2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 2.1 代数式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·雅安）若．则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2023·巴中）若满足，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·巴中）我国南宋时期数学家杨辉于年写下的详解九章算法，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为时，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023七下·平谷期末）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如6615用算筹表示就是 ，则2023用算筹可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·金华期末）两个水桶中装有体积相等的水．先把甲桶的水倒一半至乙桶，再把乙桶的水倒出三分之一给甲桶，且整个过程中没有水溢出．则现在两个水桶中水的量是（ ）
A．甲桶中的水多 B．乙桶中的水多
C．一样多 D．无法比较
6．（2023七下·鄞州期末）如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·常山期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2023七下·岑溪期末）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2015个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·大埔期末）当 时，代数式的值为零．
10．（2023七下·汕尾）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是 ．
11．（2023七下·白银期末）如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，…，依此类推，则第2023个图中共有 个三角形．
12．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
13．（2023七下·高碑店期末）将“ ”和“ ”按如图所示的方式有规律的排列．
（1）图 中“ ”的个数为7（填序号）；
（2）设图中“ ”的个数为，“ ”的个数为，写出与的函数关系式为 ；
（3）若图中“ ”的个数与“ ”的个数之和为247，则 ．
三、解答题
14．（2023七下·丰满期末）我们规定的运算法则为，例如. 若，求的取值范围.
15．（2023七下·宿州月考）从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为的正方形土地租给租户约翰，第二年，他对约翰说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变形矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论．
四、综合题
16．（2023七下·西城期末）在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：．
（1）已知点．
①若点Q与点P重合，则 ；
②若点，则 ；
（2）正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
（3）若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围．
17．（2023八下·通川期末）某商场为了促销，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
（1）探究一：①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
④从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
②从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
（4）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
（5）问题解决：从100张面值分别为l元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
（6）拓展延伸：
①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，使得取出的这些整数之和共有2023种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（n为整数，且）这个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
2．【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x2+3x-5=0，∴x2+3x=5，∴2x2+6x-3=2（x2+3x）-3=2×5-3=7
故答案为：B.
【分析】先求出x2+3x=5，然后再整体代入求得2x2+6x-3的值即可。
3．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据 （a+b）n展开式的系数规律得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1，∴=x4+4x3×(-3)+6x2×（-3）2+4x×（-3）3=（x-3）4=1，∴x-3=1或者x-3=-1，∴x=4或x=2.
故答案为：C.
【分析】根据根据（a+b）n展开式的系数规律，可得=（x-3）4=1，解方程可求得x的值。
4．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：2023用算筹表示为：
千位上是2，用横式表示为=，
百位上是0，则置空，
十位上是2，则用横式表示为=，
个位上是3，则用纵式表示为|||，
故答案为：D.
【分析】理解题意，根据算筹的计算方法计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：设原先水桶里的水量为x，
原先：甲桶的水量x，乙桶的水量x；
第一次倒水后：甲桶的水量，乙桶的水量；
第二次倒水后：甲桶的水量，乙桶的水量，
现在两个桶中的水量一样多，
故答案为：C.
【分析】设原先水桶里的水量为x，由甲桶的水倒一半至乙桶可得倒水后甲桶的水量为，乙桶的水量为，再根据乙桶的水倒出三分之一给甲桶可得现在甲桶的水量，乙桶的水量，故两个桶中的水量一样多.
6．【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，由题意可知：S=2（a-1），
则②号和③号正方形未被遮盖部分的面积：S=1×a-[（1×1）-1×（a-1）]=2a-1
S阴影=（a-1）×（a-1）=
故答案为：D.
【分析】需要设出正方形的边长，在设出遮住部分的阴影面积，利用列代数式求解.
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，第三次输出的结果为，第四次输出的结果为，第五次输出的结果为2……
∴三次一个循环，
∵2023÷3=674……1，
∴第2023次输出的结果为.
故答案为：C.
【分析】分别求出第一次、第二次、第三次、第四次、第五次输出的结果，推出三次一个循环，然后求出2023÷3的商与余数，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 一列数按如下顺序排列：，，，，，，······，
∴ 第2015个数是
故答案为：D.
【分析】分别归纳该组数的符号、分子、分母的规律即可.
9．【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意列得： ，
去分母得：x+1-3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是原分式方程的解，
则当x=2时，代数式的值为零.
故答案为：2.
【分析】根据题意列出关于x的分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值.
10．【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次；
每循环一次向右移动四个单位，
而2023=4×505+3，
当第504循环结束时，点P位置在(2020，0)，在此基础之上运动三次到(2023，-2).
故答案为：(2023，-2).
【分析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次；每循环一次向右移动四个单位，从而用2023÷4，商决定循环次数，余数判断出具体位置，从而结合规律可得答案.
11．【答案】8089
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 第1个图中有1个三角形， 即有4x1-3=1(个)三角形，
第2个图中共有5个三角形， 即有4x2-3=5(个)三角形，
第3个图中共有9个三角形，即有4x3-3=9(个)三角形，
……
∴第n个图中共有(4n-3)个三角形，
∴第2023个图中共有三角形的个数为：4×2023-3=8089(个)，
故答案为：8089.
【分析】观察图形，找出规律：第n个图中共有(4n-3)个三角形，再计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．【答案】（1）6
（2）
（3）83
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）图1中“ ”的个数为2，图2中“ ”的个数为3，图3中“ ”的个数为4，·····，
∴图6中“ ”的个数为7，图n中“ ”的个数为（n+1）；
故答案为：6.
（2）图1中“ ”的个数x=2，y=2，
图2中“ ”的个数x=3，y=4，
图3中“ ”的个数x=4，y=6·····，
∴y=2x-2，
故答案为：y=2x-2.
（3）由题意得：2x-2+x=247，
解得：x=83，
故答案为：83.
【分析】（1）根据题干中前3个图形中小长方形的个数，从而找出规律即可求解；
（2）根据题干中前3个图形中x与y的关系即可求解；
（3）利用（2）结论列出方程并解之即可.
14．【答案】解：∵
∴
∵
∴，解得
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据所给的运算法则求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
15．【答案】解：约翰吃亏了．
理由：原正方形土地的面积为，
改变后的土地面积为．
改变后土地面积比原来少了，所以约翰吃亏了．
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【分析】先求出改变后的土地面积，再比较大小即可。
16．【答案】（1）1；0
（2）解：设点Q的坐标为，
∴，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
∵，
∴，，
∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为．
（3）或或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：M[P，Q]=×(1+1-|1-1|)+×(0+0-|0-0|)=×2+0=1，
故答案为：1；
②由题意可得：M[P，Q]=×(3+1-|3-1|)+×(-1+0-|-1-0|)=×2+x(-2)=0，
故答案为：0；
(3)由题意可得，M[P，Q]=(k+1-|k-1|)+(5-k+2-|5-k-2|)=(k+1-|k-1|)+(7-k-|3-k|)，
当k<1时，M[P，Q]=(k+1-1+k)+(7-k-3+k)=k+2，
∵M[P，Q]>0，
∴k+2>0，
∴-2∵M[P，Q]为奇数，
∴k为奇数，
∴k=-1；
当1≤k≤3时，M[P，Q]=(k+1-k+1)+(7-k-3+k)=3，
则满足M[P，Q]>0且M[P，Q]为奇数，
∴1≤k≤3，
当k>3时，M[P，Q]=(k+1-k+1)+(7-k-k+3)=6-k，
∵M[P，Q]>0
∴6-k＞0，
∴k＜6，
∴3＜k＜6，
∵M[P，Q]为奇数，
∴k为奇数，
∴k=5，
综上所述：1≤k≤3或k=-1或k=5.
【分析】（1）根据所给的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再分类讨论计算求解即可；
（3）分类讨论，根据所给的定义求解即可.
17．【答案】（1）7；
（2）4；
（3）
（4）
（5）476
（6）解：①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，这6个整数之和的最小值为，最大值为，因此这个整数之和共有种不同结果，令，则；从l，2，3，…，343这343个整数中任取6个整数，则取出的这些整数之和共有2023种不同的结果；②
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）③∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+5=7，3+5=8，4+5=9，
∴ 从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果 ；
④根据探究一 ：
①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3=2×3-3种不同的结果 ，
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5=2×4-3种不同的结果 ，
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7=2×5-3种不同的结果 ，
∴ 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n-3） 种不同的结果；
故答案为：7，（2n-3）；
（2） 探究二：
①∵1+2+3=6，1+2+4=7，1+3+4=8，2+3+4=9，
∴ 从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4=3×4-8种不同的结果；
② 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n-8） 种不同的结果；
故答案为：4，（3n-8） ；
（3）探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n-15）种不同的结果．
故答案为：4n-15
(4)、归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
故答案为： .
（5）由规律得：5（100-5）+1=476，
故答案为：476.
【分析】（1）③模仿①②分别求出所有2个整数的和，求出不同结果的个数即可；
④根据①②③的结果找出规律即可；
（2）①模仿探究一求解即可；
②根据①的结果找出规律即可；
（3）模仿探究一求解即可；
（4）根据探究一、二、三找出规律即可；
（5）根据归纳的结论直接列式计算即可；
（6）①分别求出这n个整数中任取6个整数，这6个整数之和的最小值与最大值，再求出这个整数之和共有6n-35种不同的结果，令 ， 解出n值即可；②由①得 .
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 2.1 代数式 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·雅安）若．则的值是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
2．（2023·巴中）若满足，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x2+3x-5=0，∴x2+3x=5，∴2x2+6x-3=2（x2+3x）-3=2×5-3=7
故答案为：B.
【分析】先求出x2+3x=5，然后再整体代入求得2x2+6x-3的值即可。
3．（2023·巴中）我国南宋时期数学家杨辉于年写下的详解九章算法，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为时，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据 （a+b）n展开式的系数规律得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1，∴=x4+4x3×(-3)+6x2×（-3）2+4x×（-3）3=（x-3）4=1，∴x-3=1或者x-3=-1，∴x=4或x=2.
故答案为：C.
【分析】根据根据（a+b）n展开式的系数规律，可得=（x-3）4=1，解方程可求得x的值。
4．（2023七下·平谷期末）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如6615用算筹表示就是 ，则2023用算筹可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：2023用算筹表示为：
千位上是2，用横式表示为=，
百位上是0，则置空，
十位上是2，则用横式表示为=，
个位上是3，则用纵式表示为|||，
故答案为：D.
【分析】理解题意，根据算筹的计算方法计算求解即可。
5．（2023七下·金华期末）两个水桶中装有体积相等的水．先把甲桶的水倒一半至乙桶，再把乙桶的水倒出三分之一给甲桶，且整个过程中没有水溢出．则现在两个水桶中水的量是（ ）
A．甲桶中的水多 B．乙桶中的水多
C．一样多 D．无法比较
【答案】C
【知识点】用字母表示数
【解析】【解答】解：设原先水桶里的水量为x，
原先：甲桶的水量x，乙桶的水量x；
第一次倒水后：甲桶的水量，乙桶的水量；
第二次倒水后：甲桶的水量，乙桶的水量，
现在两个桶中的水量一样多，
故答案为：C.
【分析】设原先水桶里的水量为x，由甲桶的水倒一半至乙桶可得倒水后甲桶的水量为，乙桶的水量为，再根据乙桶的水倒出三分之一给甲桶可得现在甲桶的水量，乙桶的水量，故两个桶中的水量一样多.
6．（2023七下·鄞州期末）如图，正方形内部摆放着①号，②号，③号3个边长都为1的正方形，其中②号正方形的部分被①号和③号正方形遮盖，若②号和③号正方形未被遮盖部分的面积为，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，由题意可知：S=2（a-1），
则②号和③号正方形未被遮盖部分的面积：S=1×a-[（1×1）-1×（a-1）]=2a-1
S阴影=（a-1）×（a-1）=
故答案为：D.
【分析】需要设出正方形的边长，在设出遮住部分的阴影面积，利用列代数式求解.
7．（2023七下·常山期末）如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，…，则第2023次输出的结果为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次输出的结果为，第二次输出的结果为2，第三次输出的结果为，第四次输出的结果为，第五次输出的结果为2……
∴三次一个循环，
∵2023÷3=674……1，
∴第2023次输出的结果为.
故答案为：C.
【分析】分别求出第一次、第二次、第三次、第四次、第五次输出的结果，推出三次一个循环，然后求出2023÷3的商与余数，据此解答.
8．（2023七下·岑溪期末）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2015个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解： 一列数按如下顺序排列：，，，，，，······，
∴ 第2015个数是
故答案为：D.
【分析】分别归纳该组数的符号、分子、分母的规律即可.
二、填空题
9．（2023八下·大埔期末）当 时，代数式的值为零．
【答案】2
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据题意列得： ，
去分母得：x+1-3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是原分式方程的解，
则当x=2时，代数式的值为零.
故答案为：2.
【分析】根据题意列出关于x的分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值.
10．（2023七下·汕尾）如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次；
每循环一次向右移动四个单位，
而2023=4×505+3，
当第504循环结束时，点P位置在(2020，0)，在此基础之上运动三次到(2023，-2).
故答案为：(2023，-2).
【分析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次；每循环一次向右移动四个单位，从而用2023÷4，商决定循环次数，余数判断出具体位置，从而结合规律可得答案.
11．（2023七下·白银期末）如图，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，…，依此类推，则第2023个图中共有 个三角形．
【答案】8089
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 第1个图中有1个三角形， 即有4x1-3=1(个)三角形，
第2个图中共有5个三角形， 即有4x2-3=5(个)三角形，
第3个图中共有9个三角形，即有4x3-3=9(个)三角形，
……
∴第n个图中共有(4n-3)个三角形，
∴第2023个图中共有三角形的个数为：4×2023-3=8089(个)，
故答案为：8089.
【分析】观察图形，找出规律：第n个图中共有(4n-3)个三角形，再计算求解即可。
12．（2023七下·上虞期末）若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
【分析】由已知条件求得m+n=-1，再将原式化成连续两次代值计算即可.
13．（2023七下·高碑店期末）将“ ”和“ ”按如图所示的方式有规律的排列．
（1）图 中“ ”的个数为7（填序号）；
（2）设图中“ ”的个数为，“ ”的个数为，写出与的函数关系式为 ；
（3）若图中“ ”的个数与“ ”的个数之和为247，则 ．
【答案】（1）6
（2）
（3）83
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）图1中“ ”的个数为2，图2中“ ”的个数为3，图3中“ ”的个数为4，·····，
∴图6中“ ”的个数为7，图n中“ ”的个数为（n+1）；
故答案为：6.
（2）图1中“ ”的个数x=2，y=2，
图2中“ ”的个数x=3，y=4，
图3中“ ”的个数x=4，y=6·····，
∴y=2x-2，
故答案为：y=2x-2.
（3）由题意得：2x-2+x=247，
解得：x=83，
故答案为：83.
【分析】（1）根据题干中前3个图形中小长方形的个数，从而找出规律即可求解；
（2）根据题干中前3个图形中x与y的关系即可求解；
（3）利用（2）结论列出方程并解之即可.
三、解答题
14．（2023七下·丰满期末）我们规定的运算法则为，例如. 若，求的取值范围.
【答案】解：∵
∴
∵
∴，解得
【知识点】定义新运算
【解析】【分析】根据所给的运算法则求出 ，再求出 ， 最后计算求解即可。
15．（2023七下·宿州月考）从前，古希腊的一位庄园主人把一块边长为的正方形土地租给租户约翰，第二年，他对约翰说：“我把这块地的一边增加，相邻的另一边减少，变形矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”若是这样，你觉得约翰吃亏了吗？通过计算说明你的结论．
【答案】解：约翰吃亏了．
理由：原正方形土地的面积为，
改变后的土地面积为．
改变后土地面积比原来少了，所以约翰吃亏了．
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【分析】先求出改变后的土地面积，再比较大小即可。
四、综合题
16．（2023七下·西城期末）在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：．
（1）已知点．
①若点Q与点P重合，则 ；
②若点，则 ；
（2）正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；
（3）若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）1；0
（2）解：设点Q的坐标为，
∴，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
∵，
∴，，
∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为．
（3）或或
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得：M[P，Q]=×(1+1-|1-1|)+×(0+0-|0-0|)=×2+0=1，
故答案为：1；
②由题意可得：M[P，Q]=×(3+1-|3-1|)+×(-1+0-|-1-0|)=×2+x(-2)=0，
故答案为：0；
(3)由题意可得，M[P，Q]=(k+1-|k-1|)+(5-k+2-|5-k-2|)=(k+1-|k-1|)+(7-k-|3-k|)，
当k<1时，M[P，Q]=(k+1-1+k)+(7-k-3+k)=k+2，
∵M[P，Q]>0，
∴k+2>0，
∴-2∵M[P，Q]为奇数，
∴k为奇数，
∴k=-1；
当1≤k≤3时，M[P，Q]=(k+1-k+1)+(7-k-3+k)=3，
则满足M[P，Q]>0且M[P，Q]为奇数，
∴1≤k≤3，
当k>3时，M[P，Q]=(k+1-k+1)+(7-k-k+3)=6-k，
∵M[P，Q]>0
∴6-k＞0，
∴k＜6，
∴3＜k＜6，
∵M[P，Q]为奇数，
∴k为奇数，
∴k=5，
综上所述：1≤k≤3或k=-1或k=5.
【分析】（1）根据所给的定义计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再分类讨论计算求解即可；
（3）分类讨论，根据所给的定义求解即可.
17．（2023八下·通川期末）某商场为了促销，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
（1）探究一：①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
④从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
②从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 种不同的结果．
（4）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
（5）问题解决：从100张面值分别为l元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
（6）拓展延伸：
①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，使得取出的这些整数之和共有2023种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（n为整数，且）这个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
【答案】（1）7；
（2）4；
（3）
（4）
（5）476
（6）解：①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，这6个整数之和的最小值为，最大值为，因此这个整数之和共有种不同结果，令，则；从l，2，3，…，343这343个整数中任取6个整数，则取出的这些整数之和共有2023种不同的结果；②
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）③∵1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+5=7，3+5=8，4+5=9，
∴ 从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7种不同的结果 ；
④根据探究一 ：
①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有3=2×3-3种不同的结果 ，
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有5=2×4-3种不同的结果 ，
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有7=2×5-3种不同的结果 ，
∴ 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有（2n-3） 种不同的结果；
故答案为：7，（2n-3）；
（2） 探究二：
①∵1+2+3=6，1+2+4=7，1+3+4=8，2+3+4=9，
∴ 从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4=3×4-8种不同的结果；
② 从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有（3n-8） 种不同的结果；
故答案为：4，（3n-8） ；
（3）探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有（4n-15）种不同的结果．
故答案为：4n-15
(4)、归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有 种不同的结果．
故答案为： .
（5）由规律得：5（100-5）+1=476，
故答案为：476.
【分析】（1）③模仿①②分别求出所有2个整数的和，求出不同结果的个数即可；
④根据①②③的结果找出规律即可；
（2）①模仿探究一求解即可；
②根据①的结果找出规律即可；
（3）模仿探究一求解即可；
（4）根据探究一、二、三找出规律即可；
（5）根据归纳的结论直接列式计算即可；
（6）①分别求出这n个整数中任取6个整数，这6个整数之和的最小值与最大值，再求出这个整数之和共有6n-35种不同的结果，令 ， 解出n值即可；②由①得 .
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