专题2.16 圆与圆的位置关系-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·广东·高二期中）“”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．（3分）（2022·广东汕头·高二阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
7．（3分）（2022·全国·高二专题练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2021·重庆市高二期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
10．（4分）（2022·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
11．（4分）（2022·全国·高二专题练习）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆C1始终有两个交点
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·福建莆田·高一阶段练习）求经过点以及圆与交点的圆的方程 .
14．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆有3条公切线，则正数a= .
15．（4分）（2022·江苏·高二阶段练习）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程．
18．（6分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
20．（8分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1（1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程；
（2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆相外切．
(1)求m的值；
(2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
22．（8分）（2022·江苏·高二）在①直线与、均相切，②直线截、、所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.
问题：年是中国传统的农历“鼠年”，现用个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，是的圆心，且过原点；点、在轴上，、的半径均为，、均与外切.直线过原点.若___________，求直线截所得的弦长.专题2.16 圆与圆的位置关系-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·广东·高二期中）“”是“圆与圆相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据圆与圆的位置关系及充分条件，必要条件的概念进行判断即可得出答案.
【解答过程】时，圆的圆心坐标为 ,半径为2，可得两圆相切
所以“”是两圆相切的充分条件；
若圆与圆相切，
当两圆外切时，；当两圆内切时，解得或，
所以“”不是两圆相切的必要条件，选项A正确.
故选：A.
2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知两圆和没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【解题思路】根据圆心距与半径和、半径差的关系可求实数a的取值范围.
【解答过程】由已知，得两圆的圆心分别为，，半径分别为1，5，
故圆心距．
因为两圆没有公共点（外离或内含），所以或，解得或或．
故选：A.
3．（3分）（2022·广东汕头·高二阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【解答过程】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【解题思路】设动圆圆心为，两半径相加，内切两半径相减，即可求解
【解答过程】设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则，∴；
若动圆与已知圆内切，则，∴．
故选：D.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆的半径，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，利用、 可得答案.
【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为，
过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为，则所求圆的半径为，
设所求圆的圆心为，且圆心在直线的上，
所以，且，解得（不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为.
故选：C．
6．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知圆：和圆：，则（ ）
A．公共弦长为 B．公共弦长为
C．公切线长 D．公切线长
【解题思路】根据已知条件求得公共弦所在直线方程，利用直线截圆所得弦长的计算公式，即可求得结果.
【解答过程】因为圆的圆心为，半径；对圆，其圆心为，半径，
圆心距，又，故两圆相交，设交于两点.
故所在直线方程为：，
整理得：，故到直线的距离，
故.
故选：B.
7．（3分）（2022·全国·高二专题练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】当最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC：与联立联立求得，和PC的中点坐标及，可得以PC为直径的圆的方程与圆C的方程相减可得答案．
【解答过程】由于PA，PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，
所以 ，
当最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC：，即，
联立得所以，
PC的中点为，，
以PC为直径的圆的方程为，
即，
与圆C：两圆方程相减可得直线AB的方程．
故选：B．
8．（3分）（2021·重庆市高二期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线、的方程，设点，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性可求得的取值范围.
【解答过程】连接、，设直线分别切圆、圆于点、，连接、，
由题意可知，是边长为的等边三角形，
由于三个圆心、、都在坐标轴上，则为线段的中点，
所以，、、，故圆的方程为，
由圆的几何性质可知，且，故四边形为矩形，
所以，，同理可证，所以，直线的斜率为，
设直线的方程为，由图可知，
因为直线与圆相切，则，因为，解得，
所以，直线的方程为，即，
同理可求得直线的方程为，
设点，则
，
，
所以，
.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
【解题思路】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【解答过程】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
10．（4分）（2022·江苏南通·高二期末）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（ ）
A．
B．过作圆的切线，切线长为
C．过点A且与圆相切的直线方程为
D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为
【解题思路】根据给定条件，求出点A，B的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答.
【解答过程】依题意，由解得，则，
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，A正确；
过作圆的切线，切线长为，B不正确；
直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为，
即，C正确；
因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上，
而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确.
故选：ACD.
11．（4分）（2022·全国·高二专题练习）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【解题思路】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误.
【解答过程】对于A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于B，圆的圆心为（1，0），，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12．（4分）（2022·江苏·高二开学考试）已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆C1与圆C2相离
C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆C1始终有两个交点
【解题思路】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可.
【解答过程】因为，，
对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误；
对B，当时，，两圆相离，故B正确；
对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误；
对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.
故选：BD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·福建莆田·高一阶段练习）求经过点以及圆与交点的圆的方程 .
【解题思路】方法一，按照圆系方程设为，再代入点，即可求解；方法二，首先求两圆的交点，再根据交点特征，设出圆的方程，代入交点以及点后，即可求解.
【解答过程】方法一：将化为一般式，所求圆经过两圆的交点，则可设所求圆的方程为，整理得：；
此圆经过,代入上述方程得，解得,
所以该圆的方程为，即.
方法二：圆与的交点为，因为圆心在轴上
设所求圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，化为一般式为.
故答案为：.
14．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆有3条公切线，则正数a= 3 .
【解题思路】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.
【解答过程】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴
故答案为：3.
15．（4分）（2022·江苏·高二阶段练习）设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为 .
【解题思路】利用两圆的方程相减即可求解.
【解答过程】因为圆，圆，
由得，，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为.
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为 或 ．
【解题思路】根据两圆无公共点,可知两圆相离或者内涵,故根据圆心距和两圆半径的关系即可求解.
【解答过程】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
圆心距，
因为两圆没有公共点，所以两圆外离或内含，
则或，即或，
又因为，所以或．
故答案为:或．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．
(1)求公共弦AB的长度；
(2)求圆E的方程．
【解题思路】（1）由题可得圆心和半径，利用弦长公式即求；
（2）由题可设，进而可得，再利用弦长可得圆E的半径，即求；或由题可设圆E的方程为，结合条件即求.
【解答过程】（1）
由圆，可得，
所以圆心，半径为，又直线，
∴圆心到直线的距离为，
∴公共弦AB的长度为；
（2）
方法一：由题可设，则，
∴，解得，即，
又到直线的距离为，
所以圆E的半径为，
∴圆E的方程为.
方法二：由题可设圆E的方程为，
即，又圆E的圆心在直线上，
∴，解得，
∴圆E的方程为.
18．（6分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆，圆.
(1)求圆与圆的公共弦长；
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【解题思路】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，
（2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【解答过程】（1）
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即，化简得，
所以圆的圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以公共弦长为.
（2）
解法一：
设过两圆的交点的圆为，
则；
由圆心在直线上，则，解得，
所求圆的方程为，即.
解法二：
由（1）得，代入圆，
化简可得，解得；
当时，；当时，；
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得；
所以；
所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为.
19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【解题思路】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
【解答过程】（1）
证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）
解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）
解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
20．（8分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知圆C1：，圆C2：，其中－1（1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程；
（2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长.
【解题思路】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；
（2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解.
【解答过程】（1）当时，由得，
由得，
∴圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
∴圆心距，所以两圆内切；
因为两圆内切，所以公切线只有一条，
两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：；
（2）两圆公共弦所在直线l的方程为：，
圆的圆心到直线l的距离，
于是，或舍，
所以直线l的方程为；
因为圆半径，弦心距，
由勾股定理可得半弦长为，
所以公共弦长为.
21．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆相外切．
(1)求m的值；
(2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【解题思路】（1）分别求得圆、的圆心坐标和半径，根据两圆外切，可得圆心距等于两圆半径和，列出方程，即可得答案.
（2）由题意求得A、B点坐标，设P点坐标为，即可求得直线PA的、PB的方程，进而可求得M、N点坐标，即可求得四边形ABNM的面积表达式，化简整理，即可得证.
【解答过程】（1）
由题意得：圆的圆心坐标，半径为，
圆整理可得，其圆心坐标，半径为3，
由两圆外切得，解得；
（2）
由题意得：点A坐标为，点B坐标为，
设P点坐标为 ，
则直线PA的方程为，直线PB的方程为，
所以点M的坐标为，点N的坐标为，
则四边形ABNM的面积
，
由点P在圆上，可得，代入上式，
所以四边形ABNM的面积，
即四边形ABNM的面积为定值4．
22．（8分）（2022·江苏·高二）在①直线与、均相切，②直线截、、所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.
问题：年是中国传统的农历“鼠年”，现用个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，是的圆心，且过原点；点、在轴上，、的半径均为，、均与外切.直线过原点.若___________，求直线截所得的弦长.
【解题思路】写出圆的方程，根据圆、圆与圆外切，可求得圆、圆的方程.
选①，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据直线与圆相切可求得，再计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得结果；
选②，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，根据已知条件结合点到直线的距离公式、勾股定理可得出关于的等式，求出的值，即可求得直线截圆所得的弦长.
【解答过程】解：由题意可知，圆的半径为，则圆的方程为，
设点，
因为半径为的圆与圆外切，可得，即，，可得，
所以，圆的方程为，同理可知圆的方程为，
选①，若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆相离，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由题意可得，解得，所以，直线的方程为或，
圆心到直线的距离为，
此时，直线截圆所得弦长为；
选②，若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆相离，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，且，
由题意可得，整理可得，可得，
此时，直线截圆所得弦长为.
