2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.4 二元一次方程组的应用 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·北碚期末）某校运动员分组训练.若每组5人，余3人；若每组6人.则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七上·金东期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．350克 B．300克 C．250克 D．200克
3．（2022七上·鸡西期中）两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七上·余姚期末）如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ）
A．143 B．99 C．44 D．53
5．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是（ ）
﹣3 y
1
4 x
A．15 B．17 C．19 D．21
6．（2021七上·柯桥期末）自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（ ）
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
7．（2020七上·肥东期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·武强月考）如图，将矩形 分割成1个灰色矩形与148个面积相等的小正方形，若灰色矩形的长与宽的比为5∶3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022七上·桐柏期末）设，，，…，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则 ．
10．（2022七上·凤台期末）某工程队承包了某段全长1800米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米，按此施工进度，能够比原来少用 天完成任务．
11．（2022七上·锡山月考）体育老师到商店买6个足球和3个篮球，要付294元；则买10个足球和5个篮球要付 元．
12．（2022七上·广饶期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这袋60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为 ．
13．（2020七上·定远月考）若关于 ， 的方程组 的解是 则关于 ， 的方程组 的解是 ．
三、解答题
14．（2021七上·宿松期末）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中.
酒分醇醨
务中听得语吟吟，言道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醨醨．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中．好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？现在设好酒有升，薄酒有升，请你求出、的值分别是多少？
15．（2020七上·上高月考）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
四、综合题
16．（2021七上·东坡期末）东坡区某学校举办“传承三苏家国情怀 弘扬中华传统文化”的校园演讲比赛，设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了36件奖品，且一等奖奖品数比二等奖奖品数的倍少1件，各奖品单价如表所示．若二等奖奖品买了a件，全部奖品的总价是b元．
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 60 42 20
数量/件 a
（1）先填表，即用含a的代数式表示出二等奖和三等奖奖品的件数，再用含a的代数式表示b，并化简；
（2）当a＝8时，买一等奖奖品和三等奖奖品分别花费了多少元？
（3）若买二等奖奖品花费504元，则买全部奖品花费了多少元？
17．（2021七上·长汀月考）某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元.
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）.张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元.”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了.
（3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设运动员人数为x人，组数为y组，由题意得.
故答案为：C.
【分析】设运动员人数为x人，组数为y组，根据每组5人，余3人可得x=5y+3；根据每组6人.则缺5人可得x=6y-5，联立可得方程组.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设一个香蕉重为x克，一个苹果重为y克，
由图①得x＋2y＝350，由图②得y＋2x＝400，
将两个方程相加得3x＋3y＝750，
∴x＋y＝250．
即要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码的重量为250克.
故答案为：C.
【分析】设一个香蕉重为x克，一个苹果重为y克，根据两个苹果的重量+一个香蕉的重量=350克及一个苹果的重量+两个香蕉的重量=400克，分别列出方程，再将两个方程相加后两边同时除以3即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n-2y+m）＝2n-4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y-（2n-4y+2m）＝10y-2mm-2m．
故答案为：B．
【分析】设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，根据题意列出方程组x+2y＝m，x＝2y，求出ym，再分别求出图①和图②阴影部分的周长，再作差即可。
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：
，
解得： ，
小长方形的面积为 ，
大长方形的面积为
空白部分面积为 ，
故答案为：D.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长与宽的差为2可得(x+4y)-(3y+x)=2，根据小长方形的周长为14可得x+y=7，联立求出x、y的值，然后求出小长方形、大长方形的面积，进而不难求出空白部分的面积.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】根据题意可得：
，
解得，
x+2y=5+2×8=5+16=21，
故答案为：D．
【分析】根据“ 每行每列每条对角线上的三个数之和相等 ”列出方程组并解之，然后代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每个轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为,
设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，
,
则 ,
∴x+y=2400，
故答案为：B.
【分析】设每个轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，根据总磨损量分别列方程，联立求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得： ，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故答案为：B．
【分析】设未知数，找出合适的等量关系，虽然要设三个未知数，但在解方程组时可以消去其中两个未知数，变成一元一次方程
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设小正方形的边长为a，灰色矩形的长为 ，则灰色矩形的宽为 ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ， ，
因此 ，
故答案为：D．
【分析】设小正方形的边长为a，灰色矩形的长为 ，则灰色矩形的宽为 ，利用灰色矩形的周长等于（148-4）a，可求出大矩形的长和宽，从而求出比值即可.
9．【答案】69
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设这一列数中有x个-1，y个2，
∵a1+a2+a3+……+a2021=9，a12+a22+a32+……+a20212=51，
∴-x+2y=9，(-1)2x+22y=51，
∴x=11，y=10，
∴a13+a23+a33+……+a20213=x·(-1)3+y·23=-x+8y=-11+80=69.
故答案为：69.
【分析】设这一列数中有x个-1，y个2，由题意可得-x+2y=9，(-1)2x+22y=51，联立求出x、y的值，然后根据a13+a23+a33+……+a20213=x·(-1)3+y·23=-x+8y进行计算.
10．【答案】29
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，
根据题意得：，
解得：，
按原来的施工进程需要的时间为（1800 60）÷（7+5）＝145（天），
改进施工技术后还需要的时间为（1800 60）÷（7+2+5+1）＝116（天），
节省时间为145 116＝29（天）．
故答案为：29.
【分析】设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，根据题意列出方程组，再求解即可。
11．【答案】490
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一个足球a元，一个篮球b元，
则6a+3b=294，
∴2a+b=98，
买10个足球和5个篮球要付的钱数：10a+5b=（2a+b）×5=98×5＝490．
故答案为：490.
【分析】设一个足球a元，一个篮球b元，根据题意可得到关于a，b的方程，将方程两边同时乘以5，可求出买10个足球和5个篮球要付的钱数.
12．【答案】67
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
则，
解得，
则，
即把60个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是．
故答案为：67．
【分析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据题意列出方程组，再求解即可。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设 ， ，
则原方程组可化为 ，
∵关于 ， 的方程组 的解是 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴关于 ， 的方程组 的解是 ；
故答案是 ．
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据后面所给的方程可以用换元法，将x+2设为m，y-1设为n，从而得出构成了关于m，n的值，继而求出x，y的值，本题也可以运用整体思想进行求解.
14．【答案】解：由题意，得：，
解得：，
即升，升．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程组即可。
15．【答案】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：
解得： ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意可得等量关系式“妹妹的年龄+哥哥的年龄=16，3×（妹妹的年龄+2）+（哥哥的年龄+2）=34+2”，据此列方程组求解即可.
16．【答案】（1）解：一等奖奖品（件），三等奖奖品36－a－（）=（件）
故答案为：；．
用含有a的代数式表示b是：
b=（）×60+42a+（）×20
=30a－60+42a +740－30a
=42a +680；
即b=42a +680．
（2）解：当a=8时，买一等奖奖品花费（）×60=180（元）
买三等奖奖品花费（）×20=25×20=500（元）
答：当a=8时，买一等奖奖品花费180元，买三等奖奖品花费500元．
（3）解：买二等奖奖品花费504元，则二等奖奖品买了504÷42=12（件），
即a=12，又（1）可知b=42a +680，
故买全部奖奖品花费了42×12+680=1184（元）
答：若买二等奖奖品花费504元，则买全部奖奖品花费了1184元．
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一等奖奖品数比二等奖奖品数的倍少1件可表示出一等奖的件数，然后根据总件数为36可表示出三等奖的件数，根据一等奖的件数×单价+二等奖的件数×单价+三等奖的件数×单价=总价可得a、b的关系式；
（2）将a=8代入（1）中的代数式中可得一等奖的件数以及三等奖的件数，然后根据件数×单价求出费用；
（3）根据买二等奖的费用除以单价可得件数，即a的值，然后根据a、b的关系式可得b的值，即总花费.
17．【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x＋6）元，
由题意得：30x＋20（x＋6）＝1070，
解得：x＝19，
则x＋6＝25，
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；
（2）解：设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70 y）支，
根据题意得：19y＋25（70 y）＝1574，
解得：y＝，
不合题意，即张老师肯定搞错了
（3）4或10
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，
根据题意得：19z＋25（70 z）＝1574 a，即6z＝176＋a，
由a，z都是整数，且176＋a应被6整除，
经验算当a＝4时，6z＝180，即z＝30，符合题意；
当a＝10时，6z＝186，即z＝31，符合题意，
则签字笔的单价为4元或10元.
故答案为：4或10.
【分析】（1）此题的等量关系为：每一支毛笔的价格=每一支钢笔的价格+6；30×每一支钢笔的价格+20×每一支毛笔的价格=1070，再设未知数，列方程，然后求出方程的解；
（2）设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70 y）支，再根据我这次买这两种笔需支领1574元，建立关于y的方程，解方程求出y的值，根据方程的解可作出判断；
（3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，可得到关于a，z的方程，再根据a，z都是整数，且176＋a应被6整除，可得到符合题意的a，z的值，即可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.4 二元一次方程组的应用 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·北碚期末）某校运动员分组训练.若每组5人，余3人；若每组6人.则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设运动员人数为x人，组数为y组，由题意得.
故答案为：C.
【分析】设运动员人数为x人，组数为y组，根据每组5人，余3人可得x=5y+3；根据每组6人.则缺5人可得x=6y-5，联立可得方程组.
2．（2023七上·金东期末）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．350克 B．300克 C．250克 D．200克
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设一个香蕉重为x克，一个苹果重为y克，
由图①得x＋2y＝350，由图②得y＋2x＝400，
将两个方程相加得3x＋3y＝750，
∴x＋y＝250．
即要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码的重量为250克.
故答案为：C.
【分析】设一个香蕉重为x克，一个苹果重为y克，根据两个苹果的重量+一个香蕉的重量=350克及一个苹果的重量+两个香蕉的重量=400克，分别列出方程，再将两个方程相加后两边同时除以3即可得出答案.
3．（2022七上·鸡西期中）两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为m，则图②与图①的阴影部分周长之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，
根据题意得：x+2y＝m，x＝2y，即ym，
图①中阴影部分的周长为2（n-2y+m）＝2n-4y+2m，图②中阴影部分的周长2n+4y+2y＝2n+6y，
则图②与图①的阴影部分周长之差是2n+6y-（2n-4y+2m）＝10y-2mm-2m．
故答案为：B．
【分析】设图③中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为n，根据题意列出方程组x+2y＝m，x＝2y，求出ym，再分别求出图①和图②阴影部分的周长，再作差即可。
4．（2023七上·余姚期末）如图，大长方形中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（ ）
A．143 B．99 C．44 D．53
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得：
，
解得： ，
小长方形的面积为 ，
大长方形的面积为
空白部分面积为 ，
故答案为：D.
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长与宽的差为2可得(x+4y)-(3y+x)=2，根据小长方形的周长为14可得x+y=7，联立求出x、y的值，然后求出小长方形、大长方形的面积，进而不难求出空白部分的面积.
5．（2022七上·义乌月考）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是（ ）
﹣3 y
1
4 x
A．15 B．17 C．19 D．21
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】根据题意可得：
，
解得，
x+2y=5+2×8=5+16=21，
故答案为：D．
【分析】根据“ 每行每列每条对角线上的三个数之和相等 ”列出方程组并解之，然后代入计算即可.
6．（2021七上·柯桥期末）自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（ ）
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每个轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为,
设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，
,
则 ,
∴x+y=2400，
故答案为：B.
【分析】设每个轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 则安装在前轮每行驶1km的磨损量为, 设一对新轮胎交换位置前走了x千米，交换位置后走了y千米，根据总磨损量分别列方程，联立求解即可.
7．（2020七上·肥东期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．量的数据如图，则桌子的高度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得： ，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故答案为：B．
【分析】设未知数，找出合适的等量关系，虽然要设三个未知数，但在解方程组时可以消去其中两个未知数，变成一元一次方程
8．（2020七上·武强月考）如图，将矩形 分割成1个灰色矩形与148个面积相等的小正方形，若灰色矩形的长与宽的比为5∶3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设小正方形的边长为a，灰色矩形的长为 ，则灰色矩形的宽为 ，
由题意得： ，
解得 ，
则 ， ，
因此 ，
故答案为：D．
【分析】设小正方形的边长为a，灰色矩形的长为 ，则灰色矩形的宽为 ，利用灰色矩形的周长等于（148-4）a，可求出大矩形的长和宽，从而求出比值即可.
二、填空题
9．（2022七上·桐柏期末）设，，，…，是从，，这三个数中取值的一列数，若，，则 ．
【答案】69
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设这一列数中有x个-1，y个2，
∵a1+a2+a3+……+a2021=9，a12+a22+a32+……+a20212=51，
∴-x+2y=9，(-1)2x+22y=51，
∴x=11，y=10，
∴a13+a23+a33+……+a20213=x·(-1)3+y·23=-x+8y=-11+80=69.
故答案为：69.
【分析】设这一列数中有x个-1，y个2，由题意可得-x+2y=9，(-1)2x+22y=51，联立求出x、y的值，然后根据a13+a23+a33+……+a20213=x·(-1)3+y·23=-x+8y进行计算.
10．（2022七上·凤台期末）某工程队承包了某段全长1800米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进，已知甲组比乙组平均每天多掘进2米，经过5天施工，两组共掘进了60米，为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进2米，乙组平均每天能比原来多掘进1米，按此施工进度，能够比原来少用 天完成任务．
【答案】29
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，
根据题意得：，
解得：，
按原来的施工进程需要的时间为（1800 60）÷（7+5）＝145（天），
改进施工技术后还需要的时间为（1800 60）÷（7+2+5+1）＝116（天），
节省时间为145 116＝29（天）．
故答案为：29.
【分析】设甲班组平均每天掘进x米，乙班组平均每天掘进y米，根据题意列出方程组，再求解即可。
11．（2022七上·锡山月考）体育老师到商店买6个足球和3个篮球，要付294元；则买10个足球和5个篮球要付 元．
【答案】490
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设一个足球a元，一个篮球b元，
则6a+3b=294，
∴2a+b=98，
买10个足球和5个篮球要付的钱数：10a+5b=（2a+b）×5=98×5＝490．
故答案为：490.
【分析】设一个足球a元，一个篮球b元，根据题意可得到关于a，b的方程，将方程两边同时乘以5，可求出买10个足球和5个篮球要付的钱数.
12．（2022七上·广饶期末）如图，为做好疫情防控，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请根据图中信息，如果把这袋60个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度为 ．
【答案】67
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
则，
解得，
则，
即把60个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是．
故答案为：67．
【分析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据题意列出方程组，再求解即可。
13．（2020七上·定远月考）若关于 ， 的方程组 的解是 则关于 ， 的方程组 的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】设 ， ，
则原方程组可化为 ，
∵关于 ， 的方程组 的解是 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴关于 ， 的方程组 的解是 ；
故答案是 ．
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据后面所给的方程可以用换元法，将x+2设为m，y-1设为n，从而得出构成了关于m，n的值，继而求出x，y的值，本题也可以运用整体思想进行求解.
三、解答题
14．（2021七上·宿松期末）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中.
酒分醇醨
务中听得语吟吟，言道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醨醨．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中．好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？现在设好酒有升，薄酒有升，请你求出、的值分别是多少？
【答案】解：由题意，得：，
解得：，
即升，升．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】先求出 ， 再解方程组即可。
15．（2020七上·上高月考）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：
解得： ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意可得等量关系式“妹妹的年龄+哥哥的年龄=16，3×（妹妹的年龄+2）+（哥哥的年龄+2）=34+2”，据此列方程组求解即可.
四、综合题
16．（2021七上·东坡期末）东坡区某学校举办“传承三苏家国情怀 弘扬中华传统文化”的校园演讲比赛，设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了36件奖品，且一等奖奖品数比二等奖奖品数的倍少1件，各奖品单价如表所示．若二等奖奖品买了a件，全部奖品的总价是b元．
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 60 42 20
数量/件 a
（1）先填表，即用含a的代数式表示出二等奖和三等奖奖品的件数，再用含a的代数式表示b，并化简；
（2）当a＝8时，买一等奖奖品和三等奖奖品分别花费了多少元？
（3）若买二等奖奖品花费504元，则买全部奖品花费了多少元？
【答案】（1）解：一等奖奖品（件），三等奖奖品36－a－（）=（件）
故答案为：；．
用含有a的代数式表示b是：
b=（）×60+42a+（）×20
=30a－60+42a +740－30a
=42a +680；
即b=42a +680．
（2）解：当a=8时，买一等奖奖品花费（）×60=180（元）
买三等奖奖品花费（）×20=25×20=500（元）
答：当a=8时，买一等奖奖品花费180元，买三等奖奖品花费500元．
（3）解：买二等奖奖品花费504元，则二等奖奖品买了504÷42=12（件），
即a=12，又（1）可知b=42a +680，
故买全部奖奖品花费了42×12+680=1184（元）
答：若买二等奖奖品花费504元，则买全部奖奖品花费了1184元．
【知识点】二元一次方程的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一等奖奖品数比二等奖奖品数的倍少1件可表示出一等奖的件数，然后根据总件数为36可表示出三等奖的件数，根据一等奖的件数×单价+二等奖的件数×单价+三等奖的件数×单价=总价可得a、b的关系式；
（2）将a=8代入（1）中的代数式中可得一等奖的件数以及三等奖的件数，然后根据件数×单价求出费用；
（3）根据买二等奖的费用除以单价可得件数，即a的值，然后根据a、b的关系式可得b的值，即总花费.
17．（2021七上·长汀月考）某中学在2021年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为表彰在书法比赛中的优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元.
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共70支（每种笔的单价不变）.张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1574元.”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了.”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他算错了.
（3）张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔.如果签字笔的单价不大于10元，且金额数为整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元.
【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x＋6）元，
由题意得：30x＋20（x＋6）＝1070，
解得：x＝19，
则x＋6＝25，
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；
（2）解：设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70 y）支，
根据题意得：19y＋25（70 y）＝1574，
解得：y＝，
不合题意，即张老师肯定搞错了
（3）4或10
【知识点】二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，
根据题意得：19z＋25（70 z）＝1574 a，即6z＝176＋a，
由a，z都是整数，且176＋a应被6整除，
经验算当a＝4时，6z＝180，即z＝30，符合题意；
当a＝10时，6z＝186，即z＝31，符合题意，
则签字笔的单价为4元或10元.
故答案为：4或10.
【分析】（1）此题的等量关系为：每一支毛笔的价格=每一支钢笔的价格+6；30×每一支钢笔的价格+20×每一支毛笔的价格=1070，再设未知数，列方程，然后求出方程的解；
（2）设单价为19元的钢笔y支，则单价为25元的毛笔为（70 y）支，再根据我这次买这两种笔需支领1574元，建立关于y的方程，解方程求出y的值，根据方程的解可作出判断；
（3）设单价为19元的钢笔z支，签字笔的单价为a元，可得到关于a，z的方程，再根据a，z都是整数，且176＋a应被6整除，可得到符合题意的a，z的值，即可求解.
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