2024年高考数学专题特训：不等式综合（真题演练）（含答案）

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2023年高考数学专题特训：不等式综合（真题演练）
一、选择题
1．（2023高三上·成都月考） 已知x(x≠0)，y满足，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2023高三上·酒泉期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·广州模拟） 已知，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2023高三上·黔东南模拟）设集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·梅河口月考）设抛物线 的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆 交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·安吉月考）已知对，不等式恒成立，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高三上·顺德月考）乐从中学每周对课室进行消毒，设在药物释放过程中，课室空气中的含药量y（毫克/每立方米）与时间x（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），y与x满足关系（b为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，课室才能进入使用.则工作人员至少在课室使用时提前（　　）分钟进行消毒工作.
A．50 B．60 C．90 D．120
8．（2023高三上·沙坪坝月考）小明使用一架两臂不等长的天平称黄金.小明先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，你认为小明两次称得的黄金总重量（　　）（附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中分别为左右盘中物体质量，分别为左右横梁臂长）.
A．等于 B．小于
C．大于 D．与左右臂的长度有关
二、多项选择题
9．（2023高三上·保定期末）已知实数a，b满足，则（　　）
A． B．
C． D．的最小值为1
10．（2023高三上·淮安期末）已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（　　）
A．，
B．
C．若，则的最小值为
D．且，都有
11．（2023高三上·牡丹江期末）下列不等式正确的是（　　）
A．已知为正实数，，则的最小值为
B．有最小值2
C．已知正数满足，则的最大值是1
D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是
12．（2023高三上·香坊期末） 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）
A．离心率的取值范围为
B．的最小值为4
C．不存在点，使得
D．当时，以点为中点的椭圆的弦的斜率为1
三、填空题
13．（2023·衡阳模拟）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是　 　.
14．（2023高三上·齐齐哈尔月考）已知函数则满足的的取值范围是　 　.
15．（2023高三上·香坊期末） 已知椭圆的左顶点，左焦点，过的右焦点做轴的垂线，为垂线上一点，当椭圆的离心率为时，最大值为　 　.
16．（2023高三上·浦东月考）设，表示不大于的最大整数，例如：，，，则使成立的x的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2023高三上·湖北期末）已知.
（1）证明：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023高三上·酒泉期末）已知幂函数在上单调递减.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
19．（2023高三上·顺德月考）已知函数.
（1）判断函数奇偶性；
（2）解关于的不等式.
20．（2023高三上·龙泉驿月考） 秋冬季是流感的高发季节， 为了预防流感， 东竞高中决定对教室采用药熏消毒法进行消毒， 药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与药熏时间 (小时) 成正比： 当药熏过程结束， 药物即释放完毕， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 达到最大值.此后， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 的函数关系式为 ( 为常数， ). 已知从药熏开始， 教室内每立方米空气中的药物含量 (毫克) 关于时间 (小时) 的变化曲线如图所示.
（1）从药熏开始， 求每立方米空气中的药物含量 (毫克) 与时间 (小时) 之间的函数关系式；
（2）据测定， 当空气中每立方米的药物含量不高于 毫克时， 学生方可进入教室， 那么从药薰开始， 至少需要经过多少小时后， 学生才能回到教室.
21．（2023高三上·抚松月考） 某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
（1）请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.
22．（2023高三上·浦东月考）如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】A,C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：先证当时，.
令，则在时恒成立，
在上单调递增，，
即当时，.
要证，只需证明，即证
令，则
.
（或）
当且仅当时等号成立，而
在在上单调递增，，即
当时，.
（2）解：令，则，
令，则在上单调递减，，
而在上递减，在上递增
的值域为
（i）当，即时，恒成立，所以在递增，
符合题意；
（ii）当3-，即时，存在使得
当时，递减，此时，矛盾，舍.
综上知，.
18．【答案】（1）解：由幂函数的定义可得，即，
解得或.
因为在上单调递减，
所以，即，
则.
（2）解：设是上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：∵∴，∴定义域为
由
，
∴为偶函数
（2）解：∵，
当时，，在单调递增，
∴在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，∴，
解得或，
所以所求不等式的解集为
20．【答案】（1）解：依题意，当时，
可设，且，解得，
又由，解得，所以；
（2）解：令，
即，解得，
即至少需要经过后，学生才能回到教室
21．【答案】（1）解：由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元），
当销售量为万件时，年销售总收入为（万元），
由题意得，
即.
（2）解：由（1）得，因为，所以，
则101.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
22．【答案】（1）解：令，则或，
∵，，∴，当且仅当，即时等号成立，
故当时，炮的射程最大，最大射程为10千米；
（2）解：炮弹可以击中目标等价于存在，使得成立，
即关于x的方程有正根，解得，此时方程恰有两个正根，符合题意，因此.
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