2024年高考数学专题特训：幂函数、指数函数、对数函数（真题演练）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023年高考数学专题特训：幂函数、指数函数、对数函数（真题演练）
一、选择题
1．（2023·永州模拟）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023高三上·辽源期末） 已知定义在上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·酒泉期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主 自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（　　）参考数据：.
A．2023年 B．2025年 C．2026年 D．2027年
4．（2023·衡阳模拟）设，，，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·江西模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·丰城月考）设函数 ，则 （　　）
A． B． C．1 D．3
7．（2023高三上·广州月考）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·广州月考）若为偶函数，则（　　）．
A． B．0 C． D．1
二、多项选择题
9．（2023高三上·辽源期末）若实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·保定期末）已知实数a，b满足，则（　　）
A． B．
C． D．的最小值为1
11．（2023·永州模拟） 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值如下表，下列结论正确的是（　　）
真数
近似值
真数
近似值
A．在区间内
B．是位数
C．若，则
D．若是一个位正整数，则
12．（2023高三上·香坊期末） 下列判断正确的是（　　）
A．函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，
B．若，则的取值范围是
C．为了得到函数的图象，可将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
D．设满足满足，则
三、填空题
13．（2023高三上·辽源期末） 已知函数为奇函数，，若当时，，则　 　．
14．（2023高三上·浦东月考）已知函数f（x）= 的最小值为a+1，则实数a的取值范围为　 　．
15．（2023·衡阳模拟）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是　 　.
16．（2023高三上·遵义月考）若函数，则不等式的解集为　 　.
四、解答题
17．（2023高三上·通榆期末）已知函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，且．
（1）求，的解析式；
（2）若函数在R上只有一个零点，求实数的取值范围．
18．（2023高三上·安徽期末）已知，且是偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
19．（2023高三上·合肥月考）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20．（2023高三上·郑州月考）已知函数f(x)=ax+b，g(x)=logax，(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.
（1）若函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，求a，b的值；
（2）如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，求a+b的值.
（3）若a满足不等式22a+1>25a-2，且函数g(2x-1)在区间[1，3]上有最小值-2，求实数a的值.
21．（2022高三上·白山）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数、的值；
（2）判断函数在的单调性并给予证明；
（3）求函数的值域．
22．（2022高三上·白山）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】C,D
13．【答案】1
14．【答案】{﹣2﹣2 }∪[﹣1，1]
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：因为，①
所以，
又因为函数为R上的偶函数，为R上的奇函数，
所以，②
由①②得，．
（2）解：由
，
得，化简得，
令，则，即关于的方程（*）只有一个大于0的根．
①当时，，满足条件；
②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，所以，
③当方程（*）有两个相等的正根时，
则，解得或（舍），
当时，，满足条件．
综上所述，或，即的取值范围为．
18．【答案】（1）解：函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即，得，所以.
（2）解：由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，
所以实数的最大整数值为5.
19．【答案】（1）解：在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，，
易知，所以，，则.
（2）解：
，
所以，.
20．【答案】（1）解：∵函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，
（2）解：当a>1时，函数f(x)=ax+b在[-1，0]上为增函数，由题意得无解
当0由题意得解：得∴
（3）解：∵22a+1>25a-2，∴2a+1>5a-2，解得a<1，又a>0，∴0∴函数g(2x-1)=loga(2x-1)在区间[1，3]上单调递减，
∴当x=3时，y取得最小值-2，即loga5=-2，∴，解得，
故.
21．【答案】（1）解：定义域为的函数是奇函数
，，
即，解得，
即，
又
是奇函数，
；
（2）解：由（1）得，其为定义域在上的单调减函数，
任取，
，
，，
，即，
函数是上单调递减函数；
（3）解：，
，
，
，
，
即函数的值域为
22．【答案】（1）解：当时，，，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当时，．
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由不等式恒成立，得恒成立，
即在时恒成立，
令，，则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以的最大值为，
所以，即实数b的取值范围是．
（3）解：由（2）知，在上恒成立，
当，时，在上恒成立，
取，由得，即，则，
所以，，…，，
上式相加得，，
所以．
又因为当时，，
所以．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)