2024年高考数学真题模拟练习（一）（新高考专用）（含答案）

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2024年高考真题模拟练习（一）（新高考专用）
一、选择题
1．（2023·浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·新高考Ⅰ）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·北京）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知为锐角， 则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·北京）的展开式中的系数为（　　）．
A． B． C．40 D．80
7．（2023·湖南）下列函数中，在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·上海）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2023·新高考Ⅱ卷）若f(x)=alnx++(a≠0)既有极大值也有极小值，则（　　）
A．bc>0 B．ab>0 C． D．ac<0
10．（2023·新高考Ⅱ卷）设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点，且与C交于M，N两点，为C的准线，则（　　）
A． B．
C．以MN为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
11．（2022·云南）函数 的图象以 中心对称，则（　　）
A． 在 单调递减
B． 在 有2个极值点
C．直线 是一条对称轴
D．直线 是一条切线
12．（2023·重庆）设正整数 ，其中 ，记 ．则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2023·湖南）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=　 　．
14．（2023·上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA= ，若AB=4，BC= ，则Γ的两个焦点之间的距离为　 　．
15．（2023·上海）已知，其中，若且，当时，的最大值是　 　 ；
16．（2023·北京）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是　 　．
四、解答题
17．（2023·湖南）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
18．（2023·湖北）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
19．（2023·山东）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求；
（3）证明：存在，满足使得．
20．（2023·北京）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
21．（2023·天津）三棱台中，若面，分别是中点.
（1）求证：//平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
22．（2023·北京）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,D
12．【答案】A,C,D
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】49
16．【答案】②③
17．【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
18．【答案】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：
（2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，，于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是
（3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次，
因此估计第天不变的概率最大.
19．【答案】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）（ⅰ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
（ⅱ）若，构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，使得；
综上所述：存在使得．
20．【答案】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
21．【答案】（1）证明：连接MN，
在三棱台中，
，
∵分别是中点，且
∴，
∴
∴四边形是平行四边形
∴，
又∵ 平面，平面，
∴//平面.
（2）解：连接，过点作交AC于点D，过点D作交于点E，连接MD，ME，
∵ 若面且面
∴，，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
，
∴，
∴，且，
∴MD⊥面，
∴，且，
∴AC1⊥面，
∴，
∴ 平面与平面所成夹为，
由，
∴
∴，
在Rt△MDE中，易得
∴，
∴
∴平面与平面所成夹角的余弦值为.
（3） 由(2)得MD⊥面，，
∵，设点到平面的距离为d，
即，解得，
∴点到平面的距离为.
22．【答案】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
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