2023-2024学年云南省昆明市西南联大研究院附中高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年云南省昆明市西南联大研究院附中高一（上）期末数学
模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则集合A∩B＝（　　）
A． B．R C．{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x≤2}
2．（5分）已知 x∈[0，2]，p＞x； x0∈[0，2]，q＞x0．那么p，q的取值范围分别为（　　）
A．p∈（0，+∞），q∈（0，+∞） B．p∈（0，+∞），q∈（2，+∞）
C．p∈（2，+∞），q∈（0，+∞） D．p∈（2，+∞），q∈（2，+∞）
3．（5分）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2），则（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）若，b＝log3e，，则有（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
5．（5分）已知两个正实数x，y满足x2﹣y＝lny﹣lnx，则下列式子中一定不成立的是（　　）
A．x＜y＜1 B．y＜x＜1 C．1＜x＜y D．x＝y＝1
6．（5分）已知f（x﹣1）＝2x2+3，则f（2）＝（　　）
A．5 B．11 C．21 D．27
7．（5分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（　　）
A．（21）a2 B．（21）a2
C．（π1）a2 D．（1）a2
8．（5分）下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是（　　）
（1）f（x）＝x﹣2
（2）f（x）＝3x﹣2
（3）f（x）＝log2x
（4）f（x）＝2x
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）在区间[﹣6π，0]，上，与45°终边相同的角为（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）下列选项中，与sin（﹣330°）的值相等的是（　　）
A．2cos215°
B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°
C．2sin15°sin75°
D．tan30°+tan15°+tan30°tan15°
（多选）11．（5分）若关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值可以是（　　）
A．6 B． C． D．2
（多选）12．（5分）下列结论中，正确的是（　　）
A．函数的单调增区间是（1，+∞）
B．命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题
C．是奇函数
D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知α∈（0，），且满足sinα＝sin2α，则α的值为 　 　；cos（22022α）的值为 　 　．
14．（5分）已知p：﹣3≤x≤1，q：x≤a（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（5分）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为　 　．
16．（5分）已知角α满足，则　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知集合A＝[9，13]，B＝[m+1，2m﹣1]．
（1）若A B，求实数m的取值范围；
（2）若A B，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知α，β为锐角，cosα，tan（α+β）＝﹣3．
（1）求tan2α的值；
（2）求sin（α﹣β）的值．
19．（12分）若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），求f（x）的解析式及f（﹣1）的值．
20．（12分）小李大学毕业后选择自主创业，开发了一种新型电子产品.2019年9月1日投入市场销售，在9月份的30天内，前20天每件售价P（元）与时间x（天，x∈N*）满足一次函数关系，其中第1天每件售价为63元，第10天每件售价为90元；后10天每件售价均为120元．已知日销售量Q（件）与时间x（天）之间的函数关系Q＝﹣x+50（x∈N*）．
（Ⅰ）写出该电子产品9月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式；
（Ⅱ）9月份哪一天的日销售金额最大？并求出最大日销售金额．（日销售金额＝每件售价×日销售量）
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程[g（x）]2﹣（2+a）g（x）+2a＝0在上恰有2个根，求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝ax+b（a＞0且a≠1），且函数图象恒过点（1，1）
（1）若b＞0，求的最小值；
（2）若 x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），求f（0）的值；若记函数．求证：函数F（x）为偶函数．
2023-2024学年云南省昆明市西南联大研究院附中高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
故选：C．
2．【解答】解：由 x∈[0，2]，p＞x；
得p＞2．
由 x0∈[0，2]，q＞x0；
得q＞0．
∴p，q的取值范围分别为（2，+∞）和（0，+∞）．
故选：C．
3．【解答】解：∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2），
∴r＝|OP|，sinα，cosα，
∴sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α﹣1，
则sin2αcoscos2αsin（）（）．
故选：D．
4．【解答】解：，且，log3e＜log33＝1，，
∴c＞a＞b．
故选：D．
5．【解答】解：由x2﹣y＝lny﹣lnx，则x2+lnx＝y+lny，
可知f（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
当0＜x＜1时，y+lny＝x2+lnx＜x+lnx，故f（y）＜f（x），即0＜y＜x＜1，故B正确；
当x＝1时，y+lny＝x2+lnx＝x+lnx，故f（y）＝f（x），即x＝y＝1，故D正确；
当x＞1时，y+lny＝x2+lnx＞x+lnx，故f（y）＞f（x），即1＜x＜y，故C正确；
故选：A．
6．【解答】解：∵f（x﹣1）＝2x2+3，
∴f（2）＝f（3﹣1）＝2×9+3＝21．
故选：C．
7．【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，
即S．
故“窗花”面积为4S．
故选：A．
8．【解答】解：根据题意，依次分析4个函数，
（1）f（x）＝x﹣2，是幂函数，是偶函数，
（2）f（x）＝3x﹣2，是一次函数，是非奇非偶函数，
（3）f（x）＝log2x，是对数函数，定义域为（0，+∞），非奇非偶函数
（4）f（x）＝2x，是指数函数，非奇非偶函数，
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：与45°终边相同的角α＝45°+k 360°，k∈Z，
因为﹣1080°≤α≤0°，
故α＝﹣315°，﹣675°，﹣1035°．
故选：AC．
10．【解答】解：sin（﹣330°）＝sin（30°﹣360°）＝sin30°，
对于A，2cos215°＝1+cos30°＝1，
对于B，cos18°cos42°﹣sin18°sin42°＝cos（18°+42°）＝cos60°，
对于C，2sin15°sin75°＝2sin15°cos15°＝sin30°，
对于D，tan30°+tan15°+tan30°tan15°＝tan（30°+15°）（1﹣tan30°tan15°）+tan30°tan15°＝1﹣tan30°tan15°+tan30°tan15°＝1．
故选：BC．
11．【解答】解：因为x2﹣（m+2）x+2m＜0，
所以（x﹣2）（x﹣m）＜0，
（1）当m＜2时，不等式的解集为{x|m＜x＜2}，若不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有2个整数，则满足﹣1≤m＜0；
（2）当m＝2时，易得解集为 ，所以不成立；
（3）当m＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜m}，若不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有2个整数，则满足4＜m≤5．
综上：m的范围为[﹣1，0）∪（4，5]．
故选：BC．
12．【解答】解：对于A项：函数中，u＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；函数在R上单调递减．
根据复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是（1，+∞），故A项正确：
对于B项：2是素数，但2不是奇数，所以“所有的素数都是奇数”命题错误，否定为真，故B项错误；
对于C项：因为，是偶函数，故C项错误；
对于D项：函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）中，
由x﹣2＝0得x＝2，f（2）＝﹣2，即函数f（x）图象过点（2，﹣2），故D项正确．
故选：AD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：α∈（0，），且满足sinα＝sin2α，即sinα＝2sinαcosα，∴cosα，
则α的值为，∴cos2α＝cos，cos4α＝cos，cos8α，…，
∴cos（22022α）＝cos（41011 α）＝cos（41010 4α），
故答案为：；．
14．【解答】解：∵q的一个充分不必要条件是p，
∴[﹣3，1] （﹣∞，a]，
∴a≥1．则实数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
15．【解答】解：若f（x）在R递增，
则，解得：2≤a≤5，
故答案为：[2，5]．
16．【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：因为B＝[m+1，2m﹣1]为非空数集，得m+1＜2m﹣1，解得m＞2，
（1）若A B，则，解得7≤m≤8，即实数m的取值范围是[7，8]；
（2）若A B，则（等号不同时取得），解得7≤m≤8，即实数m的取值范围是[7，8]．
18．【解答】解：（1）∵α，β为锐角，cosα，∴sinα，
∴tanα，
∴tan2α；
（2）∵α，β为锐角，cosα，tan（α+β）＝﹣3，
∴0＜α+β＜π，又∵tan（α+β）＝﹣3＜0，∴，
由，解得sin（α+β），cos（α+β），
又∵cosα，sinα，∴sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α﹣sin2α，
∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）．
19．【解答】解：设指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），
∵指数函数f（x）的图象经过点（2，9），
∴a2＝9，∵a＞0且a≠1，
∴a＝3，∴f（x）＝3x，∴．
综上所述，f（x）＝3x，．
20．【解答】解：（Ⅰ）设P＝kx+b，
由题意，，解得k＝3，b＝60．
故该电子产品9月份每件售价P（元）与时间x（天）的函数关系式为
P；
（Ⅱ）设9月份的日销售金额为y元，
则，
当1≤x≤20时，y＝（3x+60）（﹣x+50）＝﹣3x2+90x+3000＝﹣3（x﹣15）2+3675，
则当x＝15时，y取得最大值为3675元；
当21≤x≤30时，y＝120（﹣x+50）为减函数，当x＝21时，y取最大值为3480元．
综上所述，9月份第15天的日销售金额最大，最大日销售金额为3675元．
21．【解答】解：（Ⅰ）
，
所以，f（x）的最小正周期为．
令，得（k∈Z）．
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
将函数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到y＝2sin（x）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
所以．
由[g（x）]2﹣（2+a）g（x）+2a＝0，得g（x）＝2，或g（x）＝a．
当时，．
当且仅当，即时，g（x）＝2．
由题意，g（x）＝a仅有一个根，因为，，
所以，a的取值范围是[﹣1，1）．
22．【解答】解：（1）因为函数 f（x）＝ax+b的图象恒过点（1，1），
则f（1）＝a+b＝1，
由a＞0且a≠1，b＞0，
则59，
当且仅当且a+b＝1即b，a时取等号；
证明：（2）依题意， x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）f（y）+f（x）+f（y），
即ax+y+b＝（ax+b）（ay+b）+ax+b+ay+b＝ax+y+（b+1） ax+（b+1） ay+b2+2b
于是得，解得b＝﹣1，a＝2，
f（x）＝2x﹣1，因此f（0）＝0，
因为定义域为R，
则F（﹣x）F（x），
故F（x）为偶函数．
第1页（共1页）