03函数的概念与性质-天津市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）（含解析）

03函数的概念与性质-天津市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版）
一、单选题
1．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数．若．则实数（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2022上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）奇函数在定义域上是减函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）幂函数的图像过点，则它在上的最小值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．
4．（2023上·天津红桥·高一天津市复兴中学校考期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
5．（2023上·天津红桥·高一天津市复兴中学校考期末）下列四个函数中，在区间上是减函数（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022上·天津南开·高一天津市第九中学校考期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·天津南开·高一南开中学校考期末）已知命题p：函数是R上的减函数，命题q：对都成立.若命题p和命题q中有且只有一个真命题，则实数a的取值范围（ ）
A．（2，3） B． C．（2，4） D．（3，4）
8．（2020上·天津·高一校联考期末）下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2022上·天津南开·高一南开大学附属中学校考期末）已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021上·天津南开·高一统考期末）定义区间，，，的长度均为，用表示不超过的最大整数，例如，，记，设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则 .
12．（2024上·天津红桥·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则 ．
13．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
14．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知，函数，当时，不等式则的解集是 ；若函数的图象与x轴恰有2个交点，则的取值范围是 .
15．（2022上·天津滨海新·高一校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是 .
16．（2022上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 .
17．（2022上·天津河北·高一统考期末）已知函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则 ．
三、解答题
18．（2023上·天津·高一统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，且．
(1)求的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
(3)设，求的最小值．
19．（2023上·天津·高一统考期末）已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求实数a的值；
(3)直接写出的单调区间．
20．（2022上·天津南开·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数的解析式，并画出函数的图象；
(2)根据图象写出函数的单调区间及值域．
21．（2023上·天津南开·高一天津大学附属中学校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分
(1)请画出函数当时的图象；
(2)写出函数的解析式，值域，增区间．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】代入分段函数依次计算即可.
【详解】结合题意可得： ，
，
解得：.
故选：B.
2．A
【分析】根据奇函数性质，将不等式化为，再根据单调性以及定义域列式可求出结果.
【详解】因为函数在定义域上为奇函数，
所以，
又函数在定义域上是减函数，
所以，解得.
故选：A
3．D
【分析】先求出解析式，利用单调性求出在上的最小值.
【详解】设幂函数.
因为幂函数的图像过点，所以，解得：.
所以.
所以在上单调递减，
所以在上的最小值为.
故选：D
4．C
【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.
【详解】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
故选：C
5．A
【分析】分别考虑对应函数的单调性即可求解.
【详解】对于A：因为0<0.5<1,所以函数在区间上是减函数，符合题意；
对于B：，函数在单调递减，单调递增，不符合题意；
对于C：函数在区间上是增函数，不符合题意；
对于D：函数在区间上是增函数，不符合题意.
故选：A.
6．D
【分析】利用基本初等函数的单调性与奇偶性可判断ABC选项；利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数为奇函数，且在定义域内不单调，A不满足条件；
对于B选项，函数为非奇非偶函数，且在上为增函数，B不满足条件；
对于C选项，函数为奇函数，且在上为减函数，C不满足条件；
对于D选项，设，该函数的定义域为，
，，故函数为奇函数，
因为，则函数在、上均为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上为增函数，D满足条件.
故选：D.
7．B
【分析】分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.
【详解】函数是上的减函数
，解得：
对都成立
,则，解得：，
当命题成立命题不成立时：，解得：不存在
当命题成立命题不成立时，，解得：
实数取值范围为：
故选：B
8．A
【分析】利用不等式的性质及幂函数的单调性逐一分析即可.
【详解】对于A，因为不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号不变，所以由得，故A结论错误；
对于B，因为在上单调递增，所以由可得，故B结论正确；
对于C，因为，所以，由于不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变，所以，即，故C结论正确；
对于D，因为，由不等式的正数可平方性可得，即，故D结论正确.
故选：A.
9．A
【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.
【详解】令，
因为，当时，总有，即，
即，当时，总有，
所以在上递增，又因为，
所以，，
所以在上是偶函数，
又因为，
所以，即，
所以，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.
10．A
【分析】先化简，再化简，再分类讨论，当时，当时，当时，最后根据讨论的结果求出区间长度即可.
【详解】，
由得，即，
当时，，不等式为，即，则为；
当时，，不等式为，则为；
当时，，不等式为，则为，
此时区间的长度为.
故选：.
11．3
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再求出函数值即得.
【详解】依题意，，解得，因此，
所以.
故答案为：3
12．/
【分析】由题意将点代入即可求得幂函数表达式，然后代入即可得解.
【详解】不妨设幂函数表达式为，由题意有，解得，
所以幂函数表达式为，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解.
【详解】由题意可知：在上恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】分段函数根据不同分段分别求解，分段不确定时先讨论分段.
【详解】，，则当，得；
当，得；
综上，当时，不等式则的解集是.
函数的图象与x轴恰有2个交点等价于恰有两个根，
又，.
故当，根为1、2，符合题意；
当，根为1、2、3，不合题意；
当，根为1、3，符合题意；
当，根为3，不合题意；
故的取值范围是.
故答案为：；.
15．
【分析】奇函数在上单调递减，故得到在上单调递减，
解不等式即可.
【详解】因为在上单调递减且是奇函数，则在上单调递减,
可得在上是单调递减的.
因为且是奇函数，即,
所以，
解得，
所以的取值范围.
故答案为:
16．
【分析】先利用常数分离法化得函数，再构造函数，判断得为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.
【详解】因为，，
令，，则，
因为定义域关于原点对称，，
所以是在上的奇函数，
故由奇函数的性质得，
所以，
所以，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.
17．
【分析】结合函数周期性及奇偶性特征即可求解.
【详解】∵函数是定义在上周期为2的奇函数,
∴,
故答案为：.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性可得，由即可得，代入可得解析式；（2）根据函数单调性定义按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；（2）利用换元法根据一元二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类即可.
【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，
所以，即，　　　
因为，
所以，
即的解析式为.
（2）设，且，则

　　
由，得,
又由，得，
于是,即，
所以在区间上单调递增.
（3）令，由（2）可知，即， 　
设，，易知关于对称；
①当时，，　
②当时，
③当时，，　
综上可得
19．(1)；
(2)
(3)单调递增区间，单调递减区间，
【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可；（2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值；（3）画出函数图象即可直接写出单调区间．
【详解】（1）根据分段函数解析式可得，
易知；所以 　
即.
（2）①当时，，
解得，或（舍）. 　
②当时，，解得（舍）.
综上可得.
即实数a的值为
（3）画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间，单调递减区间，
20．(1)，图象见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出，再根据解析式即可画出图象；
（2）根据图象即可求解.
【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，当时，，
则当时，，则，
所以；
画出函数图象如下：
（2）根据函数图象可得，的单调递减区间为，，
单调递增区间为，，
函数的值域为.
21．(1)图象见解析
(2)，的值域为，增区间为，.
【分析】（1）根据偶函数的性质可作时的图象.
（2）根据函数图象可得时函数的解析式，根据偶函数的性质可求，结合图象可求其值域和增区间.
【详解】（1）时函数的图象如图所示：
（2）由题设中的图象可得，有两个解，它们分别为，
故可设，而，
故，解得，故当时，.
而当时，，，
因为偶函数，故，
所以.
从题设的函数图象可得，当时，的取值范围为，
因为为偶函数，故的值域为，
当时，在上为增函数，在为减函数，
因为为偶函数，故在上为减函数，在为增函数，
故的增区间为，.
答案第1页，共2页
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