2023-2024学年八年级上册数学苏科版期末重难点检测卷（含解析）

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2023-2024学年八年级数学苏科版期末重难点检测卷
一、单选题
1．如图所示的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．实数，，，中，四个数中是无理数为（ ）
A． B．0.1 C． D．
3．直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边长是（　　）
A．5 B． C．5或 D．6
4．如图，为的角平分线，，，点P，C分别为射线，上的动点，则的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，于点D，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，小李进行了以下五个步骤，将这5个步骤按正确的顺序排列为（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①④③⑤② D．②①③④⑤
7．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（ ）

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
8．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，它能给人以视觉上的艺术享受．如图所示的是美术老师的一副剪纸作品《风筝剪纸》，它是轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点 的坐标为， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．整数a，满足，则 ．
10．已知点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是 ．
11．如图，将翻折，使顶点A落处，为折痕，如果为的平分线，则等于 ．
12．如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为 ．
13．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点， ．
（1）在点 中，线段的倍等距点是 ；
（2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是 ．
14．如图，已知的周长是，、分别平分和，于且，的面积是 ．
15．如图，一次函数的图象与的图象交于点，则方程组的解是 ．
16．已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．以为边在第一象限内作三角形，且，，作的中垂线交直线于点，交轴于点G．设上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．已知：如图，.
求作：线段，使得.
作法：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点和点；
②作直线，交于点；
③连接.
所以线段即为所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明：
证明：是线段的垂直平分线，
（____________）.（填写推理依据）
___________°.
，
.
.
18．在平面直角坐标系中，等腰三角形的三个顶点，点在轴的负半轴上，，点在轴上．
(1)直接写出点的坐标为______；
(2)点关于直线的对称点在轴上，，在图中标出点的位置并说明理由；
(3)在（2）的条件下，在轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为______．
19．丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示：
A B
进价(元/台) 1200 1300
售价(元/台) 1500 1700
(1)若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，则该商场购进A，B两种空调各多少台？
(2)若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台(且m为整数)，当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？
20．有一笔直的公路连接两地，甲车从地驶往地，速度为，乙车从地驶往地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动． 途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往地． 设甲车行驶的时间为，甲、乙两车之间的距离为与之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题：
(1)直接写出两地之间的距离为_________km；
(2)求出点的横坐标；
(3)当甲、乙两车相距80km时，请直接写出的值．
21．长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从向运动，点同时以每秒2个单位的速度从向运动，设，两点运动时间为，点为边上任意一点．(点不与点、点重合)
(1)请直接用含、的代数式，表示线段的长度；
(2)当时，连接，若与全等，求的长；
(3)若在边上总存在点使得，请直接写出的取值范围．
22．风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变迎角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们来到了西区广场进行了如下操作：①测得的长度为米；（注：）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降米到点的位置，则他应该往回收线多少米？
23．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标；
(3)如图，已知点，点在直线上，点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．根据沿某条直线折叠后能互相重合的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选A．
2．D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义即可求解．
【详解】解：，，，中，是无理数，，，为有理数，故D正确．
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理，分两种情况进行讨论即可，①第三边为斜边，②第三边为直角边．
【详解】解：①当第三边为斜边时，
根据勾股定理得：第三边，
②当第三边为直角时，
根据勾股定理得：第三边，
综上：第三边长为5或．
故选：C．
4．A
【分析】此题考查了角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，最短路径问题，正确掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，根据角平分线的性质得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性质得到的长，即可得到答案．
【详解】解：过点B作于D，交于P，过P作于C，此时的值最小，
∵为的角平分线，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：A．

5．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键．
【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①③②⑤④．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质．过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确．
【详解】解：过点A作于点N，如图所示：

∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵在和中
，
∴，
∴，故④正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
综上分析可知，正确的有4个，故B正确．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查坐标与图形变化；根据关于轴对称的点的坐标纵坐标相等得出，进而即可求解．
【详解】的坐标为，其关于轴对称的点 的坐标为，
，
∴
，
故选：D．
9．2
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是正确解答的前提．
根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，进而确定的整数值．
【详解】解：，，而整数，满足，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，熟练掌握“根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是”是解题关键．
【详解】解：点A关于x轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
11．/90度
【分析】根据折叠的性质和角平分线的定义得到，，利用角的和差关系即可得到答案．此题考查了折叠的性质和角平分线的定义，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵将翻折，使顶点A落处，为折痕，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
即，
故答案为：
12．/度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．
【详解】解：∵分别是边上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：
13． 点和点； 见解析．
【分析】（）先设为线段上一点，再根据图可知的取值范围，由题意得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点；
（）由（）知，线段的所有倍等距点形成图形，再根据图形求得面积，
此题考查了新定义，解题的关键是读懂“等距点”的定义，根据概念解决问题．
【详解】（）设为线段上一点，
则由图可知，
的取值范围是，
∵ ，，，
∴，，，
设线段的倍等距点为，
则，
∴，
∴点，为线段的倍等距点，
故答案为：点和点；
（）由（）可知，
∴线段的所有倍等距点形成图形，如图，
由图可知，该图形是环形，
∴等距点形成图形的面积为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是角平分线的性质和三角形的面积，先做出辅助线，再根据三角形的性质，得出，再根据三角形的面积即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积为13，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查函数解析式与图象的关系，解题的关键是满足函数解析式的点在函数图象上，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程的解，即可求解．
【详解】∵一次函数的图象与的图象交于点，
∴方程组的解为：，
故答案为：．
16．
【分析】先求出、两点的坐标，根据是的中垂线，则点，当时，，即点，故可得出的长；设，求出的面积，由，得到，即可求解；
【详解】解：如图，
是的中垂线，
点，
当时，即，
设
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形内角和定理，对于（1），根据步骤作出图形即可；
对于（2），根据题意补充条件即可．
【详解】（1）作图：
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45．
∵是线段的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45．
18．(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，轴对称—最短路径问题，正确画出图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）先含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再分三种情况讨论，可在y轴上符合条件的有两点和，求出即可；
（2）根据，得出点和O重合，利用等面积法求出，即可得出，然后利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和即可；
（3）作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于M，则M为所求，为的最小值，求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：符合条件的有两点，以A为圆心，以为半径画弧，交y轴于点、，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，，
∴如图，①当时，
∴，，
∴C的坐标是或；
②当时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
此时点C与重合；
③当时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
此时点C与重合，
综上，C的坐标是或，
故答案为：或；
（2）解：P的坐标是；
理由：过P作轴于Q，
∵点P关于直线的对称点为，
∴，
∵，，
∴
∴点和O重合，如图，过点P作于E，
∵P和关于直线对称，
∴，，
由三角形面积公式得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴P的坐标是；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则，
连接，与轴交于一点，则该交点即为点，
连接，则，
∴，
∴最小值为的长，
∴由两点间距离公式可得，，
∴的最小值为．
故答案为：．
19．(1)该该商场购进种空调10台，种空调10台；
(2)当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设该商场购进种空调台，种空调台，利用总价单价数量，结合“该商场购进两种空调共需资金25000元，盈利7000元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元，利用总利润每台的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该商场购进种空调台，种空调台，
根据题意得：，
解得：．
答：该该商场购进种空调10台，种空调10台；
（2）设把购进的两种空调全部售出后获得的总利润为万元，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值．
答：当取4台时能获得最大利润，最大利润是7600万元．
20．(1)300；
(2)1；
(3)2或．
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，判断出点B为两车相遇是解题的关键．
（1）由图象可得两地的距离；
（2）根据图象可得点表示甲车出现故障，点表示两车相遇， 点表示甲车修好故障， 点表示乙车到达目的地可得答案；
（3）由甲、乙两车距，分两种情况可求解．
【详解】（1）解：由图象得，两地之间的距离为，
∴两地之间的距离为．
（2）解：设甲行驶小时后，甲车发生故障，由题意得：
解得
∴点的横坐标是．
（3）解：如图
由（2）得， 当时，
， 故， ，
当时，
故，
线段表示甲车停车后， 乙车独自行驶，
线段表示两车相遇后，乙车独自行驶，
由的坐标可得，此时
∴两车相距时， 或．
21．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用；
（1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题；
（2）由题意得：，，，当时：当时分别建立方程，解方程即可求解；
（3）由，知，，故，得，可得①，②，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意，，，
，
线段的长度为；
（2）由题意得：，，，
当时：
，
解得：
此时；
当时：，
得，
此时；
综上所述：或时，与全等；
（3），
，，
由知：，
解得：，
，，
；
即①，
，
，
，
即②；
由①②解得：，
满足条件的取值范围为
22．(1)米
(2)他应该往回收线米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，解题的关键是能从实际问题中抽象出直角三角形．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理求出，然后即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，
（米），
风筝的垂直高度为米；
（2）由题意得米，
（米），
（米），
（米）
他应该往回收线米．
23．(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）根据的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出的表达式；
（）分当点位于点的左侧和右侧两种情况，设点，利用三角形面积公式分别把、表示出来，再根据题意列出方程即可求解；
（）分点位于点右侧和左侧两种情况，利用全等三角形的性质进行求解即可解答．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，当点位于点的左侧时，设点，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴面积，
∵的面积，
又∵的面积为面积的，
∴，
整理得，，
解得，
当时，点的坐标为，与点重合，不符，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
当点位于点的右侧时，如图，
的面积，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）解：当点位于点右侧时，如图，过点作轴的平行线，与轴相交于点，分别过点作它的垂线，垂足分别为点，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
当点位于点左侧时，如图，
同理可得，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的面积；
故的面积或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，利用数形结合分析问题是解题的关键．
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