1.4 三元一次方程组 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
1.4 三元一次方程组的解法
1.了解三元一次方程组的概念.
2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
4.让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”、“加减”消元的方法.
5.让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.
【教学重点】
三元一次方程组的解法及“消元”思想.
【教学难点】
根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
1. 解二元一次方程组有哪几种方法？
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？
思考
小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小
丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的 .问这家人的年龄分别是多少岁
可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根据题意得：
解上述方程组得x=38，y=10.
因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.
想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？
因为要求三个人的年龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁.根据题意得： x+y+z=80， x-y=6，x+y=7z.
本问题涉及的等量关系有:
小丽+爸爸＋妈妈＝80，
爸爸－妈妈＝6，
小丽＝（爸爸＋妈妈）× .
分析
三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：
可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.
三元一次方程组
注：三元一次方程特点：
含有三个未知数
含有未知数的项的次数均为1；
必须有三个方程，且是整式方程；
三元一次方程组中，只需三个方程共含有三个未知数就可以
思考
解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，
使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次方程呢？
x＋y＋z=80,
x－y=6,
x＋y＝7z.
解：因为要求三个人的年龄，设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁，根据题意得:
①
②
③
①＋②，得
2x＋z＝86，
②＋③，得
2x－7z＝6，
解这个方程组，得
x=38,
z=10.
把x=38，z＝10代入①式，得
38＋y＋10＝80，
解得
y＝32.
因此，三元一次方程组的解为
x=38,
z=10.
y=32,
1、同学们，你还记得解二元一次方程组的基本思想是什么吗？
消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
2、类比解二元一次方程组的基本思想，我们如何解三元一次方程组？（同学之间相互讨论讨论）
x＋y＋z=80,
x－y=6,
x＋y＝7z.
①
②
③
①＋②，得
2x＋z＝86，
②＋③，得
2x－7z＝6，
解这个方程组，得
x=38,
z=10.
把x=38，z＝10代入①式，得
38＋y＋10＝80，
解得
y＝32.
因此，三元一次方程组的解为
x=38,
z=10.
y=32,
同桌讨论，解三元一次方程组的基本想法是什么？
“三元”
“二元”
“一元”
加减消元法
代入消元法
解三元一次方程组的基本想法是：
消去一个未知数，
将解三元一次方程
进而转化为解一元一次方程.
组转化为解二元一次方程组，
消元的基本方法仍然是：
代入法和加减法.
1、下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
【例】解三元一次方程组：
分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先下去消去z或y来求解.
①
②
③
解：②×4-①，得 7x-17z=4.
②-③，得 2x-5z=3.
两次转化都必须是消去同一个未知数.
由此得到
解这个二元一次方程组得
把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.
所以原方程组的解为
请你用其他方法来解例题的方程组.
5x＋4y＋z=0, ①
3x＋y－4z=1, ②
x＋y＋z＝﹣2. ③
通过观察发现，z的系数较为简单，可以先消去z来求解.
分析
解：①×4－②，得
23x＋17y＝1.
①－③，得
4x＋3y＝2.
解这个二元一次方程组得
x=﹣31，
y=42.
把x=﹣31，y＝42代入③式，得
z＝﹣13.
所以原方程组的解为
x=﹣31，
z=﹣13.
y=42，
“三元”
“二元”
“一元”
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
【例】在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1 时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c = 0， ①
4a＋2b＋c = 3， ②
25a＋5b＋c = 60. ③
②－①， 得 a＋b = 1. ④
③－①， 得 4a＋b = 10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
a = 3，
b = -2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a = 3，
b = -2
c = -5.
a = 3，
b = -2，
c = -5.
因此
1.解下列三元一次方程组：
x＋y=7, ①
2y＋z=6； ②
x－z=7； ③
（1）
2x＋2y＋z=4, ①
2x＋y＋2z＝7； ②
x＋2y＋2z＝﹣6；③
（2）
解：②＋③，得
x＋2y＝13.
由此得到
x＋y＝7.
解得
x=1，
y=6.
把x=1代入③式，得
z＝﹣6.
所以原方程组的解为
x=1，
z=﹣6.
y=6，
解：②－③，得
x－y＝13.
①×2－②，得
2x＋3y＝1.
解这个二元一次方程组得
x=8，
y=﹣5.
把x=8，y＝﹣5代入③式，得
所以原方程组的解为
x=8，
z=﹣2.
y=﹣5，
x＋2y＝13.
z＝﹣2.
2. 解方程组 得 x＝____，y＝____，z＝____.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1，
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可将①+②求出 y，②+③求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
6
8
3
3. 若 x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则 x＋y＋z 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：通过观察未知数的系数，可将两个方程相加，得 5x + 5y + 5z = 25，所以 x + y + z = 5.
D
4、有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、两三人的年龄分别为多少岁
解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为x岁，y岁，z岁，则
x＋y=15,
y＋z=16,
x＋z＝17.
解得
x=8,
y=7,
z＝9.
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.
5.某加工厂专门安排210名工人进行手工加工部分，每个产品由2个A型零件、1个B型零件、1个C型零件组成。如果每人每天能够加工A型零件10个，或B型零件15个，或C型零件12个。如何安排工人才能使每天加工出的产品正好完整？
答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是：120人，40人，50人．
解：解设x个人负责A型零件，y个人负责B型零件，z个人负责C型零件．
根据题意得
解方程组，得
答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是：120人，40人，50人．
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z. 则有
解得
答：原三位数是 368.
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
习题1.4
第2、4、5题