2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期末过关练习（二）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期末过关练习（二）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 416.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-23 13:24:39 | ||
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文档简介
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2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期末过关练习（二）
一、选择题
1．已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若共面，那么中至少存在一对向量共线
B．若共面，那么存在一组实数对，使得
C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面
D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面
2．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，点M是双曲线右支上一点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（ ）
A． B． C．4 D．
二、多项选择题
9．圆：和圆：的公共点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为
D．
10．已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，两直线，之间的距离为1
D．当时，
11．已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是4
C．已知曲线上的两点，到点的距离之和为10，则线段的中点横坐标是
D．已知，是曲线上的动点，则的最小值为5
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
三、填空题
13．若向量共面，则 ．
14． 已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的取值范围是 .
15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
16．过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，，则的离心率为 .
四、解答题
17． 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
18．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置．
（1）若平面平面，求证：；
（2）若点到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值．
19．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的最小值．
20． 已知圆C：．
（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
（2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21． 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．
（1）求实数取值范围；
（2）证明：当变化时，点的纵坐标为定值．
22． 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,B,C
10．【答案】C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】A,B
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】2
17．【答案】（1）解：证明略
（2）解：
18．【答案】（1）解：证明：因为四边形为平行四边形，
且为等边三角形，
所以．
又为的中点，
所以，
所以为等腰三角形，
故，
所以，
即
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，
所以，
取的中点，
则，
由（Ⅰ）得，
所以，
所以即为二面角的平面角，记为．
以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
；，
所以点到直线的距离为，
由，
解得，或，
所以二面角的平面角的余弦值为或．
19．【答案】（1）解：设中点，则，
因为点在线段上，可得，即，
由点在椭圆：上，所以，
令，得，由，解得，故椭圆的方程为．
（2）解：设：，，，．
由得，，，
又，，
，
令，得，
当即时取等号，所以的最小值为．
20．【答案】（1）解：根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，则，
解得，
即直线l的方程为，化简得
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
PC的中点坐标为，
且，
所以圆的方程为，
整理得，
令，解得或．
则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．
21．【答案】（1）解：将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
，
解得；
（2）证明：设，
则由（1）知：.
由，得：，
所以.
又，
所以点D的纵坐标为定值.
22．【答案】（1）解：由题知，椭圆的焦点为，，
故可设椭圆的方程为，将点代入可得，
解得，
所以椭圆得方程为.
（2）解：
（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且，；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
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2023-2024学年江苏省南京市高二（上）期末过关练习（二）
一、选择题
1．已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若共面，那么中至少存在一对向量共线
B．若共面，那么存在一组实数对，使得
C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面
D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面
2．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，点M是双曲线右支上一点，且为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，双曲线，椭圆与双曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为-2，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（ ）
A． B． C．4 D．
二、多项选择题
9．圆：和圆：的公共点为，，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为
D．
10．已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，两直线，之间的距离为1
D．当时，
11．已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是4
C．已知曲线上的两点，到点的距离之和为10，则线段的中点横坐标是
D．已知，是曲线上的动点，则的最小值为5
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．
B．延长交直线于点，则，，三点共线
C．
D．若平分，则
三、填空题
13．若向量共面，则 ．
14． 已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，则实数的取值范围是 .
15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
16．过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的左顶点为，，则的离心率为 .
四、解答题
17． 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
18．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置．
（1）若平面平面，求证：；
（2）若点到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值．
19．已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的最小值．
20． 已知圆C：．
（1）设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；
（2）设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
21． 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．
（1）求实数取值范围；
（2）证明：当变化时，点的纵坐标为定值．
22． 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,B,C
10．【答案】C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】A,B
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】2
17．【答案】（1）解：证明略
（2）解：
18．【答案】（1）解：证明：因为四边形为平行四边形，
且为等边三角形，
所以．
又为的中点，
所以，
所以为等腰三角形，
故，
所以，
即
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：取的中点，连接，
因为为等边三角形，
所以，
取的中点，
则，
由（Ⅰ）得，
所以，
所以即为二面角的平面角，记为．
以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
；，
所以点到直线的距离为，
由，
解得，或，
所以二面角的平面角的余弦值为或．
19．【答案】（1）解：设中点，则，
因为点在线段上，可得，即，
由点在椭圆：上，所以，
令，得，由，解得，故椭圆的方程为．
（2）解：设：，，，．
由得，，，
又，，
，
令，得，
当即时取等号，所以的最小值为．
20．【答案】（1）解：根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径，
若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若，则圆心C到直线l的距离，则，
解得，
即直线l的方程为，化简得
综上所述，直线l的方程为或．
（2）解：由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB，
经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆，
PC的中点坐标为，
且，
所以圆的方程为，
整理得，
令，解得或．
则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为．
21．【答案】（1）解：将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，
要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足
，
解得；
（2）证明：设，
则由（1）知：.
由，得：，
所以.
又，
所以点D的纵坐标为定值.
22．【答案】（1）解：由题知，椭圆的焦点为，，
故可设椭圆的方程为，将点代入可得，
解得，
所以椭圆得方程为.
（2）解：
（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且，；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
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