2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.5 三元一次方程组及其解法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·安达月考）以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
2．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
3．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
4．（2023七下·永年期中）方程组的解为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·萧山期中）已知实数，，满足，则代数式的值是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
7．已知 ，则a：b：c=（ ）
A．1：2：3 B．1：2：1 C．1：3：1 D．3：2：1
8．有一个牧场，牛在吃草，而草又在生长，已知饲养100头牛，草够吃25天，改为饲养84头牛，草可多吃10天，那么饲养94头牛，经过（ ）天，草便吃完．
A．33 B．32 C．30 D．28
二、填空题
9．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
10．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
11．（2019八上·高州期末）在三元一次方程x+y+2z＝5中，若x＝﹣1，y＝2，则z＝ ．
12．（2023七下·汉阳期末）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 元．
13．（2023七下·武昌期末）已知，满足，则 ．
三、解答题
14．（2023七下·义乌月考）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求(b＋c)a的值．
15．（2022七下·安岳月考）阅读下列材料，然后解答后面的问题.
已知方程组，求x+y+z的值.
解：将原方程组整理得，
②–①，得x+3y=7③，
把③代入①得，x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组，试求x+2y–z的值.
四、综合题
16．（2022八上·历下期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
（1）已知，求的值；
（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
17．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把分别代入四个选项中，
得：A、3×3-4×1+2×（-1）=3，故不符合题意；
B、3-1+（-1）=-1，故不符合题意；
C、3+1-（-1）=5≠-2，故符合题意；
D、×3-×1-（-1）≠，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方程解的定义将分别代入各项方程中检验即可.
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+③得④，④-②解得z=-1，
把z=-1代入②得x=2
把x=2代入①得y=-1
故方程组的解为
故答案为：C。
【分析】本题采用代入消元法，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组得出答案，最后用代入法求出方程组的解。
5．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
②-①可得3x-3z=-5，
∴3(x-z)+1=-5+1=-4.
故答案为：B.
【分析】利用第二个方程减去第一个方程可得3x-3z=-5，然后代入3(x-z)+1中进行计算.
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原方程变形为 ，
①﹣②得﹣b+2c=0，即b=2c，
原方程组变形为 ，
③﹣④得﹣a+c=0，即a=c，
∴a：b：c=c：2c：c=1：2：1，
故选B．
【分析】先确定a，b，c的关系，再求比值即可．
8．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，94头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．
根据题意，得
②﹣①，得y=44x④
③﹣②，得（z﹣35）y=2x（47z﹣1470）．⑤
由④、⑤，得z=28．
故选D．
【分析】首先设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，94头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×头数×天数，列出方程组 ，可解得z的值即为所求．
9．【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
10．【答案】或或
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【分析】利用解三元一次方程的方法求解即可。
11．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5得：
﹣1+2+2z＝5，
解得：z＝2，
故答案为：2．
【分析】根据方程解得定义，直接把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5中，解出z即可.
12．【答案】20
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得
①×3-②×2，得x+y+z=30×3-35×2=90-70=20.
故答案为：20.
【分析】设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得，然后利用①×3-②×2就可求出x+y+z的值，据此解答.
13．【答案】24
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
∵a-b+2c=18；
∴3k-4k+2×5k=18；即：k=2
∴a=6，b=8，c=10；
∴a+b+c=6+8+10=24
故答案为：24
【分析】根据，设按比例设份数，依据 a-b+2c=18 构造：3k-4k+2×5k=18；求出k=2，得出a=6，b=8，c=10；再求出a+b+c=6+8+10=24。本题也可以变形为三元一次方程组求解a、b、c的值，再求解出相应的a+b+c=24。
14．【答案】解：∵由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，
∴
解之：，
∴（b+c） a=（2+2）3=64
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，据此可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
15．【答案】解：由题意得，
将原方程整理得
②×2得
③
①－③得
解得：x+2y-z=3.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据材料中的信息，把（x+2y-z）看作一个整体，将原方程组化为关于（x+2y-z）和（2x+z）的方程组，消去（2x+z）可求解.
16．【答案】（1）解：，
①②得：，
则
（2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用加减法可得；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，再求解即可。
17．【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.5 三元一次方程组及其解法 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七下·安达月考）以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把分别代入四个选项中，
得：A、3×3-4×1+2×（-1）=3，故不符合题意；
B、3-1+（-1）=-1，故不符合题意；
C、3+1-（-1）=5≠-2，故符合题意；
D、×3-×1-（-1）≠，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方程解的定义将分别代入各项方程中检验即可.
2．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵所给方程组的y项的系数均为1或- 1，
∴用消元的方法先y比较简便.
故答案为：B.
【分析】经观察发现，3个方程中的y项系数均为1或- 1，先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可.
3．解三元一次方程组 ，要使解法较为简便，首先应进行的变形为（ ）
A．①+② B．①-② C．①+③ D．②-③
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x+y=1，①②的z项的系数互为相反数，
∴①+② 消去z，
得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
故答案为：A.
【分析】观察可知，③有两个未知数，则由①②两方程消去未知数z，得出得出关于x、y的二元一次方程组求解，较为容易.
4．（2023七下·永年期中）方程组的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①+③得④，④-②解得z=-1，
把z=-1代入②得x=2
把x=2代入①得y=-1
故方程组的解为
故答案为：C。
【分析】本题采用代入消元法，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组得出答案，最后用代入法求出方程组的解。
5．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
6．（2023七下·萧山期中）已知实数，，满足，则代数式的值是（ ）
A．-2 B．-4 C．-5 D．-6
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
②-①可得3x-3z=-5，
∴3(x-z)+1=-5+1=-4.
故答案为：B.
【分析】利用第二个方程减去第一个方程可得3x-3z=-5，然后代入3(x-z)+1中进行计算.
7．已知 ，则a：b：c=（ ）
A．1：2：3 B．1：2：1 C．1：3：1 D．3：2：1
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：原方程变形为 ，
①﹣②得﹣b+2c=0，即b=2c，
原方程组变形为 ，
③﹣④得﹣a+c=0，即a=c，
∴a：b：c=c：2c：c=1：2：1，
故选B．
【分析】先确定a，b，c的关系，再求比值即可．
8．有一个牧场，牛在吃草，而草又在生长，已知饲养100头牛，草够吃25天，改为饲养84头牛，草可多吃10天，那么饲养94头牛，经过（ ）天，草便吃完．
A．33 B．32 C．30 D．28
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，94头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．
根据题意，得
②﹣①，得y=44x④
③﹣②，得（z﹣35）y=2x（47z﹣1470）．⑤
由④、⑤，得z=28．
故选D．
【分析】首先设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，94头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a．根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×头数×天数，列出方程组 ，可解得z的值即为所求．
二、填空题
9．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
10．（2021七下·忻州期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解 ．
【答案】或或
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
故答案为：或或．
【分析】利用解三元一次方程的方法求解即可。
11．（2019八上·高州期末）在三元一次方程x+y+2z＝5中，若x＝﹣1，y＝2，则z＝ ．
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5得：
﹣1+2+2z＝5，
解得：z＝2，
故答案为：2．
【分析】根据方程解得定义，直接把x＝﹣1，y＝2代入三元一次方程x+y+2z＝5中，解出z即可.
12．（2023七下·汉阳期末）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需 元．
【答案】20
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得
①×3-②×2，得x+y+z=30×3-35×2=90-70=20.
故答案为：20.
【分析】设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得，然后利用①×3-②×2就可求出x+y+z的值，据此解答.
13．（2023七下·武昌期末）已知，满足，则 ．
【答案】24
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
∵a-b+2c=18；
∴3k-4k+2×5k=18；即：k=2
∴a=6，b=8，c=10；
∴a+b+c=6+8+10=24
故答案为：24
【分析】根据，设按比例设份数，依据 a-b+2c=18 构造：3k-4k+2×5k=18；求出k=2，得出a=6，b=8，c=10；再求出a+b+c=6+8+10=24。本题也可以变形为三元一次方程组求解a、b、c的值，再求解出相应的a+b+c=24。
三、解答题
14．（2023七下·义乌月考）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求(b＋c)a的值．
【答案】解：∵由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，
∴
解之：，
∴（b+c） a=（2+2）3=64
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，据此可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
15．（2022七下·安岳月考）阅读下列材料，然后解答后面的问题.
已知方程组，求x+y+z的值.
解：将原方程组整理得，
②–①，得x+3y=7③，
把③代入①得，x+y+z=6.
仿照上述解法，已知方程组，试求x+2y–z的值.
【答案】解：由题意得，
将原方程整理得
②×2得
③
①－③得
解得：x+2y-z=3.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据材料中的信息，把（x+2y-z）看作一个整体，将原方程组化为关于（x+2y-z）和（2x+z）的方程组，消去（2x+z）可求解.
四、综合题
16．（2022八上·历下期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知，求的值．
解：①得：③
②③得：
∴的值为2．
（1）已知，求的值；
（2）马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？
【答案】（1）解：，
①②得：，
则
（2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，
根据题意得：，
∴，
（元），
则比原价购买节省了元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；定义新运算
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法利用加减法可得；
（2）设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元，y元，z元，根据题意列出方程，再求解即可。
17．（2022七下·仪征期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变；
（3）某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】（1）-1；3
（2）证明：
得：，
等式两边同时除以2得：，
得：，
等式两边同时除以2得：，
因此不论a取什么实数，的值始终不变．
（3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得：，
等式两边同时乘以2得：，
得：，
故，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）
①－②得：，
得：，
等式两边同时除以3得：.
故答案为：－1；3；
【分析】（1）将方程组中的两个方程相减可得x-y的值，将两个方程相加并化简可得x+y的值；
（2）将两个方程相加并化简可得x-y，再加上第一个方程并化简可得x+y，据此判断；
（3） 铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元可得3x+5y+z=21；根据买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元可得4x+7y+z=28，联立可得方程组，利用第二个方程减去第一个方程可得x+2y的值，然后求出2x+4y的值，减去第一个方程可得x+y+z的值，然后求出10x+10y+10z的值即可.
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