2023-2024学年人教A版高二上册模拟练习卷（一）（含解析）

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2023-2024学年人教A版高二上册模拟练习卷（一）
一、单选题
1．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若点是圆:上一点,则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，其中为切点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（ ）
A． B． C．0 D．2
7．已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于，两点，且，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．球在正方体外部的体积大于
C．球内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则
10．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线与圆的轨迹一定相交
B．直线与圆交于两点，则的最大值为
C．圆上点到直线距离的最大值为
D．当时，则圆上存在四个点到直线的距离为1.
12．已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ）
A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线
C．离心率为 D．渐近线方程为
三、填空题
13．，若，则实数值为 .
14．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
15．已知直线与圆交于，两点，若平分（为坐标原点），则直线的斜率为 ．
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，则的实轴长为 .
四、解答题
17．如图，在直三柱中，，分别为，的中点．

(1)若，求的值；
(2)求与平面所成角的正弦值．
18．如图，在四棱锥中，平面，点是的重心.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
19．已知关于的方程
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)在（1）的条件下，若圆与直线相交于两点，且，求的值．
20．已知圆的圆心在直线上,且过点,与直线相切．
(1)求圆的方程；
(2)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点？若存在,求出实数的值；若不存在,请说明理由．
21．设椭圆（）的左右顶点分别为 右焦点为F，已知
(1)求椭圆方程;
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交y轴于点Q，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程.
22．已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．
(1)求点M轨迹的方程；
(2)若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．
参考答案：
1．D
【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，则.
，，
故在的投影为，
点到线的距离为.
故选：D.
2．A
【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案.
【详解】，
故，，，.
故选：A
3．B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆:可化为
表示点到点的距离的平方,
因为，
所以的最小值为.
故选：B.
4．A
【分析】根据直角三角形边与角的关系分析得到，当最小时，最大，再根据当时，最小即可求解.
【详解】要使得最大，则最小，的最小值即为圆心到直线的距离．
由题意知，，，
，且，
所以最大时，最小．
由题意知，．
所以，则，
即的最大值为.
故选：A．
5．B
【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解.
【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，
这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，
所以该切线方程为，化为一般式得.
故选：B.
6．A
【分析】将抛物线方程化为标准形式，根据焦半径公式得到方程，求出答案.
【详解】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为，
由焦半径可得，解得.
故选：A
7．D
【分析】根据题意，得到双曲线的渐近线过圆心，求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为
又由双曲线，可得其中一条渐近线方程为，即，
因为双曲线的渐近线交圆于两点，且，
所以圆心在直线，即，可得，
则双曲线的离心率为.
故选：D.
8．C
【分析】根据给定条件，借助勾股定理，结合椭圆定义求出椭圆长轴长即可得解.
【详解】由过且垂直于轴的椭圆的弦长，得，而椭圆的焦距，
在中，，则长轴长，
因此，，短半轴长，所以椭圆的方程为：.
故选：C
9．ABD
【分析】对A，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B，由球在正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C，计算出球内接球内接圆柱的高及底面积即可得；对D，根据向量的数量积运算即可得.
【详解】解析：对于A．如图所示，
正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确；
对于B．若球体 正方体的体积分别为．
球在正方体外部的体积，故B正确；
对于C，球的半径，设圆柱的高为，
则底面圆半径，
所以，
当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误；
对于D，取中点，可知在球面上，可得，
所以，
点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当为直径时，），
所以．故D正确．
故选ABD．

10．AC
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
11．AD
【分析】确定直线过定点，点在圆内，A正确，当时，最大，计算得到B错误，最大值为，C错误，确定直线过圆心，，D正确，得到答案.
【详解】圆：，圆心，半径，
直线过定点，，
对选项A：，点在圆内，故直线与圆一定相交，正确；
对选项B：当过圆心时，最大为，错误；
对选项C：圆上点到直线距离的最大值为，错误；
对选项D：直线：，圆心在直线上，，
故圆上存在四个点到直线的距离为1，正确；
故选：AD
12．ABD
【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.
【详解】设该双曲线标准方程为，则.
对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，
可解得，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；
对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，
故选：ABD.
13．2
【分析】由向量线性运算的坐标表示，和向量垂直的坐标表示，求实数的值.
【详解】，则，
又，则，解得.
故答案为：2
14．
【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围.
【详解】由向量，，可得，
因为，可得，解得，
所以，所以与，
又因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
所以实数的范围是.
故答案为：.
15．
【分析】联立方程组求得的坐标，结合题意，得到的倾斜角为，根据，求得，结合正切的两角和的公式，即可求解.
【详解】由，整理得，解得或，
不妨令，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
如图所示，显然，则直线的倾斜角为，
因为，即，所以，即，
解得，因为为锐角，所以也为锐角，所以，
所以，
所以直线的斜率为．
故答案为：.
16．
【分析】根据渐近线方程以及焦点坐标列出关于的方程组，由此求解出的值，则实轴长可知.
【详解】因为一条渐近线方程为，即，
所以，
又因为左焦点为，
所以，解得，所以实轴长为，
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：由向量的线性运算法则，可得，
又由，所以．
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以．
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设与平面所成的角为，可得．

18．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得.
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求出的长度.
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，则，
而平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取中点为，连接，，
则，即四边形为矩形，则，
又平面平面，显然两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，
由点是的重心，得，则，
又，设平面的一个法向量，
则，取，得，设与平面所成角为，
，化简得，
解得或，即或，所以的长度为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）根据直线和圆的位置关系，利用圆的弦长公式计算即可．
【详解】（1）方程可化为，显然只要，即时方程表示圆．
（2）因为方程：，其中，
所以圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
因为，
解得．
20．(1)
(2)
(3)不存在,理由见解析
【分析】(1)设圆心坐标为,半径为,则圆的方程可得.根据题意把点代入圆方程,利用点到直线的距离公式,求得圆心到直线的距离等于半径,联立方程求得和,则圆的方程可求得．
(2)把直线方程代入圆的方程,消去整理,利用判别式大于求得的范围．
(3)设符合条件的实数存在,由于,则直线的斜率为,则的方程可得.把圆心代入求得,根据(2)中的范围可知不符合题意,进而可判断出不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦．
【详解】（1）设圆心坐标为,半径为,则圆的方程为.
依题意可知解得
圆的方程为.
（2）把直线即代入圆的方程,消去y,整理得．
由于直线交圆于两点,
故,即,由于,解得,
所以实数的取值范围是．
（3）设符合条件的实数存在,由于,则直线的斜率为,的方程为,即．
由于垂直平分弦,故圆心必在上,所以,解得．
由于,
故不存在实数,使得过点的直线垂直平分弦．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据分别求出a和c，进而求出b，得到椭圆方程；
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立消去y，再由韦达定理可得，从而得到点P和点Q的坐标.由可得，即可得到关于k的方程，解出k即可得到直线的方程.
【详解】（1），解得，则.
所以椭圆方程为.
（2）由椭圆的方程可知，且由题意得直线斜率存在，
故设直线的方程为.
联立方程组，整理得
根据韦达定理，则有，所以，
所以.
，，
又，所以有，即，
所以，解得，
所以直线的方程为，即
22．(1)（）
(2)
【分析】（1）设动点M的坐标，用坐标表示出已知条件即可得；
（2）设直线l的方程，联立轨迹的方程，利用韦达定理及三角形面积公式，根据条件建立不等关系可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，依题意，直线的斜率均存在且，
即，整理得（），
所以动点M的轨迹方程为（）．
（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，
设的方程为（）， ①
将①代入，得，
依题意有，解得，
且，
设，，则， ②
令，则，即,即，且

由②得，，
即，所以，即，

且，解得且，
又，且．
所以与面积之比的取值范围是.
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