2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.3 二元一次方程组及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·惠阳期末）已知是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入，
得，
.
故答案为：C.
【分析】先将方程的解代入原方程得到a+2b=3，再整体代入计算代数式的值.
2．（2023七下·澄海期末）若关于、的方程组的解为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程组中可得，
解得.
故答案为：D.
【分析】将代入方程组中可得关于m、n的方程组，求解可得m、n的值.
3．（2023七下·翁源期末）用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为
则下列说法正确的是（ ）
A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对
C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得3x=9，解得x=3；
①-②×2，得3y=6，解得y=2，
∴方程组的解为.
故答案为：B.
【分析】根据①+②可求出x的值，根据①-②×2可求出y的值，进而可得方程组的解，据此判断.
4．（2023七下·顺平期末）我国古代数学名著《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，随后走路快的人出发去追他，那么走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则正确的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D.
【分析】根据走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，可得x-y=100，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．可得，由此列出方程组即可。
5．（2023七下·曲阳期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设桌子的高度为acm，长方体方块的长为xcm，宽为ycm，根据题意得，
，①+②得2a=150，∴a=75，
故答案为：D.
【分析】设桌子的高度为acm，长方体方块的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，进而得出答案.
6．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
7．（2023七下·五莲期末）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】
解：
由 得，2a+b=a+1，∴a+b=1 ①
由 得，，整理得，3a+b=-2 ②
由①②解得，a=-1.5，b=2.5
∴2a+b=-0.5
故答案为：C.
【分析】先化简两个等式，再组成方程组求出a，b，从而求出2a+b。也可以通过(①+②)÷2求出2a+b.
8．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
二、填空题
9．（2023七下·铁西期末）若是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴4+a=-5，
解得a=-9，
故答案为：-9
【分析】根据二元一次方程的解结合题意即可得到a。
10．（2023七下·罗定期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围为 ．
【答案】m＜-1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
y=m，
∴x=1，
∵，
∴1-m＞2，
解得：m＜-1，
故答案为：m＜-1.
【分析】先根据方程组求出x，y的值，在根据 ， 列出关于m的不等式，求解即可.
11．（2023七下·翁源期末）已知方程组，则= ．
【答案】-1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①-②，得m-n=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用第一个方程减去第二个方程就可求出m-n的值.
12．（2023七下·北京市期末）已知二元一次方程组，则 ， ．
【答案】；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组，
∴①+②得：4x+4y=4，则x+y=1，
②-①得：2x-2y=-6，则x-y=-3，
故答案为：1；-3.
【分析】根据所给的方程组，利用加减消元法解方程组求解即可。
13．（2023七下·西城期末）解方程组小红的思路是：用①②消去未知数，请你写出一种用加减消元法消去未知数的思路：用 消去未知数．
【答案】①②（答案不唯一）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解方程组
①×3得：9x+12y=48，
②×2得：10x-12y=66，
∴①×3+②×2得：19x=114，
∴解方程组用 ①②可以消去未知数y，
故答案为： ①②（答案不唯一） .
【分析】利用加减消元法解方程组即可。
三、解答题
14．（2022七下·自贡期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值．
【答案】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，
，
③，
①-③得，
②-③×3得，
，
解得．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先用方程①和③求出y的值，然后用②和③加减消元法消去x，得到y和m的关系式，将y的值代入这个关系式即可求出m的值；
解二元一次方程组的基本步骤（加减消元法）：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；②若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解.
15．（2022七下·临潼期末）已知方程组和方程组同解，求m和n的值．
【答案】解：根据题意得，
①+②得：5x=-5，
解得x=-1，
把x=-1代入①得：
-2-3y=-6，
解得，
所以是原来两个方程组的公共解，
将代入，
可得：，
解得
答：m的值为，n的值为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题意，可对两个方程组进行重组，建立新的方程组，解出x和Y的值；再将x和y的值代入，得到关于m和n的方程组，解这个方程组即可求出 m和n的值.
（2）加减消元法：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解.
四、综合题
16．（2023七下·潼南期中）已知关于，的方程组和方程组的解相同．
（1）这两个方程组的解；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：关于，的方程组和方程组的解相同，
，满足，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
两个方程组的解为，
（2）解：将两个方程组中的第二个方程联立可得，
将代入可得，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
．
的立方根是．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出a=2，再求出b=3，最后求解即可。
17．（2023七下·宣化期中）阅读探索．
知识累积：解方程组，
解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）举一反三：运用上述方法解下列方程组：；
（2）能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是 ；
（3）拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】（1）解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．
（2）
（3）
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：，
解得： ，
故答案为：；
（3）由题意可得： ，
∴方程组的解是，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出，再解方程组求解即可；
（2）根据方程组的解求出，再求解即可；
（3）根据方程组的解求出，再求解即可。
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.3 二元一次方程组及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·惠阳期末）已知是方程的解，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2023七下·澄海期末）若关于、的方程组的解为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2023七下·翁源期末）用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为
则下列说法正确的是（ ）
A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对
C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次
4．（2023七下·顺平期末）我国古代数学名著《九章算术》中有一道题，原文是：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，随后走路快的人出发去追他，那么走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则正确的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·曲阳期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·五莲期末）关于实数a，b，定义一种关于“※”的运算：，例如：．依据运算定义，若，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2023七下·开州期末）已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023七下·铁西期末）若是二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
10．（2023七下·罗定期末）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围为 ．
11．（2023七下·翁源期末）已知方程组，则= ．
12．（2023七下·北京市期末）已知二元一次方程组，则 ， ．
13．（2023七下·西城期末）解方程组小红的思路是：用①②消去未知数，请你写出一种用加减消元法消去未知数的思路：用 消去未知数．
三、解答题
14．（2022七下·自贡期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值．
15．（2022七下·临潼期末）已知方程组和方程组同解，求m和n的值．
四、综合题
16．（2023七下·潼南期中）已知关于，的方程组和方程组的解相同．
（1）这两个方程组的解；
（2）求的立方根．
17．（2023七下·宣化期中）阅读探索．
知识累积：解方程组，
解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）举一反三：运用上述方法解下列方程组：；
（2）能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是 ；
（3）拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】代数式求值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入，
得，
.
故答案为：C.
【分析】先将方程的解代入原方程得到a+2b=3，再整体代入计算代数式的值.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程组中可得，
解得.
故答案为：D.
【分析】将代入方程组中可得关于m、n的方程组，求解可得m、n的值.
3．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得3x=9，解得x=3；
①-②×2，得3y=6，解得y=2，
∴方程组的解为.
故答案为：B.
【分析】根据①+②可求出x的值，根据①-②×2可求出y的值，进而可得方程组的解，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：D.
【分析】根据走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，可得x-y=100，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．可得，由此列出方程组即可。
5．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设桌子的高度为acm，长方体方块的长为xcm，宽为ycm，根据题意得，
，①+②得2a=150，∴a=75，
故答案为：D.
【分析】设桌子的高度为acm，长方体方块的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，进而得出答案.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】
解：
由 得，2a+b=a+1，∴a+b=1 ①
由 得，，整理得，3a+b=-2 ②
由①②解得，a=-1.5，b=2.5
∴2a+b=-0.5
故答案为：C.
【分析】先化简两个等式，再组成方程组求出a，b，从而求出2a+b。也可以通过(①+②)÷2求出2a+b.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
9．【答案】
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴4+a=-5，
解得a=-9，
故答案为：-9
【分析】根据二元一次方程的解结合题意即可得到a。
10．【答案】m＜-1
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
y=m，
∴x=1，
∵，
∴1-m＞2，
解得：m＜-1，
故答案为：m＜-1.
【分析】先根据方程组求出x，y的值，在根据 ， 列出关于m的不等式，求解即可.
11．【答案】-1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①-②，得m-n=-1.
故答案为：-1.
【分析】利用第一个方程减去第二个方程就可求出m-n的值.
12．【答案】；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组，
∴①+②得：4x+4y=4，则x+y=1，
②-①得：2x-2y=-6，则x-y=-3，
故答案为：1；-3.
【分析】根据所给的方程组，利用加减消元法解方程组求解即可。
13．【答案】①②（答案不唯一）
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 解方程组
①×3得：9x+12y=48，
②×2得：10x-12y=66，
∴①×3+②×2得：19x=114，
∴解方程组用 ①②可以消去未知数y，
故答案为： ①②（答案不唯一） .
【分析】利用加减消元法解方程组即可。
14．【答案】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，
，
③，
①-③得，
②-③×3得，
，
解得．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先用方程①和③求出y的值，然后用②和③加减消元法消去x，得到y和m的关系式，将y的值代入这个关系式即可求出m的值；
解二元一次方程组的基本步骤（加减消元法）：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；②若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解.
15．【答案】解：根据题意得，
①+②得：5x=-5，
解得x=-1，
把x=-1代入①得：
-2-3y=-6，
解得，
所以是原来两个方程组的公共解，
将代入，
可得：，
解得
答：m的值为，n的值为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题意，可对两个方程组进行重组，建立新的方程组，解出x和Y的值；再将x和y的值代入，得到关于m和n的方程组，解这个方程组即可求出 m和n的值.
（2）加减消元法：①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；②若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解.
16．【答案】（1）解：关于，的方程组和方程组的解相同，
，满足，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
两个方程组的解为，
（2）解：将两个方程组中的第二个方程联立可得，
将代入可得，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
．
的立方根是．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出a=2，再求出b=3，最后求解即可。
17．【答案】（1）解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得．
（2）
（3）
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：，
解得： ，
故答案为：；
（3）由题意可得： ，
∴方程组的解是，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出，再解方程组求解即可；
（2）根据方程组的解求出，再求解即可；
（3）根据方程组的解求出，再求解即可。
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