的值域为，，B错误；
对于选项C，当，则，；
当，则，；C正确；
对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，解题的关键是将文化情景转化为数学模型即可，属于中档题.
13．
【分析】先求出，再根据奇函数的概念求解即可.
【详解】因为当时，，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，
所以，
故答案为：
14．
【解析】由题意，将题干条件转化为，即在上有解，设函数，则求在上存在零点即可，分和两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意，存在，使，即在上有解，
令，则在定义域上为增函数，且时，，
若时，定义域为，时，，
故在上有解，
当时，定义域为，上有解可转化为，
所以，解得，
综上：，
故答案为：
15．（答案不唯一）
【分析】根据函数满足的条件，写出符合条件的一个函数解析式即可.
【详解】根据函数满足的条件可知，该函数可以为.
故答案为：.
16．
【分析】先求出的解析式，然后代入得到的解析式，应用主元法转化为关于的一次函数，然后端点处都为非负求解即可.
【详解】因为是指数函数，所以，解得或者，
又因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以，
所以，
令，要使得即恒成立，
则，
所以，解得，
故答案为：
【点睛】方法点睛：熟练应用主元法可以降低运算量和思维量.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则及对数恒等式即可求出答案；
（2）利用平方法根据，可求出，，从而可求出答案.
【详解】（1）原式；
（2）因为，所以两边平方，得，
因为，，所以，
所以原式.
18．(1)；(2) 或.
【分析】（1）求解指数不等式化简集合A，代入m=3求得B,再求并集和补集
（2）对集合B分类讨论，当B为空集时满足题意，求出m的范围，当B≠ 时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．
【详解】（1），当时，，
∴,∴.
（2）若，则，即，;
若，即时，要使，则,解得,
综上可得或.
【点睛】本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．
19．(1)0.01
(2)115分
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1即可列方程求解.
（2）通过分析发现该校高一全体学生数学成绩的分位数在区间内，由此即可列方程求解.
（3）首先求得在和的两组学生中被抽取的分别有人，人，再由古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】（1）由题意有，解得.
（2）由题意的学生数占比，
的学生数占比，
所以该校高一全体学生数学成绩的分位数在区间内，
所以设该校高一全体学生数学成绩的分位数为分，则，
解得，所以该校高一全体学生数学成绩的分位数为115分.
（3）成绩在和的两组学生人数分别有人，人，
用分层抽样的方法抽取5名学生，则在和的两组学生中被抽取的分别有人，不妨设为，人，不妨设为，
抽取的这两人的所有可能的情况为：，
抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的情况共有9种，
所以抽取的这2名学生中至少有1人成绩在的概率为.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）若，要证明函数的图象关于点对称，则只需证明函数是奇函数即可，结合奇函数的定义即可得证.
（2）由题意得，由复合函数单调性即可得，由此即可得解.
【详解】（1）由题意，令，
显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以函数的图象关于点对称.
（2）由题意，
而由复合函数单调性可知单调递增，
所以当且仅当，即，
解得或，所以实数的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出四边形OAPB面积，由 ，结合三角函数性质求最值即可；
（2）根据题意列出四边形，结合三角函数性质求最值即可.
【详解】（1）设，过点P做，交OB于点C，有，
得 ，
，
从而四边形OAPB面积，
由 ，得 ，
所以当 时，即，四边形OAPB面积最大，最大值为
（2）过点O做，交于点D，所以，
过点O做 ，交 于点E，所以，
从而四边形OAPB周长
，
由 ，得 ，
当时，即时四边形OAPB周长最大，最大值为.
22．(1)万元
(2)
【分析】（1）代入计算即可得，注意验证是否符合要求；
（2）由题意结合函数性质计算即可得.
【详解】（1）当时，，
由，，符合要求，
故该企业可获得万元奖金；
（2），
由为正整数，故在上单调递增，
则有，解得，又，
即在上恒成立，
即，即.
故最小正整数的值为.