04指数函数与对数函数-天津市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版，2019新版）（含解析）

04指数函数与对数函数-天津市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教版A版）
一、单选题
1．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知，，．则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数，则（ ）
A．为奇函数，且在是增函数 B．为偶函数，且在是增函数
C．为奇函数，且在是减函数 D．为偶函数，且在是减函数
3．（2024上·天津和平·高一统考期末）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·天津和平·高一统考期末）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·天津红桥·高一统考期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·天津红桥·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020上·天津和平·高一天津一中校考期末）函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）设，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·天津河西·高一统考期末）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2024上·天津和平·高一统考期末）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 .
13．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
14．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）计算： ．
15．（2020上·天津东丽·高一统考期末）已知函数，当方程有两解时， 的取值范围是 .
16．（2023上·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知且，若，，则 .
17．（2022上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）函数的定义域为 ．
18．（2022上·天津东丽·高一统考期末）计算： .
三、解答题
19．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知函数，且，
(1)求函数的定义域，并在判断函数的奇偶性后加以证明：
(2)当时，
（i）判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义加以证明；
（ii）解关于的不等式：.
20．（2024上·天津和平·高一统考期末）（1）计算：，（式中字母均为正数）；
（2）求值：.
21．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求、的值及的解析式；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．（2023上·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知函数的定义域为集合，集合．
(1)若全集，，求；
(2)若，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.
【详解】因为，，
而，即，所以.
故选：D.
2．A
【分析】根据函数的奇偶性可排除B,D，再利用指数函数的性质可判断出函数在区间上的单调性，即可判断A正确，C错误.
【详解】已知函数的定义域为,
且，
所以函数为奇函数，则B,D错误；
又函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以在上是增函数，
故A正确，C错误，
故选:A.
3．A
【分析】根据给定函数，利用指数函数、二次函数单调性，结合得便函数单调性求出的单调递增区间，再借助集合的包含关系求解即得.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，
依题意，，则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
4．D
【分析】根据给定条件，利用换底公式、指对数函数的性质，结合媒介数比较大小即得.
【详解】函数在上单调递增，，则，
于是，而，
所以.
故选：D
5．C
【分析】首先判断函数的单调性，利用零点存在定理判断即可.
【详解】因为函数与在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，由，
所以在上存在唯一零点.
故选：C.
6．A
【分析】根据题意，结合指数函数的图象与性质，令，即可求解.
【详解】由函数（且）
令，即，可得，所以函数的图象恒过定点.
故选：A.
7．B
【分析】直接由指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】由题意可得.
故选：B.
8．B
【分析】画出函数图象，根据和有3个不同的交点可得出.
【详解】当时，先画出的图像，
再将轴下方的图像翻折到轴上方，即可，
再画出时的图象，
函数有3个不同的零点，
等价于和有3个不同的交点，
则观察图象可得，.
故选：B.
9．D
【分析】根据单调递增可排除A、C，再根据指数函数过定点可排除B.
【详解】因为，则单调递增，故A、C错误；
又因为过定点，故B错误；
对于选项D：可知单调递减，则，所以与y轴交于0和1之间，故D正确.
故选：D.
10．A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：A.
11．C
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：C.
12．
【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，计算出的值，再将代入，即可得解.
【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为，则，可得，
将代入，得，
所以它的游速为.
故答案为：
13．
【分析】根据条件知是定义域上的递增函数，则可求得，此时符合题意.
【详解】因为且，
所以是定义域上的递增函数，
且时，有，所以，
此时函数在上单调递增，符合题意，
故实数数的取值范围是，
故答案为：.
14．
【分析】根据对数的定义以及指数幂运算求解.
【详解】原式.
故答案为：.
15．
【分析】作出函数的图象，观察直线与函数的图象的交点，由此可得出实数的取值范围.
【详解】，作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，所求的的取值范围是.
故答案为：.
16．
【分析】利用指数幂的运算性质可求得的值.
【详解】因为且，若，，则.
故答案为：.
17．
【分析】根据对数的真数大于，解不等式可得结果.
【详解】由，得，
得或.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
18．
【分析】根据根式，指数幂的运算法则及对数的运算性质即得.
【详解】,
故答案为：2.
19．(1)定义域为，奇函数，证明见解析；
(2)（i）减函数，证明见解析；（ii）.
【分析】（1）借助对数函数定义求出定义域，再利用奇偶函数定义判断证明即得.
（2）（i）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得；（ii）利用单调性脱去法则，再解指数不等式即得.
【详解】（1）函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为；
显然，
所以函数是奇函数.
（2）（i）当时，在上单调递减，
，，
因为，则，，
因此，，即，
所以函数是上的减函数.
（ii）由（1）知，，
而函数是上的减函数，则，即，
解，即，得，解，即，得，
解，即，得，因此，
所以原不等式的解集为.
【点睛】思路点睛：解涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）利用指数运算法则，结合根式与分数指数幂的互化计算即得.
（2）利用对数运算及换底公式计算即得.
【详解】（1）.
（2）.
21．(1)；；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由由题意可得，解方程即可求出、的值及的解析式；
（2）由增函数的定义证明即可；
（3）由题意可得，再结合的单调性和定义域列出关于的不等式，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：，则，解得：，
所以，经检验满足题设.
（2）且，
所以
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）不等式恒成立，即，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为：.
22．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，，再结合补集、交集的定义，即可求解；
（2）由已知条件，推得，再分是否为空集讨论，即可求解．
【详解】（1）函数有意义，有，解得，
函数定义域为，即，
时，不等式，解得，即集合，
则或，所以；
（2），则，
当时，，符合题意，
当时，集合，
则，解得，故，
综上所述，实数的取值范围为．
答案第1页，共2页
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