专题2.17 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知，，以为直径；
(2)圆心为点且与直线相切.
2．（2022·浙江·高二期末）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于，，求.
3．（2022·河南开封·高二阶段练习）已知为圆上任意一点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最大值和最小值.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点是直线上一动点， ，是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为多少？
5．（2022·四川·高二开学考试（文））已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程.
6．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，过点引圆的切线，切线长为3.
(1)求的值；
(2)若点是圆上一动点，点是曲线上一动点，求的最小值.
7．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆的方程为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．
8．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆M：，Q是x轴上的动点，、分别与圆相切于两点.
(1)若，求切线方程；
(2)求四边形面积的最小值；
9．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程
(2)若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程.
10．（2022·福建福州·高二期末）圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
11．（2022·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线与圆C：交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
12．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线和直线．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为，求m的值．
14．（2022·全国·高二课时练习）已知圆及直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
15．（2022·全国·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．
16．（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
17．（2022·云南·高二开学考试）已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
18．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C过点 ，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半，求的值；
(2)当时，若圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．
20．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若，求直线MQ的方程．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
23．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆．
(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
24．（2022·四川省高二开学考试）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的方程；
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
25．（2022·内蒙古·高一期中）已知点，圆：．
(1)判断点与圆的位置关系，并加以证明；
(2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；
(3)若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围．
26．（2021·吉林高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
27．（2022·江苏省高二开学考试）已知直线与圆.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
28．（2022·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
29．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；
(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
30．（2022·江苏南京·高二开学考试）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
(1)求的方程；
(2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.专题2.17 直线与圆的方程大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第一册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022·全国·高二课时练习）求满足条件的圆的标准方程：
(1)已知，，以为直径；
(2)圆心为点且与直线相切.
【解题思路】（1）根据题意得到圆心，半径为，即可得到答案.
（2）根据直线与圆的位置关系求解即可.
【解答过程】（1）
圆心为的中点，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）
点C到直线的距离为，
所以圆的标准方程为.
2．（2022·浙江·高二期末）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于，，求.
【解题思路】（1）由题意，设圆心且半径，由圆所过的点列方程求参数，结合与轴的正半轴相切确定圆的方程；
（2）利用弦心距、半径与弦长的关系求.
【解答过程】（1）
若圆心，则圆的半径，即，
又圆经过，，则，可得，
所以或，又圆与轴的正半轴相切，
故圆的标准方程为.
（2）
由（1）知：到直线的距离为，圆的半径为，
所以.
3．（2022·河南开封·高二阶段练习）已知为圆上任意一点.
(1)求的取值范围；
(2)求的最大值和最小值.
【解题思路】（1）问题化为直线与圆有交点，即圆心到直线距离，即可求范围；
（2），问题化为求直线的斜率最值，利用直线与圆有交点，结合点线距离公式求范围，即可得结果.
【解答过程】（1）
因为圆心，半径，
设看成直线方程，其与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以所求的取值范围是.
（2）
记，因为表示直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
因为直线与圆有公共点，所以，可得
所以的最大值为，最小值为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点是直线上一动点， ，是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为多少？
【解题思路】连接，求出圆心和半径，由题意可得，然后由四边形的最小面积是2，可得点C到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式列方程可求得答案.
【解答过程】连接，
由，得，
则圆心，半径为1，
因为 ，是圆C：的两条切线，A、B是切点，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以当四边形的最小面积是2时，点C到直线的距离为，
所以，
解得或（舍去），
5．（2022·四川·高二开学考试（文））已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
(1)求圆的方程；
(2)当时，求直线的方程.
【解题思路】（1）利用圆和直线相切的关系求出圆的半径即可求解；(2)首先当直线斜率不存在时，求出弦长，满足题意；当直线斜率存在时设出直线的方程，利用圆的弦长公式求出，然后利用点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
∵圆与直线相切，
所以到直线的距离，
故圆的方程为：.
（2）
①当直线与轴垂直时，易知直线的方程为：，
此时，圆心到直线的距离为1，
从而弦长，满足题意；
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则，
，所以，
从而，得，
故直线的方程：.
综上所述，直线的方程为：或.
6．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，过点引圆的切线，切线长为3.
(1)求的值；
(2)若点是圆上一动点，点是曲线上一动点，求的最小值.
【解题思路】（1）利用勾股定理进行求解.
（2）设，利用两点间的距离公式，通过配方求解.
【解答过程】（1）
由题意得圆心M的坐标为，
又，故，
因为切线长3，所以，
所以.
（2）
设，则，
故
，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，
故的最小值为.
7．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆的方程为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若圆与直线交于M，N两点，且，求的值．
【解题思路】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可；
（2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值.
【解答过程】（1）
方程可化为，
∵此方程表示圆，
∴，即，即.
（2）
由（1）可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由弦长公式及，得，解得，
∴，得．
8．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆M：，Q是x轴上的动点，、分别与圆相切于两点.
(1)若，求切线方程；
(2)求四边形面积的最小值；
【解题思路】（1）设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设点的坐标，根据求出面积，再分析面积的最小值即可.
【解答过程】（1）
由题意，过点且与轴垂直的直线显然与圆相切，此时，切线方程为，
当过点的直线不与轴垂直时，设其方程为，即，由解得，此时切线方程为.
（2）
连接，因为圆的方程为，所以，，设，所以，根据勾股定理得，所以，所以当时，四边形的面积最小，.
9．（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，动直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程
(2)若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程.
【解题思路】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系 二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程.
（2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x y的范围.
【解答过程】（1）
当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又
所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，
所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，
综上，直线l的方程为或.
（2）
由（1）知直线与圆相交于 两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得，
当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：
，由，得，即切点，
对于的轨迹方程，当时，，
所以，且，
综上，的轨迹方程为且，
10．（2022·福建福州·高二期末）圆的圆心为，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)直线：与圆交两点，且，求．
【解题思路】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；
（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】（1）
解：因为圆的圆心为，且过点,
所以半径，
所以，圆的标准方程为
（2）
解：设圆心到直线的距离为，因为
所以，解得
所以，由圆心到直线距离公式可得．
解得或．
11．（2022·全国·高二课时练习）设O是坐标原点，直线与圆C：交于P、Q两点．
(1)求线段PQ中点M的坐标；
(2)若OP⊥OQ，求该圆的面积．
【解题思路】（1）求得线段垂直平分线的方程，通过求两条直线的交点的方法求得.
（2）联立直线与圆的方程，化简写出根与系数关系，根据列方程，化简求得，从而求得圆的半径，进而求得圆的面积.
【解答过程】（1）
圆的圆心为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线经过，
所以线段的垂直平分线方程为，
由
（2）
由消去并化简得，
设，则，
，
由于，所以，
即，
即，
所以.
所以圆的半径为，
所以圆的面积为.
12．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将代入方程，即可求解，
（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及即可求解.
【解答过程】（1）
由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，
所以圆的方程为：
（2）
当直线轴时，，
当直线有斜率时，设其方程为：，
联立直线与圆的方程，消元得，
设,则，，
由于点在圆外，所以，
因此，
综上，无论l的位置如何变化，，为定值.
13．（2022·全国·高二课时练习）已知曲线和直线．
(1)当曲线C表示圆时，求m的取值范围；
(2)当曲线C表示圆时，被直线l截得的弦长为，求m的值．
【解题思路】（1）通过对变形，结合圆的标准方程计算即得结论；
（2）通过（1）可知，利用点到直线的距离公式计算可知弦心距，利用弦心距 半径与半弦长的关系计算即得结论
【解答过程】（1）
，，
又曲线表示圆，，即，
所以m的取值范围为；
（2）
由（1）可知，圆心坐标为，
又直线，圆心到直线的距离，
直线截得的弦长为，，
解得：.
14．（2022·全国·高二课时练习）已知圆及直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
【解题思路】（1）根据直线过定点，而该点在圆内，即可求解，
（2）由时，圆心到直线的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.
【解答过程】（1）
将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m为何实数，直线与圆恒相交．
（2）
（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,
从而此时，
此时,直线方程为，即.
15．（2022·全国·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．
【解题思路】（1）根据题意，设所求切线方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于实数的等式，解出的值，即可得出所求切线的方程；
（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点在直线上，再由可知当与直线垂直时，取最小值，求出此时的方程，与直线的方程联立可求得点的坐标.
【解答过程】（1）
解：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为，
又圆的标准方程为，
所以，圆心到切线的距离等于圆的半径，
则，解得或，
因此，所求切线的方程为或.
（2）
解：，，
又，，
所以，，则．
所以，点在直线上．
，的长度的最小值就是长度的最小值，
而长度的最小值为到直线的距离，
此时直线的方程为．
由，解得，
因此，使得的长度取得最小值的点的坐标为．
16．（2022·全国·高二课时练习）若直线被圆截得的弦长不大于，求实数的取值范围．
【解题思路】利用直线与圆相交时圆心到直线距离与半径的关系以及所给弦长条件建立不等式求解即得.
【解答过程】解：圆的圆半径为，
设直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离，
由题意，得，即，所以．
又，所以，所以或，
结合，可知或．
综上，实数的取值范围为．
17．（2022·云南·高二开学考试）已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【解题思路】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【解答过程】（1）
把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）
由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知圆C过点 ，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设直线与圆C交于不同的两点A，B，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）设圆的方程，由题意列出方程组，解方程组求得答案；
（2）假设存在符合条件的实数a，可判断圆心 必在直线l上，结合直线l垂直平分弦AB，求得a,再利用直线交圆C于A，B两点，结合判别式求得a的范围，即可得出结论.
【解答过程】（1）
设圆C的方程为，
则有，解得，
所以圆C的方程为，
化为标准方程，得．
（2）
假设存在符合条件的实数a，由于直线l垂直平分弦AB，
故圆心 必在直线l上，所以直线l的斜率，
又，所以．
将与圆C的方程联立，
整理得，由于直线交圆C于A，B两点，
故，解得，与矛盾，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l垂直平分弦AB．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半，求的值；
(2)当时，若圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．
【解题思路】（1）由已知得出，再根据圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半列出关于的等式，求出，即可得到的值；
（2）根据截距为零和截距不为零分情况设出切线的方程，利用圆心到切线的距离为半径构建等式可得到答案。
【解答过程】（1）解：将圆C的方程化为标准方程为，所以圆C的圆心为，半径为．因为圆C截轴所得弦的弦长等于半径的一半，所以，所以，即，解得．
（2）当时将圆C的方程化为标准方程为，其圆心，半径．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为，所以圆心到切线的距离为，即，解得．所以切线方程为或．②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为，所以圆心到切线的距离为，即，解得或．所以切线方程为或．
综上所述，所求切线方程为或或或.
20．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，Q是x轴上的动点，QA、QB分别与圆M相切于A、B两点．
(1)若，求切线方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若，求直线MQ的方程．
【解题思路】（1）根据过点Q的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.
（2）求得四边形面积的表达式，由的最小值求得面积的最小值.
（3）根据以及圆的切线的几何性质求得点坐标，进而求得直线的方程.
【解答过程】（1）
圆的圆心为，半径为1，
当过点Q的切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，与圆相切，符合题意；
当过点Q的切线的斜率存在时，设切线方程为，即kx－y－k＝0，
所以圆心到切线的距离，解得．
所以切线方程为3x＋4y－3＝0．
综上，切线方程为x＝1或3x＋4y－3＝0．
（2）
由题意得四边形QAMB的面积，
所以当MQ⊥x轴时，取得最小值2，
所以四边形QAMB面积的最小值为．
（3）
由题意得圆心M到弦AB的距离为．
设，，则．
又AB⊥MQ，所以，解得，
，
所以或，
所以，
所以直线MQ的方程为或．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知直线过定点，且与圆交于、两点．
(1)求直线的斜率的取值范围．
(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可得出关于的不等式，解之即可；
（2）设，，设直线的方程为，将该直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可计算得出的值.
【解答过程】（1）
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为.
若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由题意可得，解得.
因此，直线的斜率的取值范围是.
（2）
解：设，，设直线的方程为.
联立，得，其中，
所以，，
则 ，
所以为定值.
22．（2022·全国·高二课时练习）已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．
(1)当时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
(3)求过点P的弦的中点的轨迹．
【解题思路】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，
（2）根据直线垂直斜率乘积为，即可得直线的斜率，进而根据点斜式即可求方程，
（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.
【解答过程】（1）
当时，则，此时直线方程为：，故圆心到直线的距离，又，
所以，
（2）
弦AB被点P平分时，则,,所以直线方程为：，
（3）
设中点为，则，由于,
所以，即，
故点是以为圆心，为半径的圆．
23．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆．
(1)直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．
【解题思路】（1）根据直线的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；
（2）根据弦长公式求出，再根据几何性质可知，当时，点P到直线距离的最大值为半径加上圆心到直线的距离，即可解出．
【解答过程】（1）
由题意得C（2，0），圆C的半径为3．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．
综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．
（2）
由题意得圆心C到直线的距离，
设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，
点P到直线距离的最大值为，
则的面积的最大值．
24．（2022·四川省高二开学考试）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线．
(1)求曲线的方程；
(2)若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解题思路】（1）设点的坐标为，由结合平面内两点间的距离公式化简可得出点的轨迹方程；
（2）设为圆上任意一点，先证明出圆在点处的切线方程为，设点、、，可写出直线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可求得直线的方程，化简直线的方程，可求得直线所过定点的坐标.
【解答过程】（1）
解：设点的坐标为，
由可得，，整理可得，
所以曲线的方程为．
（2）
解：设为圆上任意一点，则，
当时，（为坐标原点），
此时，圆在点处的切线方程为，即；
当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足；
当时，圆在点处的切线方程为或，切线方程满足.
因此，圆在点处的切线方程为.
当时，直线的方程为，设点、、，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以，点、的坐标满足方程，
故直线的方程为，即，
由，解得，
因此，直线过定点.
25．（2022·内蒙古·高一期中）已知点，圆：．
(1)判断点与圆的位置关系，并加以证明；
(2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程；
(3)若经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，求点横坐标的取值范围．
【解题思路】（1）把点的坐标代入圆的方程的左边计算结果大于4知点在圆外；
（2）分类讨论斜率是否存在时，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程；
（3）由经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，得到，代入可求的范围．
【解答过程】（1）
把点的坐标代入圆的方程的左边计算，
，
所以点在圆外．
（2）
当时，点的坐标为，
由圆．知圆心为，，
①当直线的斜率不存在，方程为，圆以到直线的距离为2，
所以是圆的切线；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意有，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述，过点与圆相切的直线方程为或
（3）
若存在经过点的直线与圆交于、两点，且点为的中点，
由圆的半径为2，所以，
则有，，当为直径时，有最大值6，
所以有，
解得，
所以横坐标的取值范围为．
26．（2021·吉林高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【解答过程】（1）
因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
（2）
设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
（3）
设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．
27．（2022·江苏省高二开学考试）已知直线与圆.
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点坐标；
(2)设O为坐标原点，若直线l与圆C交于M，N两点，且直线OM，ON的斜率分别为，，则是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【解题思路】（1）由已知可得根据过定点的直线系方程计算方法可得l恒过定点
（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.
【解答过程】（1）
由直线得，
联立，解得，
直线l恒过定点.
（2）
圆的圆心为，半径为，直线过点，
直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在，设直线l方程为，
联立，得，
设，，则，，
是定值，定值为
28．（2022·全国·高二单元测试）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：，l为经过点M的一条动直线．
(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；
(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD的面积．
条件①：直线l平分圆C；条件②：直线l的斜率为－3．
【解题思路】（1）方法一：求出直线l的方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线l的距离，与半径比较得到结论；
方法二：观察到点D在圆C上，求出直线l的斜率及直线的斜率，得到直线l与直线垂直，从而证明出相切；
（2）选择①：得到直线l过圆心C（2，3），求出直线l的方程，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；
选择②：求出直线l的方程，观察到圆心C（2，3）在直线l上，得到D到直线l的距离及的长，从而求出面积；
【解答过程】（1）
方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为，即2x－y－6＝0．
由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径，则圆心C（2，3）到直线l的距离为，
所以直线l与圆C相切．
方法二：由D（4，2）满足C：，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）．
若直线l经过点D，则直线l的斜率，
又，所以，所以l⊥CD．
所以直线l与圆C相切．
（2）
选择条件①：若直线l平分圆C，
则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为，即3x＋y－9＝0．
，点D（4，2）到直线l的距离，
所以．
选择条件②：若直线l的斜率为－3，
则直线l的方程为，即3x＋y－9＝0，
此时圆心C（2，3）在直线l上，则，
点D（4，2）到直线l的距离，所以．
29．（2022·江苏·高二开学考试）已知圆过点，且与直线相切于点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；
(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；
（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；
（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.
【解答过程】（1）
设圆心坐标为，则，解得：，
圆的半径，
圆的方程为：.
（2）
为直角三角形，，，
则圆心到直线的距离；
当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；
当直线斜率存在时，可设，即，
，解得：，
，即；
综上所述：直线的方程为或.
（3）
假设在直线存在点，使为正三角形，，，
设，，解得：或，
存在点或，使为正三角形.
30．（2022·江苏南京·高二开学考试）已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.
(1)求的方程；
(2)设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.
①求曲线的方程；
②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；
（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.
【解答过程】（1）
由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，
，解得：，即圆心为，
圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，
由已知
所以，所以圆的标准方程为；
（2）
设，则，
由得：，所以
D在圆上运动，
整理可得点T的轨迹方程为：
当直线轴时，轴平分，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，
联立化简可得，
方程的判别式，
设，，，
若轴平分，则，所以，
又，，
所以，
所以，
所以
所以
解得，
当时，能使轴平分.
