2023-2024学年江西省抚州市南城一中高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年江西省抚州市南城一中高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）命题：“对任意x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（　　）
A．存在 x∈R，x2﹣x+2≥0 B．对任意x∈R，x2﹣x+2≥0
C．存在x∈R，x2﹣x+2＜0 D．对任意x∈R，x2﹣x+2＜0
2．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
3．（5分）将函数f（x）＝sin（2ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为，则函数g（x）的一个对称中心为（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
4．（5分）函数f（x）＝（3﹣x2）ln（|x|）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）若，，则函数f（x）＝x2﹣ax+b的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
7．（5分）已知点，，在函数f（x）＝sin（ωx+φ）的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数f（x）的单调递减区间为（　　）
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，若对任意x∈[1，+∞），都有f（x+a）≤f（2x﹣1）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，0] B．（﹣∞，﹣8] C．[2，+∞） D．（﹣∞，0]
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列各式中值为1的是（　　）
A．tan2025°
B．sin20°cos70°﹣cos160°sin70°
C．
D．
（多选）10．（5分）若a＞0，b＞0，则下面几个结论正确的有（　　）
A．若a≠1，b≠1，则logab+logba≥2
B．
C．若2，则a+b
D．若ab+b2＝2，则a+3b≥4
（多选）11．（5分）已知函数，则（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．
C．当x＞0时，f（x）∈（0，1]
D．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立
（多选）12．（5分）已知函数函数g（x）＝[f（x）]2﹣（a﹣1）f（x）﹣a，则下列结论不正确的是（　　）
A．若，则g（x）恰有2个零点
B．若1≤a＜2，则g（x）恰有4个零点
C．若g（x）恰有3个零点，则a的取值范围是[0，1）
D．若g（x）恰有2个零点，则a的取值范围是
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知集合A＝{9，7，6}，B＝{x|x＝2k，k∈N}，则A∩B＝　 　．
14．（5分）已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为 　 　．
15．（5分）函数的定义域是 　 　．
16．（5分）函数的零点个数为　 　，不等式f（x）＞0的解集为　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知p：A＝{x|x＜﹣2或x＞10}，q：B＝{x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）如图，以x轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点，将角α的终边绕着原点O顺时针旋转得到角β．
（1）求的值；
（2）求sin2β+2cosβ的值．
19．（12分）已知函数．
（1）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求出使函数f（x）在区间[0，a]上最小值为时，a的取值范围；
条件①：f（x）的最大值为1；
条件②：f（x）的一个对称中心为；
条件③：f（x）的一条对称轴为．
（2）若，在锐角△ABC中，若f（A）＝1，且能盖住△ABC的最小圆的面积为π，求AB+AC的取值范围．
20．（12分）为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理．我市工业园区某工厂的污水先排入净化池，然后加入净化剂进行净化处理．根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的函数关系式近似为y．若多次加进净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用．
（1）若投放1个单位的净化剂4小时后，求净化剂在污水中释放的浓度；
（2）若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约达几小时？（结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3，lg17≈1.23）
（3）若第一次投放1个单位的净化剂，3小时后再投放2个单位的净化剂，设第二次投放t小时后污水中净化剂浓度为g（t）（毫克/立方米），其中0＜t≤3，求g（t）的表达式和浓度g（t）的最小值．
21．（12分）对于函数f（x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[﹣3，﹣1]∪[1，3]上的最大值和最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣m．
（1）若函数g（x）＝f（x）+ex在区间（，1）内存在零点，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f（ex+1）有实数根，求实数m的取值范围．
2023-2024学年江西省抚州市南城一中高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题：“对任意x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是：存在x∈R，x2﹣x+2＜0．
故选：C．
2．【解答】解：设幂函数的解析式为 f（x）＝xα，
把点P（3，27）代入函数的解析式可得，
3α＝27，解得 α＝3，
∴这个函数的解析式是 f（x）＝x3，
∴t3＝64，解得t＝4，
∴a＝log0.14＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1，
故a＜b＜c，
故选：B．
3．【解答】解：将函数f（x）＝sin（2ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2ωx）的图象，
若函数g（x）图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ，∴ω＝1，
则函数g（x）＝sin（2x）．
令2xkπ，k∈Z，求得x，可得g（x）的对称中心为（，0），
再令k＝1，可得g（x）的一个对称中心为（，0），
故选：D．
4．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D，
当x→+∞，f（x）＜0，排除C，
故选：A．
5．【解答】解：因为，
所以，
所以sin（），
则1﹣2sin2（）＝1﹣2．
故选：B．
6．【解答】解：（0.53）0.52，lg2+lg5＝lg10＝1，
所以函数f（x）＝x2x+1，
由二次函数的性质可得当x时，f（x）取得最小值为f（）1，
故选：A．
7．【解答】解：由图，点B，点C关于点D成中心对称，，故点，
AD为函数的半个周期，所以，，故ω＝4，
点在函数图像上，依题意有函数y＝sin4x的图像向左平移个单位得到f（x）的图像，
故，
由，解得，
所以f（x）单调递减区间为，k∈Z．
故选：C．
8．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数；
∴由对任意x∈[1，+∞），都有f（x+a）≤f（2x﹣1）恒成立得：f（|x+a|）≤f（|2x﹣1|）在x∈[1，+∞）上恒成立；
∴|x+a|≤|2x﹣1|在x∈[1，+∞）上恒成立；
∴|x+a|≤2x﹣1；
∴1﹣2x≤x+a≤2x﹣1；
∴1﹣3x≤a≤x﹣1在x∈[1，+∞）上恒成立；
由y＝1﹣3x为减函数，得y＝1﹣3x在[1，+∞）上的最大值为﹣2；由y＝x﹣1为增函数，得y＝x﹣1在[1，+∞）上的最小值为0；
∴﹣2≤a≤0；
∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：选项A，tan2025°＝tan（11×180°+45°）＝tan45°＝1，即A符合题意；
选项B，sin20°cos70°﹣cos160°sin70°＝sin20°cos70°+cos20°sin70°＝sin（20°+70°）＝1，即B符合题意；
选项C，（cos222.5°﹣sin222.5°）cos45°＝1，即C符合题意；
选项D，，即D不符合题意．
故选：ABC．
10．【解答】解：对于选项A，若a＝2，b，则logab+logba2＜0，所以A错误；
对于选项B，在a＞0，b＞0的条件下，因为a2+b2≥2ab，所以2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，
所以，即，所以B正确；
对于选项C，a+b＝（a+b） （）（14） （5+2），
当且仅当，即b＝2a时，等号成立，所以C正确；
对于选项D，因为ab+b2＝2，所以a，所以a+3b3b2（b）≥24，
当且仅当b，即b＝1时，等号成立，所以D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：因为1+x2＞x2，所以，即恒成立，
所以函数f（x）的定义域为R，故选项A正确；
，
所以，故选项B正确；
因为，
且函数在（0，+∞）上单调递增，又有y＝﹣lgx+1在（0，+∞）上单调递减，
所以在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0）＝1，
且x无限趋向于正无穷大时，f（x）无限趋向于负无穷，所以f（x）∈（﹣∞，1），故选项C错误；
记函数，由选项A知g（x）的定义域为R，
且，所以g（x）是奇函数，
因为，且函数在[0，+∞）上单调递增，
又有y＝﹣lgx在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）＝0，
因为g（x）是奇函数，所以g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
所以g（x）在R上单调递减，且g（x）＞g（0）＝0，所以f（x）在R上单调递减，
所以对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，恒成立，故选项D正确．
故选：ABD．
12．【解答】解：因为当x＞0时，f（x）＝xlnx，
所以f'（x）＝lnx+1，
令f'（x）＝0，得x，
所以当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＞0时，f（x）min＝f（），
又因为当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x+1，
作出y＝f（x）的大致图象，如图所示：
又因为g（x）＝[f（x）]2﹣（a﹣1）f（x）﹣a＝[f（x）﹣a][f（x）+1]，
令g（x）＝0，则有f（x）＝a或f（x）＝﹣1，
由图可知f（x）＝﹣1只有一个解，
对于A，当a＝﹣1时，满足，此时g（x）＝0只有一个解，故错误；
对于B，当1≤a＜2时，f（x）＝a有3个解，f（x）＝﹣1有一个解，所以g（x）＝0有4个解，故正确；
对于C，当g（x）＝0恰有3个解时，f（x）＝a恰有2个解，则有a＝2或0≤a＜1，故错误；
对于D，当g（x）＝0恰有2个解时，f（x）＝a恰有1个解，且a≠﹣1，所以a＜﹣1或﹣1＜a或a＞2，故错误．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：∵A＝{9，7，6}，B＝{x|x＝2k，k∈N}，
∴A∩B＝{6}．
故答案为：{6}．
14．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，
由于α＝2弧度，可得l＝Rα＝2R，
由于扇形的周长为8＝l+2R，
所以2R+2R＝8，解得R＝2，弧长l＝2×2＝4，
所以扇形的面积为SlR4×2＝4．
故答案为：4．
15．【解答】解：由题知，函数，
所以，解得0≤x＜2，
所以定义域为[0，2），
故答案为：[0，2）．
16．【解答】解：由题意，
可将函数的零点个数问题转化为y＝2x与y两个函数图象的交点个数，
y＝2x与y两个函数图象如下：
根据图象，可知y＝2x与y两个函数图象只有1个交点，
故函数的零点个数为1．
不等式f（x）＞0，即2x的解集，
结合图象，可知不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
故答案为：1；（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：∵p是q的必要不充分条件，
∴q p，p不能推出q．
∴B A，
则，等号不同时取得，得m≥9，
则实数m的取值范围为[9，+∞）．
18．【解答】解：（1）由题意可得cosα，sinα，tanα，
可得1．
（2）由题意可得α﹣β，可得β，
所以sin2β+2cosβ
＝sin2（）+2cos（）
＝sin（2）+2cos（）
＝﹣cos2α+2cos（）
＝1﹣2cos2α（cosα+sinα）
＝1﹣2（）
．
19．【解答】解：（1），
选条件①：因为f（x）的最大值为1，所以，即，
此时实数m的值唯一确定，满足题意．
当x∈[0，a]时，，
要使最小值为，则，解得，
所以函数f（x）在区间[0，a]上最小值为时a的取值范围为．
选条件②：f（x）的一个对称中心为，则，即，
此时实数m的值唯一确定，满足题意，
当x∈[0，a]时，，
所以，解得，
所以函数f（x）在区间[0，a]上最小值为时a的取值范围为．
条件③：f（x）的一条对称轴为，则无法确定m的值，不满足题意．
（2）当时，，
因为f（A）＝1，所以，
因为△ABC为锐角三角形，
所以，，
所以，故有．
已知能盖住△ABC的最小圆为△ABC的外接圆，由面积为π，则半径R＝1，
设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由正弦定理，
所以b＝2sinB，c＝2sinC，b+c＝2sinB+2sinC，
因为△ABC为锐角三角形，所以，解得．
所以，则，
故，所以AB+AC的取值范围是．
20．【解答】解：（1）由y，当x＝4是，y6，
∴若投放1个单位的净化剂4小时后，净化剂在污水中释放的浓度为6毫克/立方米．
（2）净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化污水的作用，
当0≤x≤3时，令4（2x+1）≥4，得2x≥0恒成立，
∴当0≤x≤3时，可以起到净化污水的作用，
当x＞3时，令4 4得2x﹣3+1≤18，
解得x≤log217+3，
又∵4.1，
∴3＜x≤7.1，
综上所述，当0≤x≤7.1时，起到净化污水的作用，
故若一次投放4个单位的净化剂并起到净化污水的作用，则净化时间约7.1小时．
（3）由题意可知g（t）2（2t+1），0＜t≤3，
∵2t+1＞0，
∴2（2t+1）≥212，
当且仅当2（2t+1），即t＝1时，等号成立，
∴g（t）2（2t+1），0＜t≤3，当t＝1时，g（t）取得最小值12毫克/立方米．
21．【解答】解：由题意，
（1）由ax﹣1≠0，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
，
∴函数f（x）是奇函数．
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
，
∵0＜x1＜x2，当 2＜a＜4 时 ，
∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又函数f（x）为奇函数，关于原点对称，其图象关于原点对称，
∴当2＜a＜4时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
即函数f（x）在区间[1，3]，[﹣3，﹣1]上均为减函数．
∴当1≤x≤3时，，
当﹣3≤x≤﹣1时，f（x）max＝f（﹣3）＝﹣f（3）＜0，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣f（1）＜0，
∴函数f（x）在[﹣3，﹣1]∪[1，3]上的最大值为，小值为．
22．【解答】解：（1）∵g（x）＝f（x）+ex＝lnx﹣m+ex在区间（，1）内存在零点，
∴lnx﹣m+ex＝0，即方程m＝lnx+ex在区间（，1）内有根 y＝m与h（x）＝lnx+ex在区间（，1）内有交点，
∵h（x）＝lnx+ex在区间（，1）上单调递增，且h（）＝﹣1+1＝0，h（1）＝e，
∴m＝h（x）∈（0，e）；
（2）方程f（ex+1）有实数根 ln（ex+1）﹣m有实数根 lnln有实数根 em有实数根，
∵2（当且仅当x＝0时取等号），
∴em≥2，
∴m≥ln2，
∴实数m的取值范围为[ln2，+∞）．
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