2024年高考数学专题特训：平面解析几何（真题演练）（含答案）

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2023年高考数学专题特训：平面解析几何（真题演练）
一、选择题
1．（2023高三上·上海月考）直线被圆截得的弦长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．（2023高三上·成都月考）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2023高三上·益阳月考）曲线在点处的切线方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高三上·成都月考） 若方程表示椭圆，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·成都月考） 已知直线与直线分别过定点A，B，且交于点P，则面积的最大值是（　　）
A．5 B．8 C．10 D．16
6．（2023高三上·绵阳高考模拟）若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·南京月考）已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·辽宁五校联考期末） 圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊，阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇，共487个命题. 16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式. 17、18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展，18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述. 现有圆锥顶点为，底面圆心为，母线与底面直径的长度相同. 点在侧面上，点在底面圆周上，为底面直径，二面角为. 已知平面与圆锥侧面的交线是某椭圆的一部分，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023高三上·成都月考） 方程()表示的曲线可能是（　　）
A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段
10．（2023高三上·成都月考） 已知直线l1：和直线l2：，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．直线l2过定点
C．若，则或
D．若，则l1与l2间的距离为1或
11．（2023高三上·辽宁五校联考期末） 已知点，在双曲线：上，点是线段的中点，则（　　）
A．当时，点，在双曲线的同一支上
B．当时，点，分别在双曲线的两支上
C．存在点，，使得成立
D．存在点，，使得成立
12．（2023高三上·东莞月考）已知曲线的方程为，则可能是（　　）
A．半径为的圆
B．焦点在上的椭圆，且长轴长为
C．等轴双曲线
D．焦点在上的双曲线，且焦距为
三、填空题
13．（2023高三上·成都月考）已知点，点是直线上的动点，则的最小值为　 　.
14．（2023高三上·昆明月考）点是圆上的一个动点，点，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程为　 　.
15．（2023高三上·成都月考） 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为　 　.
16．（2023高三上·浏阳月考）已知曲线.
①曲线的图像不经过第二象限；
②若为曲线上一点，则；
③存在与曲线有四个交点；
④直线与曲线无公共点当且仅当.
其中所有正确结论的序号是　 　.
四、解答题
17．（2023高三上·南京月考） 在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
18．（2023高三上·长沙月考） 已知椭圆左焦点、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积.
19．（2023高三上·湖北期末）已知双曲线与双曲线有相同的浙近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
（1）已知为上任意一点，求的最小值；
（2）已知动直线与曲线有且仅有一个交点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于.设点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）若对于一般情形，曲线方程为，动直线方程为，请直接写出点的轨迹方程.
20．（2023高三上·闵行月考）如图，已知椭圆的离心率为，点为其左顶点．过的直线交抛物线于B、C两点，是AB的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；
（3）若直线过点，其倾斜角和直线的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求的值，使得的面积最大．
21．（2023高三上·齐齐哈尔月考）椭圆 和点 ，直线 经过点 且与椭圆交于 两点．
（1）当直线 的斜率为 时，求线段 的长度；
（2）当 点恰好为线段 的中点时，求 的方程．
22．（2023高三上·东城月考）已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足.
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点与交于点，试求四边形面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B,C
10．【答案】C,D
11．【答案】A,B,C
12．【答案】A,D
13．【答案】4
14．【答案】
15．【答案】7
16．【答案】①②
17．【答案】（1）解：令，则，两边平方，
得，则，
所以曲线C的方程为.
（2）解：若两条直线斜率都存在时，设直线，则，
联立，可得，
则，
所以，则，
故，同理可得，
所以，所以，
则，此时过定点；
若一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，易知都在轴上，此时也过定点；
综上，直线过定点，得证.
18．【答案】解：如下图所示：
易知，直线的方程为，
设，
联立直线与椭圆方程，消去可得，
由勾股定理可得，
可得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
即的面积为.
19．【答案】（1）解：设双曲线的方程为，其上焦点坐标为，
一条浙近线方程为，则，
的方程为.
设，则，要使最小，结合图形和题意知.于是
①当，即时，在递增，
当时，；
②当，即时，在递减，在递增，
当时，.
综上，.
（2）解：（i）联立得，，
由题意知，
直线的方程为，
令得，；令得，
点的轨迹方程是
方程表示去除上下顶点的双曲线.
（ii）点的轨迹方程是
20．【答案】（1）解：令椭圆的半焦距为，依题意，，，解得，又，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，，设，，
由消去得：，，
则，，而是AB的中点，即有，于是，，
满足，因此，
所以点的横坐标是定值，该定值为1．
（3）解：由直线过点，其倾斜角和直线的倾斜角互补，得直线和直线的斜率互为相反数，
则由（1）得直线的方程为，即，
由消去得：，
，
设，，则，，
，点到直线的距离，
由是AB的中点得的面积，
令，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的面积取得最大值，此时．
21．【答案】（1）解：直线l的方程为 ，即为 ，
代入椭圆方程 ，可得
， ．
即有
（2）解：由P的坐标，可得 ，可得P在椭圆内，
设 ， ，
则 ， ，
由中点坐标公式可得 ， ，
由 可得， ，
将 代入 ，可得
，
则所求直线的方程为 ，
即为 ．
22．【答案】（1）解：由已知，，解得.
所以椭圆的标准方程为，离心率
.
（2）解：由题意可知，由此可求得
所以点轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，显然点在椭圆的内部
所以
当直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直时，例如为长轴，轴时
把代入椭圆方程，可求得，由此，又
所以此时
当直线的斜率都存在时，
设直线，设
联立消去可得
所以
同理，由可求得
综上，四边形面积的最大值为4，此时直线一条为椭圆的长轴，一条与轴垂直.
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