专题2.2 直线的倾斜角与斜率-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·河南省高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知经过两点，的直线斜率为1，则（ ）
A．－3 B．3 C．1 D．－1
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（3分）（2022·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（理））已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ）
A．－8 B．－5 C．3 D．4
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线：与：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线可能重合
B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能平行
D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合
12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点，，．若为直角三角形，则可能有（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是．
14．（4分）（2022·上海市高三开学考试）已知直线，则当实数 时，.
15．（4分）（2022·河南省高二阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ．
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
18．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.
19．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
22．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线和直线，求分别满足下列条件的的值.
(1)直线过点，且直线和垂直；
(2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为；
(3)若直线和重合.专题2.2 直线的倾斜角与斜率-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·河南省高二阶段练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.
【解答过程】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
2．（3分）（2022·全国·高二专题练习）已知经过两点，的直线斜率为1，则（ ）
A．－3 B．3 C．1 D．－1
【解题思路】由两点式计算斜率为1，即可求出的值.
【解答过程】由题意知，得．
故选：D.
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【解题思路】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.
【解答过程】对于A，若斜率为，但倾斜角不是，此时倾斜角为，故A错，
对B，直线的倾斜角的取值范围是，当直线与轴重合或者平行时，倾斜角为，故B正确，
对于C，当直线垂直于轴时，倾斜角为，但此时直线没有斜率，故C错误，
对于D，当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正值，但倾斜角为钝角时，斜率为负值，故D错误，
故选：B.
4．（3分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..
【解答过程】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，
当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，
又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；
所以.
故选：B.
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知条件：直线与直线垂直，条件：，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由两条直线垂直可求得，结合充要条件的定义即可求出答案.
【解答过程】直线与直线垂直，所以，则，所以是的充要条件.
故选：A.
6．（3分）（2022·全国·高二专题练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
【解题思路】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.
【解答过程】，，则，
所以,与不平行，
因此
故构成的图形为直角梯形.
故选：B.
7．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围.
【解答过程】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为，
所以且，即 .
故选：C.
8．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（理））已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】数形结合，计算，判断斜率不存在的情况，从而写出斜率的取值范围.
【解答过程】如图所示，过点的直线与线段相交，
，；
又因为该直线与轴垂直时，斜率不存在，
所以过点与线段相交的直线斜率取值范围为.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【解答过程】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC.
10．（4分）（2023·全国·高三专题练习）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ）
A．－8 B．－5 C．3 D．4
【解题思路】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知，再利用斜率公式求解，即可.
【解答过程】解：由于直线l过点且斜率为k，与连接两点，的线段有公共点，则，，由图可知，
时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．
故选：AD．
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知直线：与：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线可能重合
B．直线与直线可能垂直
C．直线与直线可能平行
D．存在直线上一点P，直线绕点P旋转后可与直线重合
【解题思路】分别求出直线，的斜率，根据两直线平行和垂直斜率满足的关系即可逐一求解.
【解答过程】直线的斜率为，
直线的斜率，
，，不可能相等，
直线与直线不可能重合，也不可能平行，故A，C均错误；
当时，，，直线与直线可能垂直，故B正确；
直线与直线不可能重合，也不可能平行，
直线与直线一定有交点，
存在直线上一点，直线绕点旋转后可与直线重合，故D正确．
故选：BD．
12．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点，，．若为直角三角形，则可能有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】若为直角三角形，则直角顶点有三种情况，以分别为直角顶点，讨论找关系，得到AB选项正确，CD选项错误，最后得答案.
【解答过程】由题意知，
若为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意，故C错误；
若为直角顶点，则，故A正确；
若B为直角顶点，根据斜率关系,可知，
所以，即，故B正确；
和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误.
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是．
【解题思路】由倾斜角和斜率的关系进行求解.
【解答过程】因为直线的倾斜角为，且，
当时，；
当时，；
即该直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
14．（4分）（2022·上海市高三开学考试）已知直线，则当实数 时，.
【解题思路】根据两直线平行的条件列方程求解的值即可.
【解答过程】若，则，解得或，
当时，和重合，舍去，所以.
故答案为：.
15．（4分）（2022·河南省高二阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 ．
【解题思路】根据题意结合图像，求出的斜率即可得到结果.
【解答过程】
，，
在射线逆时针旋转至射线时斜率逐渐变大，
直线与线段总有公共点，
所以的取值范围为．
故答案为: .
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 矩形 .
【解题思路】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.
【解答过程】解：，且不在直线上，.
又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.
平行四边形为矩形.
故答案为：矩形.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围．
【解题思路】当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解
【解答过程】由题意，当时，倾斜角，
当时，，即倾斜角为锐角；
综上得：．
18．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图中各条直线的斜率，并写出各条直线的斜率.
【解题思路】利用斜率公式可求得各直线的斜率，由此可得出这五条直线斜率的大小关系.
【解答过程】解：由已知可得，，，
，，
所以，.
19．（8分）（2022·全国·高二专题练习）已知的顶点分别为、、，若为直角三角形，求实数m的值．
【解题思路】根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解
【解答过程】①若为直角，则，所以，即，解得；
②若为直角，则，所以，即，
解得；
③若为直角，则，所以，即，
解得．
综上，m的值为，，2或3．
20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线：，，，若直线与线段恒有公共点，求的取值范围.
【解题思路】先判断直线所过定点，再数形结合求的取值范围
【解答过程】
故直线过定点
如下图所示：
，
若直线与线段恒有公共点，则或
即.
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
【解题思路】（1）由直线平行的公式列方程组求解.
（2）由直线重合的公式列方程组求解.
【解答过程】（1）
由题意，，
得，解得或
当或时，直线和平行.
（2）
由题意，，
得，解得，
当时，直线和重合.
22．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线和直线，求分别满足下列条件的的值.
(1)直线过点，且直线和垂直；
(2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为；
(3)若直线和重合.
【解题思路】（1）根据直线垂直可知斜率相乘等于 ，进而可求.（2）根据平行直线斜率相等可求. （3）两直线重合，斜率和在轴上的截距均相等，进而可求.
【解答过程】（1）由于直线和垂直，故，
又直线过点，故，
联立两式，解得.
故有.
（2）由于直线和平行，故，
直线在轴上的截距为，则，
联立解得.
故有.
（3）若直线和重合，故，解得.
故有.
