2023-2024学年云南省西双版纳州高一（上）期末数学模拟试卷（含解析）

2023-2024学年云南省西双版纳州高一（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣∞，3） C．（﹣2，2） D．（0，2）
2．（5分）函数f（x）＝log3x+x﹣5的零点所在的区间是（　　）
A．（2，3） B．（3，） C．（，4） D．（4，5）
3．（5分）已知，则sin（）＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）命题“ x∈[1，2]，﹣2x2+m≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）
A．m≤1 B．m≤2 C．m≤3 D．m≤4
5．（5分）若直线2mx﹣ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则的最小值为（　　）
A．2 B．6 C．12 D．16
6．（5分）已知a＝log23，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
7．（5分）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）
8．（5分）已知函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，f（2）＝0，则不等式xf（x）＞0的解为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，+∞）
C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x都有f（x+5）＝f（1﹣x）+f（3），且f（5）＝﹣2．当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，0恒成立，则（　　）
A．f（29）＝﹣2
B．直线x＝﹣9是f（x）图象的对称轴
C．f（x）在[8，10]上是减函数
D．方程f（x）+2＝0在（﹣7，7）上有6个实根
（多选）10．（5分）已知奇函数对于 x∈R都有成立．现将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数是奇函数
B．为函数g（x）的一条对称轴
C．若g（x）＝1，则有
D．函数g（x）在区间上单调递减
（多选）11．（5分）下列化简结果正确的是（　　）
A．cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝2sinαsinβ
B．sinα+cosαcos（α）
C．tan50°+tan70°tan50°tan70°
D．cosαsinα＝﹣2sin（）
（多选）12．（5分）已知函数，其中0＜m＜1，若存在实数a，使得关于x的方程f（x）＝a恰有三个互异的实数解，则实数m的取值可以为（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知函数，则f[f（﹣2）]＝　 　；若f（x0）＝0，则x0＝　 　．
14．（5分）已知关于x的不等式ax2﹣bx﹣12＞0的解集是（﹣3，﹣2），则关于x的不等式12x2+bx+a＞0的解集是 　 　．
15．（5分）函数y＝lg（﹣x2﹣2x+3）的单调递增区间是　 　．
16．（5分）设x∈R，对于使x2﹣2x≥M恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值﹣1叫做x2﹣2x的下确界，若a＞0，b＞0，且1，则2a+b的下确界为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在[2，6]上的单调性，并给出证明；
（3）若x∈[2，6]，求函数f（x）的最大值和最小值．
18．（12分）（1）若角θ的终边上有一点P（1，2），求值：；
（2）已知，，求的值．
19．（12分）已知全集U＝R，A＝{x||x﹣1|≥1}，B为函数的定义域，C为g（x）＝lg[（x﹣a﹣1）（2a﹣x）]（a＜1）的定义域；
（1）A∩B； U（A∪B）
（2）若C B，求实数a的取值范围．
20．（12分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
21．（12分）已知函数．
（1）令t，求t的取值范围并将f（x）化为关于t的函数g（t）；
（2）求g（t）的最小值；
（3）若f（x）在[0，π]上有零点，求a的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若对于任意的m，n∈[﹣1，1]（m+n≠0）有．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
2023-2024学年云南省西双版纳州高一（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
集合B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．
故选：D．
2．【解答】解：∵函数f（x）＝log3x+x﹣5在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，
f（）＝log35＝log3，
∵，，∴，
则f（）0，f（4）＝log34+4﹣5＝log34﹣1＞0，
∴函数f（x）＝log3x+x﹣5的零点所在的区间是（，4）．
故选：C．
3．【解答】解：因为cosα﹣sinα，
所以sin（）（cosα﹣sinα）．
故选：B．
4．【解答】解：由﹣2x2+m≤0，得m≤2x2，
函数y＝2x2在[1，2]上的最小值为2．
若对 x∈[1，2]，]，﹣2x2+m≤0成立，则m≤2，
∴由m≤1，得m≤2成立，反之不成立，
则m≤1是“ x∈[1，2]，﹣2x2+m≤0”为真命题的一个充分不必要条件；
m≤2是““ x∈[1，2]，﹣2x2+m≤0”为真命题的一个充分必要条件；
m≤3与m≤4是“ x∈[1，2]，﹣2x2+m≤0”为真命题的不充分条件．
故选：A．
5．【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），
∴将点（1，﹣2）代入直线方程，得：m+n＝1，
则（） 1＝（） （m+n）10
∵m＞0，n＞0
∴10≥210＝16，
当且仅当n＝3m时，取得等号．
∴10的最小值为16．
即的最小值为16．
故选：D．
6．【解答】解：∵log23＞log22＝1，∴a＞1，
∵blog32，而，
∴，
又∵，
∴c＜b＜a，
故选：D．
7．【解答】解：由题意，解得，
故选：B．
8．【解答】解：因为函数f（x）是定义域在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（2）＝0，则f（﹣2）＝0，
①当x＞0时，不等式xf（x）＞0等价于f（x）＞0＝f（2），解得x＞2；
②当x＜0时，不等式xf（x）＞0等价于f（x）＜0＝f（﹣2），解得﹣2＜x＜0．
综上所述，不等式xf（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【解答】解：令x＝﹣2，则f（﹣2+5）＝f（1+2）+f（3），解得f（3）＝0．
因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x+5）＝f（1﹣x）＝f（x﹣1），
所以f（x+6）＝f（x），则f（x）是周期为6的函数，
则f（29）＝f（4×6+5）＝f（5）＝﹣2，故A正确；
因为f（x+5）＝f（1﹣x），所以f（x）的图象关于直线x＝3对称，
因为f（x）的周期为6，所以直线x＝﹣9是f（x）图象的对称轴，故B正确；
由题意可得f（x）的单调递减区间为[6k﹣3，6k]（k∈Z），故C错误；
在（﹣7，7）内，f（x）+2＝0的实根为x＝±1，x＝±5，故D错误．
故选：AB．
10．【解答】解：，
对于 x∈R都有成立，所以，，
所以f（x）＝﹣（﹣f（x+π））＝f（x+π）对于 x∈R都成立，
可得f（x）的周期T＝π，所以，所以，
又函数f（x）为奇函数有f（0）＝0，即，由0＜φ＜π可求，
故函数f（x）＝2sin2x，f（x）图象向右平移个单位长度可得，
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，
对于选项A：，
因为y＝2cosx是偶函数，所以是偶函数，故选项A错误；
对于选项B：函数，
所以是它的一条对称轴，故选项B正确；
对于选项C：若g（x）＝1，则有，
于是，故C正确；
对于选项D：当时，，所以函数g（x）在区间上单调递增，故选项D错误．
故选：BC．
11．【解答】解：对于A，cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ﹣（cosαcosβ+sinαsinβ）＝﹣2sinαsinβ，故A错误；
对于B，sinα+cosα（sinαcosα）cos（α），故B正确；
对于C，因为tan（50°+70°）＝tan120°，
可得tan50°+tan70°tan50°tan70°，
所以tan50°+tan70°tan50°tan70°tan50°tan70°tan50°tan70°，故C错误；
对于D，cosαsinα＝2（cosαsinα）＝﹣2sin（），故D正确．
故选：BD．
12．【解答】解：当0＜m＜1时，函数的大致图像如图所示：
因为当x≤m时，f（x）＝x2﹣2mx+2+m2＝（x﹣m）2+2≥2，
所以要存在实数a，使关于x的方程f（x）＝a恰有三个互异的实数解，
需要满足且0＜m＜1，解得．
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【解答】解：∵函数，
∴f（﹣2）＝（﹣2）2﹣1＝3，
f[f（﹣2）]＝f（3）＝﹣2×3＝﹣6；
若f（x0）＝0，
则当x0＞0时，f（x0）＝﹣2x0＝0，无解；
当x0≤0时，f（x0）1＝0，解得x0＝﹣1．
综上，x0＝﹣1．
故答案为：﹣6，﹣1．
14．【解答】解：因为ax2﹣bx﹣12＞0的解集是（﹣3，﹣2），
故x＝﹣2，x＝﹣3是ax2﹣bx﹣12＝0的根，
所以，
所以a＝﹣2，b＝10，
则关于x的不等式12x2+bx+a＝12x2+10x﹣2＞0，
解得x或x＜﹣1．
故答案为：{x|x或x＜﹣1}．
15．【解答】解：令t＝﹣x2﹣2x+3＞0，求得﹣3＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣3，1），
则y＝lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间，利用二次函数的性质可得它的增区间为（﹣3，﹣1]，
故答案为：（﹣3，﹣1]．
16．【解答】解：设m＝2a+1，n＝a+b，
则且m＞0，n＞0，
因为1，
则，
所以2a+b＝2，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以2a+b，
则2a+b的下确界为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．【解答】解：（1）令x﹣1≠0，则x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}；
（2）函数f（x）在[2，6]上单调递减，证明如下：
设2≤x1＜x2≤6，则f（x1）﹣f（x2），
因为2≤x1＜x2≤6，所以3（x2﹣x1）＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在[2，6]上单调递减；
（3）由（2）可知：当x＝2时，f（x）max，
当x＝6时，f（x）min．
18．【解答】解：（1）因为角θ的终边上有一点P（1，2），
所以tanθ＝2，
所以．
（2）因为，所以∈（，），
因为，所以cos（）或，
当cos（）时，
所以cos[（）]＝cos（）cossin（）sin
当cos（）时，
所以cos[（）]＝cos（）cossin（）sin．
19．【解答】解：（1）解|x﹣1|≥1得：x≤0或x≥2∴A＝{x|x≤0，或x≥2}；
∵函数f（x）的自变量x应满足，即
∴x＜﹣1或x≥1∴B＝{x|x＜﹣1，或x≥1}；
A∩B＝{x|x＜﹣1，或x≥2}，
A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，
U（A∪B）＝{x|0＜x＜1}
（2）∵函数g（x）的自变量x应满足不等式（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0．
又由a＜1，∴2a＜x＜a+1∴C＝{x|2a＜x＜a+1}
∵C B∴a+1≤﹣1或2a≥1∴a≤﹣2或，
又a＜1∴a的取值范围为a≤﹣2或．
20．【解答】解：（1）y＝（2400﹣2000﹣x）（8+0.08x）＝（400﹣x）（8+0.08x）＝﹣0.08x2+24x+3200
（2）当y＝4800时，﹣0.08x2+24x+3200＝4800，解这个方程得x1＝100，x2＝200．
∵若要使老百姓获得更多实惠，则x1＝100不符合题意，舍去．
答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．
（3）由y＝﹣0.08x2+24x+3200，当x150时，y最大，最大为﹣0.08×1502+24×150＝5000
答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元．
21．【解答】解：（1），；
∵x∈[0，π]，
∴sinx∈[0，1]，t2∈[2，4]．
∴；
2sinx＝t2﹣2，
代入得）；
（2）当即时，g（t）在上单调递增，
；
当时，g（t）在上单调递减，
g（t）在上单调递增，；
当即a≥4时g（t）在上单调递减，g（t）min＝g（2）＝7﹣2a；
∴；
（3）由g（t）＝t2﹣at+3＝0）得；
记，
设且；
当时，
h（t1）＞h（t2），
∴h（t）在上单调递减；
同理，h（t）在上单调递增．
∴；
又；
∴．
所以a的取值范围是．
22．【解答】解：（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．
证明：由题意可知，对于任意的m，n∈[﹣1，1]有，
可设x1＝m，x2＝﹣n，则，即，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；
（2）由（1）知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，
又由f（x）＜f（1﹣x），得，解得0≤x，
所以原不等式的解集为[0，）；
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）＝1，
要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥f（x）max＝f（1）＝1，即﹣2at+1≥0﹣恒成立，
令y＝﹣2at+1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[﹣1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要，解得t，
所以实数t的取值范围为．
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