专题2.15 圆与圆的位置关系-重难点题型精讲
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
2．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
3．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
4．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有圆:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型1 圆与圆的位置关系及判定】
【方法点拨】
判断圆与圆的位置关系的一般步骤：
①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要) ;②分别求出两圆的圆心坐标和半
径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤根据大小关系确定位置关系.
【例1】（2022·河南·高二阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【解题思路】首先确定两圆的圆心与半径，再求出圆心距，即可判断.
【解答过程】解：由得圆心坐标为，半径，
由得圆心坐标为，半径，
∴，，，∴，即两圆相交．
故选：B．
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【解题思路】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【解答过程】由题意，知圆的圆心，半径.
圆的方程可化为，则其圆心，半径.
因为两圆的圆心距，故两圆外切.
故选：C.
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【解题思路】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【解答过程】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
【变式1-3】（2022·安徽·高三开学考试）已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．相交
【解题思路】由直线过定点且定点在圆内，当弦最短时直线垂直，根据斜率乘积为求出，进而求出圆的方程，再根据圆心距与两圆半径的关系确定答案.
【解答过程】易知直线即过定点，因为，故在圆内.
故弦最短时直线垂直，又，所以，解得，
此时圆的方程是.
两圆圆心之间的距离，半径分别为5，3
又，所以这两圆外离.
故选：B.
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【方法点拨】
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值
范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【解题思路】根据两圆内切或外切即可求解.
【解答过程】，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，
所以圆与圆相内切或外切，
所以或，
所以或，
故选：．
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，则m的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【解题思路】直接利用圆心距等于两圆的半径之和列方程即可求解.
【解答过程】因为圆C与圆O外切，所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和，即，解得．
故选：B．
【变式2-2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【解题思路】根据两圆内切或外切可得圆心距，从而可求实数a.
【解答过程】圆：的圆心为,
圆：的圆心为,
，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，
故或，从而或，
所以或，解得：或，
所以实数a等于34或14，
故选：D.
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解题思路】确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.
【解答过程】由可得，所以圆的圆心为，半径为，
由可得，所以圆的圆心为，半径为，
因为两圆相外切，所以，解得，
故选：D.
【题型3 与两圆相切有关问题】
【方法点拨】
处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切
两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时) 或两圆
半径之和(外切时) .
【例3】（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解题思路】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【解答过程】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出，即可得出.
【解答过程】根据题意可知，，
如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，
由几何关系可知，，，，
所以，，，，l的斜率为，
则l的方程为，即，
根据对称可得出另一条公切线方程为.
故选：B．
【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题知两圆的位置关系为外切或相离，进而根据圆心距与半径和的关系求解即可.
【解答过程】解：将化为标准方程得，即圆心为半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆至少有三条公切线，
所以两圆的位置关系为外切或相离，
所以，即，解得.
故选：D.
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得.
【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点，
由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，
则，，，
，为的中点，为的中点，，
由勾股定理可得.
故选：C.
【题型4 两圆的公共弦问题】
【方法点拨】
解决两圆公共弦问题的一般步骤：
第一步：判断两圆有没有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；
第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；
第四步：利用勾股定理求出公共弦长.
【例4】（2022·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将两圆方程作差可得出两圆相交弦所在直线的方程.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，则，
所以，圆与圆相交，
将两圆方程作差得，即.
因此，两圆的相交弦所在直线的方程为.
故选：A.
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【解题思路】根据圆与圆的方程相减得公共弦的方程，再根据垂径定理求解即可.
【解答过程】圆与圆的方程相减得，即．
又到直线的距离为1，
所以公共弦长为．
故选：A.
【变式4-2】（2022·全国·高二专题练习）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【解题思路】圆方程相减得到公共弦方程，计算圆心到直线的距离，计算弦长得到答案.
【解答过程】由题意知，，
将两圆的方程相减得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆：，圆心为，半径，
所以圆的圆心到直线的距离.
所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选：C.
【变式4-3】（2022·江苏·高二开学考试）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【解题思路】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得 到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；
【解答过程】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为 ，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则 到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以 到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C.
【题型5 圆系方程及其应用】
【方法点拨】
求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和
半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求
解，这样会使运算简捷.
【例5】（2022·江西省高一阶段练习（理））求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.
【解答过程】与相减得：，
将代入得：，
即，
设两圆和的交点为，
则，，则，
不妨设，
所以线段的中点坐标为，
因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，
所以线段的垂直平分线为，
与联立得：，
故圆心坐标为，半径，
所以圆的方程为，
整理得：，
故选：D.
【变式5-1】（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【解题思路】求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【解答过程】由，
解得两圆交点为与，
因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1），
所以垂直平分线为y＝﹣x+2，
由，
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1），
所以r，
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13，即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0，
故选：A.
【变式5-2】（2021·全国·高二专题练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程可设所求圆的方程为,把点代入方程,求出即可.
【解答过程】设所求的圆的方程为,
把点代入可得,,
解得,所以所求圆的方程为,
故选:A.
【变式5-3】（2021·江苏·高二专题练习）若圆的圆心在直线上，且经过两圆和的交点，则圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【解题思路】求出过两点的垂直平分线方程，再联立直线，求得圆心，结合点到直线距离公式即可求解
【解答过程】设两圆交点为，联立，
得或，，
则中点为，
过两点的垂直平分线方程为，
联立，
得，故圆心为，
由点到直线距离公式得
故选：C.
【题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】
【方法点拨】
对于实际生活中直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，通常采用建立平面直角坐标系来解决，一般步骤如
下：
第一步：认真审题，理解题意，把题中的实际问题转化为直线与圆、圆与圆的有关问题；
第二步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将实际问题转化为解析几何
问题；
第三步：通过点的坐标及方程的有关运算解决问题；
第四步：将运算结果“翻译”成实际问题中的结论；
第五步：检验与作答.
【例6】（2021秋 濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【解题思路】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，通过F，M在圆上，求出变量的值，得到圆的方程．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x代入圆的方程，求出y，然后求出限高．
【解答过程】解：（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，
以1m为单位长度建立直角坐标系．
则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），
由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为（x﹣0）2+（y﹣b）2＝r2，
因为F，M在圆上，所以，
解得b＝﹣3，r2＝36．
所以圆的方程为x2+（y+3）2＝36．
（2）设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h+0.5，
将P的横坐标x代入圆的方程，
得，
得y＝2或y＝﹣8（舍），
所以h＝|CP|﹣0.5＝（y+|DF|）﹣0.5＝（2+2）﹣0.5＝3.5（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
【变式6-1】（2021·全国·高二专题练习）某品牌的logo是用一系列，，，，，， 为半径的圆截得的，如图所示，右上方是三个半径为的圆，自上而下依次为圆，圆，圆，已知它们的圆心在斜率为的同一直线上，已知圆与轴相切于坐标原点，且圆的圆心在轴上方，圆与轴相切，且圆心在轴右侧，圆与圆外切．
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线方程；
（3）写出圆的标准方程（不用写过程）．
【解题思路】如图建立平面直角坐标系，（1）由于圆与轴相切于坐标原点，所以可得圆的圆心和半径，由于圆与轴相切且．圆心在轴右侧，可得圆心为，从而可求出圆的方程；
（2）两圆方程相减可得公共弦的方程；
（3）圆与圆外切，可得圆的圆心为，从而可求出圆的标准方程
【解答过程】解：由已知：可建立如下平面直角坐标系，
（1）圆与轴相切于点，圆心在轴上方且，
圆：，
而，，三点共线且其斜率为，
，
又圆与轴相切且．圆心在轴右侧，
圆心应在上，
，
圆 ；
（2）由（1）问知：将两圆方程作差得：，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为：，
（3）圆.
【变式6-2】如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y﹣680＝0．
（1）求新桥端点B的坐标；
（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形保护区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．
【解题思路】（1）设出B的坐标，利用AB和BC垂直，利用待定系数法即可得到结论．
（2）要求圆面积的最小值，则只需求得圆半径的最小值即可得到结论．
【解答过程】解：（1）设B（a，b），由题意可知A（0，60），直线BC的斜率k，
则满足条件，即，
解得，即B（80，120）．
（2）要使圆形保护区的面积的最小，则只需求得圆半径最小即可，
∵AB⊥BC，
∴设M（0，t），0≤t≤60，
则M到直线4x+3y﹣680＝0的距离d为减函数，
∴当t＝60时，距离d最小，即当M位于点A（0，60）时，此时圆的半径最小，
此时半径r＝AB100，
圆心M（0，60）．
则圆的面积最小为S＝π×1002＝10000π．
【变式6-3】（2022秋 姜堰区校级期中）某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．
（1）当AP＝1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；
（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设PQ斜率为k，根据直线PQ与圆M相切列方程解出k，得出Q点坐标，从而可计算PQ的长；
（2）设PQ斜率为k，NQ斜率为k1，AP＝a，根据切线的性质得出k，k1与a的关系，求出mNQ+NE，化简即可得出结论．
【解答过程】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．
圆M的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，P（1，0），
设直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），则1，
解得k，∴直线PQ的方程为y（x﹣1），
把x＝4代入直线方程得y，即Q（4，），
∴PQ．
答：木桥PQ的长度为百米．
（2）设AP＝a百米，（0≤a≤1），
设PQ方程为y＝k（x﹣a），则1，
∴2﹣k（2﹣a），
设直线NQ斜率为k1，则直线NQ的方程为y﹣k（4﹣a）＝k1（x﹣4），
令x＝2得N（2，k（4﹣a）﹣2k1），
∴NE＝4+2k1﹣k（4﹣a），
∵直线NQ与圆M相切，∴1，
∴﹣2k1﹣2+k（4﹣a），
∴NQ|4﹣2|＝22[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]，
∴mNQ+NE＝2m[﹣2k1﹣2+k（4﹣a）]+4+2k1﹣k（4﹣a）＝（1﹣2m）[2+2k1﹣k（4﹣a）]+2，
∴当1﹣2m＝0，即m时，NQ+NE＝2．
答：存在常数m，使得NQ+NE为定值2．专题2.15 圆与圆的位置关系-重难点题型精讲
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
2．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
3．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
4．圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：
(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.
(2)与圆同心的圆系方程是.
(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.
(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是
.
(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是
().(其中不含有圆:
,注意检验是否满足题意,以防漏解).
①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程.
②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.
【题型1 圆与圆的位置关系及判定】
【方法点拨】
判断圆与圆的位置关系的一般步骤：
①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要) ;②分别求出两圆的圆心坐标和半
径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤根据大小关系确定位置关系.
【例1】（2022·河南·高二阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【变式1-3】（2022·安徽·高三开学考试）已知直线与圆交于两点， 则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外离 C．外切 D．相交
【题型2 由圆与圆的位置关系确定参数】
【方法点拨】
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值
范围，注意相切和相离均包括两种情况.
【例2】（2022·全国·高二单元测试）已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（ ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆外切，则m的值为（ ）
A．1 B．9 C．10 D．16
【变式2-2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）若圆与圆相外切，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【题型3 与两圆相切有关问题】
【方法点拨】
处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切
两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时) 或两圆
半径之和(外切时) .
【例3】（2022·全国·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式3-1】（2022·全国·高二专题练习）下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 两圆的公共弦问题】
【方法点拨】
解决两圆公共弦问题的一般步骤：
第一步：判断两圆有没有公共弦；
第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；
第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；
第四步：利用勾股定理求出公共弦长.
【例4】（2022·全国·高二专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高二课时练习）圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【变式4-2】（2022·全国·高二专题练习）已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式4-3】（2022·江苏·高二开学考试）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【题型5 圆系方程及其应用】
【方法点拨】
求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和
半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求
解，这样会使运算简捷.
【例5】（2022·江西省高一阶段练习（理））求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【变式5-2】（2021·全国·高二专题练习）过点以及圆与圆交点的圆的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2021·江苏·高二专题练习）若圆的圆心在直线上，且经过两圆和的交点，则圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0 B． C．2 D．
【题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用】
【方法点拨】
对于实际生活中直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，通常采用建立平面直角坐标系来解决，一般步骤如
下：
第一步：认真审题，理解题意，把题中的实际问题转化为直线与圆、圆与圆的有关问题；
第二步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将实际问题转化为解析几何
问题；
第三步：通过点的坐标及方程的有关运算解决问题；
第四步：将运算结果“翻译”成实际问题中的结论；
第五步：检验与作答.
【例6】（2021秋 濮阳期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．
（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【变式6-1】（2021·全国·高二专题练习）某品牌的logo是用一系列，，，，，， 为半径的圆截得的，如图所示，右上方是三个半径为的圆，自上而下依次为圆，圆，圆，已知它们的圆心在斜率为的同一直线上，已知圆与轴相切于坐标原点，且圆的圆心在轴上方，圆与轴相切，且圆心在轴右侧，圆与圆外切．
（1）求圆的方程；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线方程；
（3）写出圆的标准方程（不用写过程）．
【变式6-2】如图：为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M（在线段OA上）与BC相切的圆．建立如图所示的直角坐标系，已知新桥BC所在直线的方程为：4x+3y﹣680＝0．
（1）求新桥端点B的坐标；
（2）当圆形保护区的圆心M在古桥OA所在线段上（含端点）运动时，求圆形保护区的面积的最小值，并指出此时圆心M的位置．
【变式6-3】（2022秋 姜堰区校级期中）某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．
（1）当AP＝1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；
（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．
