2024年高考数学专题特训：平面向量及其运用（真题演练）（含答案）

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2023年高考数学专题特训：平面向量及其运用（真题演练）
一、选择题
1．（2023高三上·牡丹江期末）已知点，动点满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·保定期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·香坊期末） 在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（　　）
A． B．3 C．3或 D．2
4．（2023高三上·广州模拟） 已知向量，，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·永州模拟） 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·东莞月考）在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·黔东南模拟）是抛物线上异于坐标原点的一点，点在轴上，，为该抛物线的焦点，则（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
8．（2023高三上·松滋月考）已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高三上·成都月考）给出下列命题，其中正确的有（　　）
A．空间任意三个向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
D．如果是两个单位向量，则
10．（2023高三上·牡丹江期末）已知向量，若，则等于（　　）
A．0 B．－1 C．1 D．－2
11．（2023高三上·彭山月考）已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（）
A．若，则最大值为2
B．若，则最大值为
C．若，则最大值为
D．若，则最大值为1
12．（2023·吉林模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比；一种是顶角为的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比．如图，正五角星中，，记，则（　　）
A．
B．
C．在上的投影向量为
D．
三、填空题
13．（2023高三上·辽宁五校联考期末） 已知向量，，且，则　 　.
14．（2023高三上·辽源期末） 若向量、为单位向量，且 则向量与的夹角为　 　.
15．（2023高三上·东莞月考）如图，在空间平移到，连接对应顶点.设，，，为中点，则用基底表示向量　 　.
16．（2023高三上·张家口月考）已知，若实数满足，则　 　．
四、解答题
17．（2023高三上·湖北期末）如图，在中，，点是边上一点，且，
（1）求的面积；
（2）求线段的长.
18．（2023高三上·保定期末）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C的值；
（2）若，求周长的取值范围．
19．（2023高三上·德阳月考） 在中，角、、的对边分别为、、，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
20．（2023高三上·绍兴期中）已知空间向量，.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若与所成角是锐角，求实数的范围．
21．（2023高三上·福州期中）已知直线过点，
（1）若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程；
（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程.
22．（2023高三上·青羊期中）已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程.
（2）点是圆上任意一点，在线段的延长线上，且点是线段的中点，求点运动的轨迹的方程.
（3）设圆与轴交于两点，线段上的点上满足，若直线，且直线与（2）中曲线交于两点，满足.试探究是否存在这样的直线，若存在，请说明理由并写出直线的斜率，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,D
10．【答案】C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】A,B,D
13．【答案】
14．【答案】/
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：
而，
.
（2）解：解法（1）：
在中，
在等腰中，
Rt中，
.
解法（2）：由得，
18．【答案】（1）解：，
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且为锐角三角形，故.
（2）解：，，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴的周长l的取值范围为．
19．【答案】（1）解：因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，则，
故.
（2）解：由平面向量数量积的定义可得，可得，
由余弦定理可得，
解得.
20．【答案】（1）解：由已知可得，．
因为与共线，所以，解得．
（2）解：由（1）知，．
所以，∴．
又当时，与共线，
所以实数的范围为．
21．【答案】（1）解：设直线的方程为
则与轴的交点为（），与轴的交点（）
由已知可得
解得或
直线的方程为或
即或
（2）解：设直线的方程为
则与轴的交点（），与轴的交点（）
，=
当且仅当即等号成立
故的最小值为
直线的方程为即直线的方程为.
22．【答案】（1）解：当斜率不存在时，显然与圆相切；
当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为2，
，解得，则，整理得.
综上，切线方程为和.
（2）解：设点，点，点且点是线段的中点
，由题意，点是圆上任意一点
，即，符合题意
点运动的轨迹的方程为
（3）解：由题设，.若存在，由题意可不妨设的方程为，由题意分析可得为正数.
联立
……（i）
设.
由求根公式
，
.
由此可进一步推知：……（ii）
（ii）在（i）的限制下有解，故存在这样的直线
并且可以解得直线的斜率或
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