2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.3 二元一次方程组及其解法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·长春期末）把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·五华期末）如果x，y满足方程，那么的值是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
3．（2023七下·上虞期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·平泉期末）如图，嘉嘉和琪琪用不同的方法解方程组，两人求x的过程正确的是（ ）
A．两人都正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确
C．嘉嘉正确，琪琪不正确 D．两人都不正确
5．（2023七下·桦甸期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·铁西期末）由，得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·新疆期末）在等式中，当时，；当时，．则、的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2023七下·惠阳期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·塔城期末）方程有一个解是，则k的值是 ．
10．（2023七下·五华期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值是 ．
11．（2023七下·金东期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当x，y互为相反数时，；②无论a取何值，这个方程组的解也是方程的解；③无论a取何值，的值不变；④；其中正确的有 （填写序号）．
12．（2023七下·汕尾）已知是方程的解，则m= ．
13．（2023七下·顺平期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数、满足，，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题：
（1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ；
（2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
三、解答题
14．（2023七下·杭州期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值．
15．（2023七下·侯马期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
四、综合题
16．（2023七下·平泉期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 ，y的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
17．（2023七下·阳城期末）课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得方程改写成用含x的式子表示y的形式为，
故答案为：B
【分析】根据题意列出二元一次方程即可求解。
2．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
②-①得，x-2y=8.
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法，得出x-2y即可.
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、未知数项的最高次数是二次，不是二元一次方程，故A选项错误，不符合题意；
B、原方程整理得x-5y=0，是二元一次方程，故B选项正确，符合题意；
C、是分式，不是二元一次方程，C选项错误，不符合题意；
D、方程含有3个未知数，不是二元一次方程，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程满足的条件：方程为整式方程、只含有2个未知数、未知数的项的最高次数是1，逐一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据代入消元法及加减消元法解方程组即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得为二元一次方程，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程的定义结合题意即可求解。
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得由，得到用x表示y的式子为，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程变形即可求解。
7．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意列方程组，再解方程组求解即可。
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有好酒x瓶，薄酒y瓶 ，
好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，
x瓶好酒醉倒3x位客人，y瓶薄酒醉倒位客人，
根据如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒可列出方程组 .
故答案为：A.
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶 ，根据33位客人醉倒可列出方程，再根据共饮19瓶酒可列出方程x+y=19，联立方程组即可 .
9．【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵方程有一个解是，
∴2k+3=5，
解得：k=1，
故答案为：1.
【分析】将代入方程求出2k+3=5，再计算求解即可。
10．【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解，
∴4=3+a，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程x=3+ay中，求得a的值.
11．【答案】①②③④
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①、当x，y互为相反数时，x+y=0
∴5x+5y=0
（1）+（2）得：5x+5y=8+4a
∴8+4a=0
解得：a=-2
∴①正确；
②、（1）-（2）得：x-y=8-2a
∴无论a取何值，这个方程组的解也是方程x-y=8-2a的解
∴②正确；
③、（1）×3-（2）得：3(3x+2y)-(2x+3y)=3(8+a)-3a
∴9x+6y-2x-3y=24+3a-3a
∴7x+3y=24
∴无论a取何值，7x+3y的值不变，始终等于24
∴③正确；
④、由③得：7x+3y=24
∴7x=24-3y
∴
即：
∴④正确；
综上所述： 正确的有①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】本题直接解方程比较麻烦，所以采用整体考虑.
①x，y互为相反数可得x+y=0，此时观察可以发现只需要将方程组的两个方程相加即可得到关于a的方程，从而求出a并做出判断；
②此时观察可以发现只需要将方程组的两个方程相减即可得到题目给的方程，从而做出判断；
③此时观察可以发现第一个方程乘以3减去第二个方程就可以得到7x+3y，从而做出判断；
④将③得到的方程化简下就可以用y表示x，从而做出判断.
12．【答案】5
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程，
得，
.
故答案为：5.
【分析】将x、y的值代入原方程得到关于m的一元一次方程，进而解得m的值.
13．【答案】（1）-3；5
（2）
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由②-①得：x-y=-3
由①+②得：3x+3y=15，即x+y=5；
故答案为：-3，5.
（2）由题意可得x+2=m，y-1=n，
∵方程组的解是
∴
解得：
故答案为：.
【分析】（1）将方程组中两方程相减即可求出x-y的值，将方程组中两方程相加即可求出x+y的值；
（2）由题意可得x+2=m，y-1=n，根据已知m=5，n=4即可求出方程组的解
14．【答案】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将方程组的解代入原方程组得到关于a、b的二元一次方程组，再求得a、b的解.
15．【答案】解：将代入方程中得：，即；
将代入方程中的得：，即，.
将，代入，
则．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】 将代入方程中求出b值， 将代入方程中求出a值，然后代入原式计算即可.
16．【答案】（1）5；-3
（2）解：
得：，
∵，
∴，
∴
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）得：y=3-6=-3
则x-3=2，解得：x=5
故答案为：第1空、5
第2空、-3
【分析】（1）把方程③代入求得y值，再求解x值即可求出答案。
（2）把方程减去方程，利用整体未知数再建立一元一次方程即可求出答案。
17．【答案】（1）加减；一元一次方程；转化
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
所以方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由题意得，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程，这种解题方法主要体现了转化的数学思想，
故答案为：加减，一元一次方程，转化
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解．
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.3 二元一次方程组及其解法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·长春期末）把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得方程改写成用含x的式子表示y的形式为，
故答案为：B
【分析】根据题意列出二元一次方程即可求解。
2．（2023七下·五华期末）如果x，y满足方程，那么的值是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
②-①得，x-2y=8.
故答案为：D.
【分析】利用加减消元法，得出x-2y即可.
3．（2023七下·上虞期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、未知数项的最高次数是二次，不是二元一次方程，故A选项错误，不符合题意；
B、原方程整理得x-5y=0，是二元一次方程，故B选项正确，符合题意；
C、是分式，不是二元一次方程，C选项错误，不符合题意；
D、方程含有3个未知数，不是二元一次方程，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二元一次方程满足的条件：方程为整式方程、只含有2个未知数、未知数的项的最高次数是1，逐一判断即可.
4．（2023七下·平泉期末）如图，嘉嘉和琪琪用不同的方法解方程组，两人求x的过程正确的是（ ）
A．两人都正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确
C．嘉嘉正确，琪琪不正确 D．两人都不正确
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据代入消元法及加减消元法解方程组即可求出答案。
5．（2023七下·桦甸期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得为二元一次方程，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程的定义结合题意即可求解。
6．（2023七下·铁西期末）由，得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得由，得到用x表示y的式子为，
故答案为：B
【分析】根据二元一次方程变形即可求解。
7．（2023七下·新疆期末）在等式中，当时，；当时，．则、的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意列方程组，再解方程组求解即可。
8．（2023七下·惠阳期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有好酒x瓶，薄酒y瓶 ，
好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，
x瓶好酒醉倒3x位客人，y瓶薄酒醉倒位客人，
根据如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒可列出方程组 .
故答案为：A.
【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶 ，根据33位客人醉倒可列出方程，再根据共饮19瓶酒可列出方程x+y=19，联立方程组即可 .
二、填空题
9．（2023七下·塔城期末）方程有一个解是，则k的值是 ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵方程有一个解是，
∴2k+3=5，
解得：k=1，
故答案为：1.
【分析】将代入方程求出2k+3=5，再计算求解即可。
10．（2023七下·五华期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值是 ．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解，
∴4=3+a，
∴a=1.
故答案为：1.
【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程x=3+ay中，求得a的值.
11．（2023七下·金东期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：①当x，y互为相反数时，；②无论a取何值，这个方程组的解也是方程的解；③无论a取何值，的值不变；④；其中正确的有 （填写序号）．
【答案】①②③④
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①、当x，y互为相反数时，x+y=0
∴5x+5y=0
（1）+（2）得：5x+5y=8+4a
∴8+4a=0
解得：a=-2
∴①正确；
②、（1）-（2）得：x-y=8-2a
∴无论a取何值，这个方程组的解也是方程x-y=8-2a的解
∴②正确；
③、（1）×3-（2）得：3(3x+2y)-(2x+3y)=3(8+a)-3a
∴9x+6y-2x-3y=24+3a-3a
∴7x+3y=24
∴无论a取何值，7x+3y的值不变，始终等于24
∴③正确；
④、由③得：7x+3y=24
∴7x=24-3y
∴
即：
∴④正确；
综上所述： 正确的有①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】本题直接解方程比较麻烦，所以采用整体考虑.
①x，y互为相反数可得x+y=0，此时观察可以发现只需要将方程组的两个方程相加即可得到关于a的方程，从而求出a并做出判断；
②此时观察可以发现只需要将方程组的两个方程相减即可得到题目给的方程，从而做出判断；
③此时观察可以发现第一个方程乘以3减去第二个方程就可以得到7x+3y，从而做出判断；
④将③得到的方程化简下就可以用y表示x，从而做出判断.
12．（2023七下·汕尾）已知是方程的解，则m= ．
【答案】5
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程，
得，
.
故答案为：5.
【分析】将x、y的值代入原方程得到关于m的一元一次方程，进而解得m的值.
13．（2023七下·顺平期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数、满足，，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题：
（1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ；
（2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】（1）-3；5
（2）
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
由②-①得：x-y=-3
由①+②得：3x+3y=15，即x+y=5；
故答案为：-3，5.
（2）由题意可得x+2=m，y-1=n，
∵方程组的解是
∴
解得：
故答案为：.
【分析】（1）将方程组中两方程相减即可求出x-y的值，将方程组中两方程相加即可求出x+y的值；
（2）由题意可得x+2=m，y-1=n，根据已知m=5，n=4即可求出方程组的解
三、解答题
14．（2023七下·杭州期末）已知关于x，y的方程组的解为，求a，b的值．
【答案】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
解得．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】将方程组的解代入原方程组得到关于a、b的二元一次方程组，再求得a、b的解.
15．（2023七下·侯马期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】解：将代入方程中得：，即；
将代入方程中的得：，即，.
将，代入，
则．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】 将代入方程中求出b值， 将代入方程中求出a值，然后代入原式计算即可.
四、综合题
16．（2023七下·平泉期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
请结合他们的对话，解答下列问题：
（1）按照小云的方法，x的值为 ，y的值为 ．
（2）老师说小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出m的值．
【答案】（1）5；-3
（2）解：
得：，
∵，
∴，
∴
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）得：y=3-6=-3
则x-3=2，解得：x=5
故答案为：第1空、5
第2空、-3
【分析】（1）把方程③代入求得y值，再求解x值即可求出答案。
（2）把方程减去方程，利用整体未知数再建立一元一次方程即可求出答案。
17．（2023七下·阳城期末）课堂上老师出了一道题目：解方程组
（1）小组学习时，老师发现有同学这么做：
得，③，
得，，
∴
把代入①得 ∴这个方程组的解是
该同学解这个方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ，这种解题方法主要体现了 的数学思想．
（2）请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．
【答案】（1）加减；一元一次方程；转化
（2）解：，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
所以方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）由题意得，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程，这种解题方法主要体现了转化的数学思想，
故答案为：加减，一元一次方程，转化
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（2）根据代入消元法解二元一次方程组即可求解．
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