和平区重点中学2024届高三年级期末考试
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题共45分）
一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．{3} B．{1} C．{1，4} D．{1，3，4}
2．已知命题和命题，则p是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．某医疗仪器上有A、B两个易耗元件，每次使用后，需要更换A元件的概率为0.3，需要更换B元件的概率为0.5，则在第一次使用后就要更换元件的条件下，A、B两个元件都要更换的概率是（ ）
A．0.15 B．0.65 C． D．
7．已知为双曲线的左、右焦点，点A在C上，若，，的面积为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，三棱台中，，三棱台的体积记为，三棱锥的体积记为，则（ ）
A． B． C． D．7
9．已知函数，若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的个数有（ ）
①将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；
②函数的图象关于点对称；
③函数在区间上的单调递减区间为；
④若函数为偶函数，则的最小值为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上．
10．已知i是虚数单位，化简的结果为______．
11．在的展开式中，的系数为______．（用数字作答）
12．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线C的方程为______．
13．已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从A、B两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为______；记取出的2个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为______．
14．已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．
15．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则______；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为______．
三．解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上．
16．（本题满分14分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（本题满分15分）四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，AB＝2，∠PAD＝45°，E是PA的中点，点F在线段AB上，且满足．
（Ⅰ）求证：平面PBC；
（Ⅱ）求平面FPC与平面BPC夹角的余弦值；
（Ⅲ）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分15分）已知等差数列的前n项和为，，数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足
①求前2n项中所有奇数项和；②若的前n项和为，证明：．
19．（本题满分15分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），短轴长是长轴长的．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）P是椭圆C上的动点，过点P作椭圆C的切线，与直线交于点Q，若△POQ（O为坐标原点）的面积为，求点P的坐标．
20．（本题满分16分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在上单调递增，求正实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m＝1时，在上存在唯一极小值点，且．数学学科参考答案
一，选择题：本大题共9小趣，每小题5分，共45分
题号
1
2
3
45
6
>
8
9
答案D
A
C
B
B
二，填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
11.-80:12.=8y:1.2’
5
7
10.3+i:
14.(6-4v2,1)U0,3]:
15.2,
2,
21
三，解答题：本大题共5小题，共75分
l6.(I)解：csinC-bsinB=a(sinA-sinB)
由正弦定理将角化为边整理得：a2+b2-c2=ab
所uomc-编又ce0小所c-号
m解：由1)知，C=号又h=5,c=6
由正弦定理得：
b
5=6
、imB=三，即sinsin泛·解得：sinB=年
3
()解：由题知，b=3,c=6,即b3
1
115
所以B为锐角由(2)知，si血B=年所以cosB=1-si加B=-16
4
、155
所以sin2B=2 sin B cos B=2××
448
cos2B=1-2sin2B=1-2×7168
17
所以cos2B-
6
=cos2B co+sin2B sin11
"68*2+82=16
期末考试高三年级数学学科参考答装第1页共6页
即cos2B-g）-75+正
6
16
17.解(I)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直，所以可以以D为原点，DA,DC,
DP分别为x，P,:轴建立空间直角坐标系D-z,如图所示：
aoo.B20.co0.Proag4
2
∴.BC=(-1,-1,0),CP=(0-b1.
设平面PBC的·个法向量为m=(x,”z)
mBC=-x-y=0
不妨令y=1,m=（-1l
成.CP=-y+z=0
,m⊥DE,又：DE丈平面PBC·DE/!平面PBC
(Π)设点F坐标为(L,t0),CF=(1,1-l,0),DB=(12,0).
由c丽=0，PG--0
2
:设平面FP℃的一个法向量为i=(x,2),
.CP=0
-y+z=0
由
CF=0
r-=0不妨令r=1,i=2
mi=-1+2+2-3,c0s<,m>=
州网353·
平面FPPC与平面BPC夹角的余弦值为
3
（m设0=而=（←d小ep小，夜=丽+0=-方
∴.方下0=2-1，
.cos-1
22-2
+号
3v8元2+1，
期末考试高三年级数学学科参考答装第2页共6页
:F0与面PC所成角的会弦值是6其正弦值为.
3
22-25
38元2+13
整理得：202+8以-1=0,2=101=舍去，
存在满足条件的点Q,
-(0则@-语
18.解(I)设{a}的公差为d,因为4，=2，S,-14,
所以4a+6d=14,所以d=1,所以an=2+(-1)x1=n+1,
因为61=3驰，-2，所以(61-1)-3(b-1),且么-1=3≠0，
所以{B。-1是首项为3，公比为3的等比数列，所以b-1=3,所以b=3+1,
所以{色}的通项公式为b,-3”+1:
n+2
(0+少a+3,为奇数
1
4(+1旷(+3
n为奇数
(I1)①c.=
3”+7为偶数
1
1
3”+1为程数
me---aa-非aa
浙无行】
片÷
m6ea-Gj4eay6j
期末考试高三年级数学学科参考答装第3页共6页
