2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.1 一元一次方程及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·金华期末）把方程变形为的依据是（ ）
A．分数的基本性质 B．等式的性质1
C．等式的性质2 D．倒数的定义
2．（2023七下·金华期末）方程的整数解共有（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．2022
3．（2023七下·金华期末）若是关于的方程的解，则代数式的值为（ ）
A． B．7 C． D．9
4．（2023七下·泉港期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·鹤壁期末）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2023七下·东阿期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42-x） B．48+x＝2×42
C．48-x＝2（42+x） D．48+x＝2（42-x）
7．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是 （ ）．
A．15 B．17 C．19 D．21
8．（2021七上·江北期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七下·博罗期末）若是方程的解，则= ．
10．（2023七下·如东月考）若，，则 ．
11．（2023·大连）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ．
12．（2023七下·阳江期末）把方程7x－4y＝8变形为用含y的式子表示x的形式： ．
13．（2022七上·长沙开学考）如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
三、解答题
14．（2023七上·长安期末）已知关于的方程的解是的倒数，求的值.
15．（2022七下·龙岗月考）已知方程有两个不同的解，试求 的值．
四、综合题
16．（2022七上·新余期中）设表示不小于a的最小整数，例如：，，．
（1）求的值；
（2）设，，，解方程．
17．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：，
两边同时乘以2，得，
故答案为：C.
【分析】等式的性质2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），所得结果仍为等式.
2．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解一元一次方程；估计方程的解
【解析】【解答】解：当时，原方程可化为，
，等式不成立，
方程无解；
当时，原方程可化为，
，
；
当时，原方程可化为，
，等式成立，
方程的整数解有1011个；
当时，原方程可化为，
，
，
方程无解；
当时，原方程可化为，
，等式不成立，
方程无解；
综上所述，方程的整数解共有
故答案为：C.
【分析】对x的取值范围进行分类讨论化简绝对值，再根据取值范围求得x的整数解.
3．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程，
得，
，
，
故答案为：A.
【分析】先将方程的解代入方程得到a-2b=-4，再整体代入代数式求值.
4．【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以6，可得3x=2y.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立进行解答.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：方程是关于x的一元一次方程，
，
，
故答案为：B.
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.
6．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设从乙处调配x人去甲处，
由题意得： 48+x＝2（42-x） ；
故答案为：D.
【分析】设从乙处调配x人去甲处， 则甲处有48+x人，乙处有（42-x）人，根据“ 甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍 ”列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程；探索图形规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意得：y+1=4+x，
∴y=3+x，
又∵4+1=-3+y，
∴x=5，
∴y=8，
∴x+2y=5+2×8=21.
故答案为：D.
【分析】由每行每列每条对角线上的三个数之和相等得y+1=4+x，从而得y=3+x，又有4+1=-3+y，从而求得x=5，则y=8，再代入x+2y中计算求解.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
【分析】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可.
9．【答案】1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程得：3-2a=1，
解得：a=1
故答案为：1.
【分析】把x与y的值代入方程，得一元一次方程3-2a=1，解之即可.
10．【答案】6
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴()+()=4()=12，
∴=3，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】将已知等式相加并化简可得的值，据此求解.
11．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意可得8x-3=7x+4.
故答案为：8x-3=7x+4.
【分析】 根据每人出8元钱，会多3钱可得费用为8x-3；根据每人出7元钱，又差4钱可得费用为7x+4，据此即可列出方程.
12．【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等式的基本性质对等式进行变形.
13．【答案】23
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由 是整数知， 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为：23.
【分析】根据题意可得7|k或7|x，若为前者，根据 可得k只能为7，此时x=>-3，求出x的范围，然后验证即可；若为后者，同理求解即可.
14．【答案】解：∵的倒数是，
∴方程的解是，
将代入方程，得，
解得，
所以m的值是6.
【知识点】有理数的倒数；一元一次方程的解
【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得x=-5，进而根据方程根的概念，将x=-5代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可.
15．【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
∵方程有两个不同的解，
∴，
解得：，
∴
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将方程变形为，再根据题意可得求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：原式=
=．
（2）解：由题知：，，，
∴．
∵，
∴原方程化为：，
解得：．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法可得，再求出即可。
17．【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.1 一元一次方程及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·金华期末）把方程变形为的依据是（ ）
A．分数的基本性质 B．等式的性质1
C．等式的性质2 D．倒数的定义
【答案】C
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：，
两边同时乘以2，得，
故答案为：C.
【分析】等式的性质2：等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为0），所得结果仍为等式.
2．（2023七下·金华期末）方程的整数解共有（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．2022
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；解一元一次方程；估计方程的解
【解析】【解答】解：当时，原方程可化为，
，等式不成立，
方程无解；
当时，原方程可化为，
，
；
当时，原方程可化为，
，等式成立，
方程的整数解有1011个；
当时，原方程可化为，
，
，
方程无解；
当时，原方程可化为，
，等式不成立，
方程无解；
综上所述，方程的整数解共有
故答案为：C.
【分析】对x的取值范围进行分类讨论化简绝对值，再根据取值范围求得x的整数解.
3．（2023七下·金华期末）若是关于的方程的解，则代数式的值为（ ）
A． B．7 C． D．9
【答案】A
【知识点】代数式求值；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程，
得，
，
，
故答案为：A.
【分析】先将方程的解代入方程得到a-2b=-4，再整体代入代数式求值.
4．（2023七下·泉港期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以6，可得3x=2y.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立进行解答.
5．（2023七下·鹤壁期末）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：方程是关于x的一元一次方程，
，
，
故答案为：B.
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫做一元一次方程.
6．（2023七下·东阿期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有48人，在乙处植树的有42人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设从乙处调配x人去甲处，则（ ）
A．48＝2（42-x） B．48+x＝2×42
C．48-x＝2（42+x） D．48+x＝2（42-x）
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设从乙处调配x人去甲处，
由题意得： 48+x＝2（42-x） ；
故答案为：D.
【分析】设从乙处调配x人去甲处， 则甲处有48+x人，乙处有（42-x）人，根据“ 甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍 ”列出方程即可.
7．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是 （ ）．
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】D
【知识点】等式的性质；解一元一次方程；探索图形规律；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意得：y+1=4+x，
∴y=3+x，
又∵4+1=-3+y，
∴x=5，
∴y=8，
∴x+2y=5+2×8=21.
故答案为：D.
【分析】由每行每列每条对角线上的三个数之和相等得y+1=4+x，从而得y=3+x，又有4+1=-3+y，从而求得x=5，则y=8，再代入x+2y中计算求解.
8．（2021七上·江北期中）若不论 取什么实数，关于 的方程 （ 、 常数）的解总是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解总是
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
故答案为：A.
【分析】将x=1代入方程中可得，根据方程解总是 ，可知该方程的解与k的值无关，故可得字母k的系数应该等于0，据此推出4+b=0，7-2a=0，据此解答即可.
二、填空题
9．（2023七下·博罗期末）若是方程的解，则= ．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程得：3-2a=1，
解得：a=1
故答案为：1.
【分析】把x与y的值代入方程，得一元一次方程3-2a=1，解之即可.
10．（2023七下·如东月考）若，，则 ．
【答案】6
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴()+()=4()=12，
∴=3，
∴=6.
故答案为：6.
【分析】将已知等式相加并化简可得的值，据此求解.
11．（2023·大连）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为： ．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意可得8x-3=7x+4.
故答案为：8x-3=7x+4.
【分析】 根据每人出8元钱，会多3钱可得费用为8x-3；根据每人出7元钱，又差4钱可得费用为7x+4，据此即可列出方程.
12．（2023七下·阳江期末）把方程7x－4y＝8变形为用含y的式子表示x的形式： ．
【答案】
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等式的基本性质对等式进行变形.
13．（2022七上·长沙开学考）如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为 ．
【答案】23
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由 是整数知， 或 ．
若为前者，由于 ，
故知 只能为 ．
此时， ，
解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设 ，其中 是正整数．
则 ，
故 时取到 或 时取到 ．
因此所求答案为 ．
故答案为：23.
【分析】根据题意可得7|k或7|x，若为前者，根据 可得k只能为7，此时x=>-3，求出x的范围，然后验证即可；若为后者，同理求解即可.
三、解答题
14．（2023七上·长安期末）已知关于的方程的解是的倒数，求的值.
【答案】解：∵的倒数是，
∴方程的解是，
将代入方程，得，
解得，
所以m的值是6.
【知识点】有理数的倒数；一元一次方程的解
【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得x=-5，进而根据方程根的概念，将x=-5代入原方程可得关于字母m的方程，求解即可.
15．（2022七下·龙岗月考）已知方程有两个不同的解，试求 的值．
【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
∵方程有两个不同的解，
∴，
解得：，
∴
【知识点】代数式求值；解一元一次方程
【解析】【分析】将方程变形为，再根据题意可得求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
四、综合题
16．（2022七上·新余期中）设表示不小于a的最小整数，例如：，，．
（1）求的值；
（2）设，，，解方程．
【答案】（1）解：原式=
=．
（2）解：由题知：，，，
∴．
∵，
∴原方程化为：，
解得：．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法可得，再求出即可。
17．（2022七上·平谷期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的k—后移方程 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程是关于 x 的方程的“2—后移方程”，求n的值
（3）当时，如果方程是方程的“3—后移方程”求代数式的值．
【答案】（1）是
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，
∴，
∴；
（3）解：解方程，得，
解方程，得，
∵方程是方程的“3—后移方程”，
∴，
∴，
把代入，
∴原式
．
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程是方程的1—后移方程；
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“k—后移方程”的定义求解即可；
（2）先求出方程的解，再根据“2—后移方程”的定义可得，再求出即可；
（3）先求出方程的解，再根据“3—后移方程”的定义可得，求出，再将其代入计算即可。
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