长寿区2023年秋期高中期末质量监测
高三年级数学 试题（B卷）
注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分。试题卷总页数：4页。
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写。
4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设复数，则复数的共轭复数的模为（ ）
A．7 B．1 C．5 D．25
3．下列函数中是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知圆，则圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．－30 B．－28 C．30 D．28
6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B. C．0 D．
7．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．4
8．将棱长为2的正方体做成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，且的面积为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
10．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．已知是角终边上的一点，则 .
12．从3名男同学和2名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有两名男同学的概率为 .
13．关于的不等式的解集为，则 .
14．已知直线过点（1,1），则的最小值
是 .
15．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则点到双曲线的渐近线的距离为 .
三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前10项和.
17．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在上的单调性．
18．如图，在直三棱柱中，已知，D为 的中点.
（1）求证：平面;
（2）求二面角的余弦值.
19．已知以原点O为中心的椭圆标准方程的离心率为，焦点F为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过焦点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求的面积．
20．已知函数
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.长寿区 2023 年秋期高中期末质量监测
高三年级数学 参考答案（B 卷）
一、选择题：
1. D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.B 10.A
二、填空题：
5 3
11. 12. 13. 2 14. 9 15. 1
5 5
三、解答题
a2 a3 8 2a 1
3d 8 a1 1
16. 解：（1）由
S3 9
3a
1 3d 9 d 2
an 2n 1 ……………………7 分
（2）由b10 b9 a9，b8 b7 a7，b6 b5 a5，b4 b3 a3，b2 b1 a1得
数列 bn 的前 10 项和 a1 a3 a5 a7 a9 5a5 45.……………………15 分
17 解：(1) 由
f (x) 2sin x cos x 2 3 cos2 x 3 sin 2x 3 cos 2x 2sin(2x )
3
所以函数的最小正周期为 .
……………………7 分
（2）由 2k 2x 2k , k 5 即 x k ，
2 3 2 12 12
又因为 x [ , ]，所以函数的单调增区间为[ , ]
6 3 6 12
由 2k 2x 2k 3 , 7 即k x k
2 3 2 12 12
x [ 又因为 , ]，所以函数的单调减区间为[ , ] .
6 3 12 3 ……………………15 分
18(1)证明；连接 AC1交 A1C于点 Q,连接 DQ
Q
D,Q分别是 AB, A1C的中点，
DQ// 1 BC1 且BC1 平面A1CD,DQ 平面ACD2 1
高三年级数学（答案） 第 1页 （共 3 页）
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故证得： BC1∥平面 A1CD . ……………………7 分
(2) 如图，分别以 AB,BC,BB1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系.
由题意可得， BB1 平面ABC
所以平面 ABC 的法向量为u (0,0,1) .
设平面 A1CD的法向量为 n (x, y, z) ,
A1(2,0,1),D(1,0,0),C(0,1,0)
A1D ( 1,0, 1),CD (1, 1,0) 18 题（2）
A1D n 0 x z 0
由 ，可取 x 1, y 1, z 1，即n (1,1, 1)
CD n 0 x y 0
cos u,n u n 1 3
| u || n | 3 1 3
故二面角 A1 CD A
3
的余弦值为 .
3 ……………………15 分
19.解（1）由题意知：
e c 5 a 5 a 5
c 1
b 2
x2 y2
所以椭圆方程为 1.
5 4 ……………………7 分
（2）直线 AB 的方程为 y x 1，设A(x1, y1),B(x2 , y2 )，则
x
2 y2
1 9x2 5 4 10x 15 0
y x 1
高三年级数学（答案） 第 2页 （共 3 页）
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x x 10由 1 2 , x1x
5
2 得9 3
| AB | 1 k 2 | x x | 16 5 1 2 9
d | x y 1| 2点 O 到直线 AB 的距离为：
1 k 2 2
AOB 1 4 10故 的面积为 S A0B | AB | d 2 9 ……………………15 分
20 解:函数 f (x)的定义域为（0, ）.
f '(x) 2x 2 2(x 1)(x 1)(1)
x x
可得函数 f (x)在 (0,1)为减函数， (1， )为增函数。
当 x 1时， f (x)取得极小值 1.
……………………7 分
(2)函数 f (x)在[1,2]是减函数，则
f '(x) 2x 2 a 0 2在[1,2]上恒成立，即 a 2x在[1,2]上恒成立.
x x
y 2因为 2x 2在[1,2]上为减函数，所以 y 2x在[1,2]上有最小值 3 .
x x
故 a 3
……………………15 分
高三年级数学（答案） 第 3页 （共 3 页）
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