冲刺2024年高考数学一轮模拟练习（一）（含答案）

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冲刺2024年高考数学一轮模拟练习（一）
一、选择题
1．已知，下列说法正确的是（　　）
A．的虚部为 B．
C． D．
2．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为，上口的内径约为，圆柱的深度和底面内径分别约为，则“何尊”的容积大约为（　　）
A． B． C． D．
3． 已知直线，平面，，，，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在R上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，的定义域均为，，且，则（　　）
A．24 B．26 C．28 D．30
二、多项选择题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（　　）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．已知向量，下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．当时，与的夹角为锐角
D．若，则与的夹角的余弦值为
11． 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的条棱都相切，下列结论正确的是（　　）
A．平面
B．球的表面积为
C．球被三棱锥表面截得的截面周长为
D．过点与直线所成角均为的直线可作条
12．已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（　　）
A．
B．关于点对称
C．
D．
三、填空题
13．某学校考试数学成绩服从正态分布，且，则成绩在的概率为　 　．
14．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为　 　.
15． 若向量满足，且在上的投影向量为，则　 　.
16．已知双曲线C的中心为原点.焦点在x轴上，焦距为8，且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则C的标准方程为　 　.
四、解答题
17．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）若点 在边 上，且 ，求 ．
18．已知数列是由正数组成的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
19．某中学对50名学生的“学习兴趣”和“主动预习”情况进行长期调查，得到统计数据如下表所示：
　 主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（1）现从“学习兴趣一般”的25名学生中，任取2人，用表示其中“会主动预习”的学生的人数，求的分布列与数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，分析“学习兴趣”是否与“主动预习”有关.
参考数据 附表及公式：.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．
21．在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：
（1）求四棱锥的体积；
（2）若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．
22．已知函数.
（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C
12．【答案】B,D
13．【答案】0.68
14．【答案】
15．【答案】0
16．【答案】
17．【答案】（1）解：在 中，因为 ， ， ，
由余弦定理可得
（2）解：因为点 在边 上，且 ，所以 ， ，
又因为 ，
在 中，
由余弦定理得 ，可得 ．
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，由，得，
是由正数组成的等比数列，则，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以
（2）解：，
所以
.
19．【答案】（1）解：依题意，随机变量，随机变量的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望是
（2）解：提出零假设：假设“学习兴趣”与“主动预习”无关.
，
因此在犯错率小于0.001的条件下，认为“学习兴趣”与“主动预习”有关.
20．【答案】（1）解：椭圆C的离心率为，
又点M到右焦点距离的最大值为，即，
解得，．
又由，可得．
∴椭圆C的方程为：．
（2）解：由题意，设直线l的方程为，
联立得，
设，，
则，，
，
当且仅当即时取等号．
∴所求直线l的方程为或．
21．【答案】（1）解：在图1中，∵，∴，
又，∴，
又，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形．
在图2中，连接，则，
又平面，
，∴平面，
∵平面，∴
∵，平面，
∴平面
（2）解：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
设面的一个法向量为，
由
令，则，取
所以，∴，从而二面角为直二面角
22．【答案】（1）：，，
因为函数在其定义域内为增函数，所以，恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，要满足，时恒成立，
则，∴.
（2）解：设函数，，
则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即.
①时，，
∵，∴，，，则，不符合条件；
②时，，
由，可知，
则在单调递增，，整理得.
综上所述，.
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