2023-2024学年云南省临沧市民族中学高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年云南省临沧市民族中学高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）设集合M＝{x|0≤x＜2}，，则集合M∩N＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
2．（5分）下列函数是奇函数的是（　　）
A． B．y＝x2 C． D．y＝2
3．（5分）下列选项中叙述正确的是（　　）
A．小于90°的角一定是锐角
B．第二象限的角比第一象限的角大
C．终边不同的角同名三角函数值不相等
D．钝角一定是第二象限的角
4．（5分）幂函数y＝f（x）的图像过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（　　）
A．经过第一象限和第三象限
B．只经过第一象限
C．是奇函数
D．是偶函数
5．（5分）已知log212＝m，则log312＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（　　）
A．y＝ex B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝﹣x2
7．（5分）“函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数”是“a≤0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5分）光滑函数f（x）的图象如图所示，下列关系式正确的是（　　）
A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）
B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
C．0＜f′（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）
D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
9．（5分）已知函数f（x）＝2x+2﹣x，若a＝f（0.5﹣1.1），b＝f（log32），c＝f（log3），则（　　）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
10．（5分）已知p： x＞0，ex﹣a＜0成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（5分）已知函数，则函数的零点个数为（　　）
A．0或3 B．0或1 C．1或2 D．2或3﹒
12．（5分）已知函数，下列关于f（x）的性质，推断正确的有（　　）
①函数的定义域为R；
②函数是偶函数；
③函数f（x）与f（x﹣2）的值域相同；
④f（x）在（0，1）上递增；
⑤f（x）在[1，2]上有最大值．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）的否定是 　 　．
14．（5分）函数的定义域为 　 　．
15．（5分）已知α是第二象限角，其终边上一点，且，则x的值为　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝﹣|x+4|+m，若函数f（x）的图像恒在函数g（x）图像的上方，则m的取值范围为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当k＝4时，判断并证明函数f（x）在（0，2]上的单调性，并求其值域．
18．（12分）若扇形周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形面积有最大值？并求出这个最大值．
19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2+x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）图象．
20．（12分）已知一个国家的人口增长率与其当时人口数成正比，比例为4%，若一个国家现有人数为P0．问需要多长时间人口数可以变为现在的两倍？
21．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；
（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；
（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．
（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；
（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．
22．（12分）若函数为定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并证明函数f（x）的单调性；
（2）若存在实数x∈[﹣1，1]使得不等式f（k 4x）+f（1﹣2x+1）≥0能成立，求实数k的取值范围．
2023-2024学年云南省临沧市民族中学高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．【解答】解：∵集合M＝{x|0≤x＜2}，
{x|﹣1＜x＜3}，
∴集合M∩N＝{x|0≤x＜2}．
故选：B．
2．【解答】解：A．y是奇函数，满足条件．
B．y＝x2是偶函数，不满足条件．
C．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．
D．y＝2为偶函数，不满足条件．
故选：A．
3．【解答】解：小于90°的角一定是锐角，锐角的范围大于0°，所以不正确；
第二象限的角比第一象限的角大，例如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，显然B不正确；
终边不同的角同名三角函数值不相等，例如sin150°＝sin30°，所以C不正确；
钝角一定是第二象限的角，符合钝角的定义，正确．
故选：D．
4．【解答】解：设f（x）＝xα，
因为过点，
所以2α，
所以，
故f（x），
即f（x），
函数定义域为[0，+∞），不关于原点对称，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数，且第三象限没有图象，
故选：B．
5．【解答】解：∵log212＝m，
∴log23+log24＝log23+2＝m，
∴log23＝m﹣2，，
∴log312＝log34+log33＝2log32+1．
故选：B．
6．【解答】解：对于A，y＝ex，是非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx，是偶函数，在区间（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；
对于C，y＝sinx，是奇函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，y＝﹣x2，是二次函数，其开口向下对称轴为y轴，
既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增，
故选：D．
7．【解答】解：函数的对称轴是x＝a，开口向上，
若函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数，
则a≤1，
故“函数y＝x2﹣2ax+1在[1，+∞）上是严格增函数”是“a≤0”的必要不充分条件．
故选：B．
8．【解答】解：根据函数的曲线，自变量在1处的斜率最大，从1到4，斜率逐渐减小
在（2，3）之间的斜率，
故f′（2）＞f（3）﹣f（2）＞f′（3）＞0．
故选：B．
9．【解答】解：函数f（x）＝2x+2﹣x的定义域为R，
f（﹣x）＝2﹣x+2x＝f（x），∴f（x）是偶函数，
∴c＝f（log3）＝f（﹣log23）＝f（log23），
f′（x）＝2xln2﹣2﹣xln2＝（2x﹣2﹣x）ln2，
当x＞0时，2x﹣2﹣x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）＝2x+2﹣x在（0，+∞）上单调递增，
∵0.5﹣1.1＞2，0＜log32＜1，1＜log23＜2，
a＝f（0.5﹣1.1），b＝f（log32），c＝f（log3），
∴b＜c＜a．
故选：C．
10．【解答】解：根据题意，若p： x＞0，ex﹣a＜0成立，则ex＜a存在实数根，可知a＞0；
q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，若q为真命题，则a﹣1＞1，可得a＞2．
因为a＞0不能推出a＞2，由a＞2可以得到a＞0，所以p是q的必要不充分条件．
故选：B．
11．【解答】解：因为当x＞0时，f（x），
f′（x），
所以当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
且f（1）＝0，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
所以f（x）max＝f（e），
令0，
则有f（f（x）），
令t＝f（x），
则有f（t），
当a＜0时，作出f（x）的图象如图所示：
由图象可知f（t）有个不等实根，t1，t2，t3且t1＜0，1＜t2＜e＜t3，
又因为当x＞0时，f（x）max＝f（e），
所以f（x）＝t2，f（x）＝t3均只有一个实数解；
又因为t1＜0，
所以f（x）＝1只有一个实数解；
所以当a＜0时，g（x）只有一个零点；
当a＝0时，如图所示：
此时f（t）有个不等实根，t1，t2且1＜t1＜e＜t2，
又因为当x＞0时，f（x）max＝f（e），
所以f（x）＝t1，f（x）＝t2无实数解；
所以当a＝0时，g（x）有无零点；
当a＞0时，如图所示：
此时f（t）有个不等实根，t1，t2且1＜t1＜e＜t2，
又因为当x＞0时，f（x）max＝f（e），
所以f（x）＝t1，f（x）＝t2无实数解；
所以当a＞0时，g（x）有无零点；
综上所述，的零点个数为0或3．
故选：A．
12．【解答】解：x2+2≠0恒成立，故①对；
为奇函数，故②错；
令x﹣2＝t，∴f（x﹣2）＝f（t），f（t）与f（x）的值域相同，故③对；
，令，由复合函数单调性知：f（x）在（0，1）上递增，故④对；
，当取得，故⑤错；
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为： 2，
故答案为： 2．
14．【解答】解：由题知，，，
解得x∈[﹣2，0）∪（2，4]，
所以函数的定义域为[﹣2，0）∪（2，4]．
故答案为：[﹣2，0）∪（2，4]．
15．【解答】解：已知α是第二象限角，其终边上一点，∴x＜0，
∵，则x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．【解答】解：由题意函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝﹣|x+4|+m，
又因为函数f（x）的图像恒在函数g（x）图像的上方，
所以f（x）＞g（x）恒成立，
即|x﹣3|＞﹣|x+4|+m恒成立，
即（|x﹣3|+|x+4|）min＞m，
而由三角不等式可得|x﹣3|+|x+4|≥|3﹣（﹣4）|＝7，当且仅当﹣4≤x≤3时等号成立，
即（|x﹣3|+|x+4|）min＝7，
所以m的取值范围为（﹣∞，7）．
故答案为：（﹣∞，7）．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解（1）由题意得f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），它关于原点对称，
对于任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵，
∴f（x）是奇函数．
∵f（﹣1）＝﹣（k+1），f（1）＝k+1，k＞0，
∴f（﹣1）≠f（1），
∴f（x）不是偶函数，
∴f（x）是奇函数，不是偶函数．
（2）函数在（0，2]内是减函数．
证明：任取x1＜x2∈（0，2]，
∴f（x1）﹣f（x2），
＝（x1﹣x2），
＝（x1﹣x2）（1）（x1x2﹣4），
∵0＜x1＜x2≤2，
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，
∴x1x2﹣4＜0．
∴．
∴f（x1）＞f（x2），
因此，函数在（0，2]内是减函数．
∵f（2）＝4，
∴函数的值域为[4，+∞）．
18．【解答】解：设扇形的圆心角为α（α＞0）弧度，所在圆的半径为R，
则扇形的周长C＝2R+l＝2R+αR，
∴，
∴，
当且仅当，即α＝2rad时，扇形面积有最大值，即当α＝2rad时，．
19．【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，
∵当x≤0时，f（x）＝x（2+x），且f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＞0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[﹣x（2﹣x）]＝x（2﹣x）．
∴；
（2）函数的图象如图，
20．【解答】解：设需要n年人口数可以变为现在的两倍，
由题意可得P0（1+4%）n＝2P0，
∴1.04n＝2，
∵1.0417≈1.95，1.0418≈2.03，
∴需要经过18年人口数可以变为现在的两倍．
21．【解答】解：（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；
则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；
（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：f（x），
若f（x）≥3 或，
解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2，
则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2，+∞）；
（3）（A组题）由（2）的结论，f（x），在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；
对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；
故当0＜m≤2时，f（x）max＝f（﹣m）＝﹣m2+4m，f（x）min＝f（m）＝m2﹣4m，
当2＜m≤2+2，时，f（x）max＝f（﹣2）＝4，f（x）min＝f（2）＝﹣4，
当m＞2+2时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，
（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：f（x），
（3）（B组题）由（2）的结论，f（x），
若f（x）≥3 或，
解可得：﹣3≤x≤﹣1或x≥2，
则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2，+∞）．
22．【解答】解：（1）因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，解得a＝2，
经检验a＝2符合题意，
所以，
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则
因为x1＜x2，所以，
所以，，，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在R上单调递增．
（2）因为f（k 4x）+f（1﹣2x+1）≥0，f（x）在R上的奇函数，
所以f（k 4x）≥﹣f（1﹣2x+1）＝f（2x+1﹣1），
由（1）知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，
所以 x∈[﹣1，1]，k 4x≥2x+1﹣1成立，
即 x∈[﹣1，1]，成立，
设，则，
所以，k≥2t﹣t2＝﹣（t﹣1）2+1，
所以k≥[﹣（t﹣1）2+1]min，，
设g（t）＝﹣（t﹣1）2+1，，
则g（t）在上单调递增，在[1，2]上单调递减，
又，g（2）＝0，
所以g（t）min＝0，
所以k的范围为{k|k≥0}．
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