2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 1.5 有理数的乘除 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·滦州模拟）若使得算式-2□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
2．（2023·临清模拟）的倒数是（ ）
A． B．25 C． D．
3．（2023七上·桂平期末）已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·茂南模拟）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①，②，③，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023七上·利州期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中，则下列各式：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021七上·铁锋期中）若abc≠0，则 ＋ + 的值为（ ）
A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±1
8．（2021七上·南开期中）四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
二、填空题
9．（2022七上·凤台期末）已知，，，则的值为 ．
10．（2023七上·广安期末）的相反数是 ，1.5的倒数是 .
11．（2022七上·广阳期末）在2，-4，-5，6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
12．（2022七上·黔东南期中）已知、、三个数在数轴上对应的位置如图所示，下列判断中正确的序号有 .
；
；
；
；
.
13．（2021七上·铁锋期末）若n＝，abc＜0，则n的值为 ．
三、解答题
14．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
15．（2022七上·曹县期中）已知一个数的相反数是，它与另一个数的积是，求这两个数的和．
四、综合题
16．（2022七上·港北期中）
（1）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值；
（2）若在数轴上的位置如图所示，化简式子：。
17．（2021七上·黔西南期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.
（提出问题）已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 的值.
（解决问题）解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， ＝ ＝1＋1＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ＝ ＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
综上所述， 的值为3或－1
（探究拓展）
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， ＝
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 ＋ ＝
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 ＝
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：
而
则使得算式-2□0.25的值最小时，则“□”中填入的运算符号是÷，
故答案为：D．
【分析】将各选项分别代入求出答案，再比较大小即可。
2．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：，
25的倒数是．
故答案为：D．
【分析】利用倒数的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：从数轴可知：，
A、，故原式不正确；
B、，故原式不正确；
C、，故原式正确；
D、，故原式不正确；
故答案为：C.
【分析】利用数轴可知，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：由数轴可得b<0
∴<0，ab<0，a-b>0，-a<-b.
故答案为：B.
【分析】由数轴可得b<00，然后结合有理数的乘除法、减法法则进行判断.
5．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 由有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置可得：，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴；
故②错误，不符合题意；
，
故③正确，符合题意；
∵，，，
∴，
，
故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共有3个.
故答案为：B.
【分析】由数轴可得b0，进而判断②；根据绝对值的性质可判断③④.
6．【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.
7．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：当a、b、c没有负数时，原式＝1＋1+1＝3；
当a、b、c有一个负数时，原式＝ 1＋1+1＝1；
当a、b、c有两个负数时，原式＝ 1 1＋1＝ 1；
当a、b、c有三个负数时，原式＝ 1 1 1＝ 3．
故答案为：A．
【分析】分三种情况，再利用绝对值的性质化简求解即可。
8．【答案】A
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵1×（-1）×3×（-3）=9，
∴a、b、c、d四个数分别为±1，±3，
∴a+b+c+d=1+（-1）+3+（-3）=0．
故答案为：A．
【分析】根据1×（-1）×3×（-3）=9，可得a、b、c、d四个数分别为±1，±3，再求解即可。
9．【答案】5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由得，
，
所以的值为5.
故答案为：5
【分析】根据题意先求出，再将a、b的值代入a-b计算即可。
10．【答案】1；
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解：-1的相反数是1；1.5的倒数是，
故答案为：1，.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数.
11．【答案】20
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，其他数相乘均为负数，
∵．
∴积最大是20．
故答案为：20．
【分析】利用有理数的乘法计算方法求解即可。
12．【答案】①④
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知，，
，故正确；
，故错误；
，故错误；
，故正确；
，故错误；
故答案为：.
【分析】由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知，，根据有理数的乘法、加法、减法及绝对值的性质分别判断即可.
13．【答案】1或﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：因为：abc＜0，
所以a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，
①当a，b，c都是负数，则＝=-1-1-1=-3；
②当a，b，c中有一个为负数，可假设a＜0，b>0，c＞0，
则＝=-1+1+1=1，
故答案为：1或﹣3．
【分析】由abc＜0可知a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，分两类考虑：①当a，b，c都是负数；②当a，b，c中有一个为负数，据此分别求解即可.
14．【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
15．【答案】解：∵一个数的相反数是，
∴这个数是，
∵与另一个数的积是，
∴另一个数是：，
∴这两个数的和为：．
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【分析】先利用相反数和有理数的乘法求出两个数，再列出算式求解即可。
16．【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b=0，cd＝1，m=±2，
∴原式=+3×（±2）2-2×1=10.
（2）解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b-a＞0，
∴原式=-（a+b）-2（b-a）+a=-a-b-2b+2a+a=2a-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，可得a+b=0，cd＝1，m=±2，代入式子中计算求值即可.
（2）观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，利用有理数的加减法法则可得到a+b＜0，b-a＞0；再利用绝对值的性质，化简绝对值，然后合并同类项即可.
17．【答案】（1）0
（2） 或1
（3）-1
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）由题意知a、b异号，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，
综上， ，
故答案为：0；
（2）由题意得： 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当 都是负数，即 时，
则 ；
②当 中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设 ，
则 ；
综上， 的值为 或1，
故答案为： 或1；
（3）因为 ， ，
所以 均不为0，
所以 ， ， ，
所以 中只有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】（1）分a>0、b<0；a<0、b>0，结合绝对值的性质化简即可；
（2）由题意得：a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，然后结合绝对值的性质化简即可；
（3）由已知条件可得a、b、c均不为0，a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a，推出a、b、c中只有一个负数，另两个为正数，然后结合绝对值的性质化简即可.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 1.5 有理数的乘除 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·滦州模拟）若使得算式-2□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】D
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：
而
则使得算式-2□0.25的值最小时，则“□”中填入的运算符号是÷，
故答案为：D．
【分析】将各选项分别代入求出答案，再比较大小即可。
2．（2023·临清模拟）的倒数是（ ）
A． B．25 C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：，
25的倒数是．
故答案为：D．
【分析】利用倒数的定义求解即可。
3．（2023七上·桂平期末）已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：从数轴可知：，
A、，故原式不正确；
B、，故原式不正确；
C、，故原式正确；
D、，故原式不正确；
故答案为：C.
【分析】利用数轴可知，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可.
4．（2023·茂南模拟）已知a、b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（ ）
①，②，③，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：由数轴可得b<0∴<0，ab<0，a-b>0，-a<-b.
故答案为：B.
【分析】由数轴可得b<00，然后结合有理数的乘除法、减法法则进行判断.
5．（2023七上·利州期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中，则下列各式：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较；有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： 由有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置可得：，
∴，
故①正确，符合题意；
∵，
∴，
∴；
故②错误，不符合题意；
，
故③正确，符合题意；
∵，，，
∴，
，
故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①③④，共有3个.
故答案为：B.
【分析】由数轴可得b0，进而判断②；根据绝对值的性质可判断③④.
6．（2021七上·长沙期末）有理数 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴可得，b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，
∴abc＞0，①正确；
a-b+c＞0， ，②不正确；
，③正确；
，④正确，
故答案为：C.
【分析】由数轴可得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|，根据有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质分别计算，再判断即可.
7．（2021七上·铁锋期中）若abc≠0，则 ＋ + 的值为（ ）
A．±3或±1 B．±3或0或±1 C．±3或0 D．0或±1
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：当a、b、c没有负数时，原式＝1＋1+1＝3；
当a、b、c有一个负数时，原式＝ 1＋1+1＝1；
当a、b、c有两个负数时，原式＝ 1 1＋1＝ 1；
当a、b、c有三个负数时，原式＝ 1 1 1＝ 3．
故答案为：A．
【分析】分三种情况，再利用绝对值的性质化简求解即可。
8．（2021七上·南开期中）四个各不相等的整数，满足，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．10 D．无法确定
【答案】A
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵1×（-1）×3×（-3）=9，
∴a、b、c、d四个数分别为±1，±3，
∴a+b+c+d=1+（-1）+3+（-3）=0．
故答案为：A．
【分析】根据1×（-1）×3×（-3）=9，可得a、b、c、d四个数分别为±1，±3，再求解即可。
二、填空题
9．（2022七上·凤台期末）已知，，，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由得，
，
所以的值为5.
故答案为：5
【分析】根据题意先求出，再将a、b的值代入a-b计算即可。
10．（2023七上·广安期末）的相反数是 ，1.5的倒数是 .
【答案】1；
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解：-1的相反数是1；1.5的倒数是，
故答案为：1，.
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数.
11．（2022七上·广阳期末）在2，-4，-5，6这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【答案】20
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：，，其他数相乘均为负数，
∵．
∴积最大是20．
故答案为：20．
【分析】利用有理数的乘法计算方法求解即可。
12．（2022七上·黔东南期中）已知、、三个数在数轴上对应的位置如图所示，下列判断中正确的序号有 .
；
；
；
；
.
【答案】①④
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知，，
，故正确；
，故错误；
，故错误；
，故正确；
，故错误；
故答案为：.
【分析】由数轴上右边表示的数总大于左边表示的数，可知，，根据有理数的乘法、加法、减法及绝对值的性质分别判断即可.
13．（2021七上·铁锋期末）若n＝，abc＜0，则n的值为 ．
【答案】1或﹣3
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：因为：abc＜0，
所以a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，
①当a，b，c都是负数，则＝=-1-1-1=-3；
②当a，b，c中有一个为负数，可假设a＜0，b>0，c＞0，
则＝=-1+1+1=1，
故答案为：1或﹣3．
【分析】由abc＜0可知a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，分两类考虑：①当a，b，c都是负数；②当a，b，c中有一个为负数，据此分别求解即可.
三、解答题
14．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
15．（2022七上·曹县期中）已知一个数的相反数是，它与另一个数的积是，求这两个数的和．
【答案】解：∵一个数的相反数是，
∴这个数是，
∵与另一个数的积是，
∴另一个数是：，
∴这两个数的和为：．
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【分析】先利用相反数和有理数的乘法求出两个数，再列出算式求解即可。
四、综合题
16．（2022七上·港北期中）
（1）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的值；
（2）若在数轴上的位置如图所示，化简式子：。
【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b=0，cd＝1，m=±2，
∴原式=+3×（±2）2-2×1=10.
（2）解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b-a＞0，
∴原式=-（a+b）-2（b-a）+a=-a-b-2b+2a+a=2a-3b
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，可得a+b=0，cd＝1，m=±2，代入式子中计算求值即可.
（2）观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，利用有理数的加减法法则可得到a+b＜0，b-a＞0；再利用绝对值的性质，化简绝对值，然后合并同类项即可.
17．（2021七上·黔西南期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到"分类讨论"的数学思想，下面是运用"分类讨论"的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题.
（提出问题）已知有理数a，b，c满足abc＞0，求 的值.
（解决问题）解∶由题意，得 a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数.
①当a，b，c都为正数，即a＞0，b＞0，c＞0时， ＝ ＝1＋1＋1＝3
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则 ＝ ＝1＋（－1）＋（－1）＝－1
综上所述， 的值为3或－1
（探究拓展）
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝－ab时， ＝
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求 ＋ ＝
（3）已知a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，abc＜0，求 ＝
【答案】（1）0
（2） 或1
（3）-1
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：（1）由题意知a、b异号，分以下两种情况：
①当 时， ，
②当 时， ，
综上， ，
故答案为：0；
（2）由题意得： 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当 都是负数，即 时，
则 ；
②当 中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设 ，
则 ；
综上， 的值为 或1，
故答案为： 或1；
（3）因为 ， ，
所以 均不为0，
所以 ， ， ，
所以 中只有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】（1）分a>0、b<0；a<0、b>0，结合绝对值的性质化简即可；
（2）由题意得：a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，然后结合绝对值的性质化简即可；
（3）由已知条件可得a、b、c均不为0，a+b=-c，c+a=-b，b+c=-a，推出a、b、c中只有一个负数，另两个为正数，然后结合绝对值的性质化简即可.
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