2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.5 三元一次方程组及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·长宁模拟）已知抛物线经过点，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．（2023七下·威远月考）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33 B．34 C．35 D．36
3．（2022七上·芷江月考）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
4．（2022八上·金华开学考）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
5．（2022七下·西城期末）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022七下·侯马期末）6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
7．（2022七下·乐清期末）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2022·铁锋模拟）在抗击疫情知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用尽的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．7种 B．8种 C．14种 D．15种
二、填空题
9．（2023·大同模拟）某超市现有人在收银台排队等候结账，设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度固定，若同时开放2个收银台，则20分钟后可使排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账速度是结账人数增加速度的 倍.
10．（2023七下·内江期中）设是从1，0，这三个数中取值的一列数，若 ，则 ， …，中1的个数为 个．
11．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
12．（2023·成都模拟）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为 .
13．（2021·重庆模拟）大木花谷景区，位于重庆市涪陵区大木乡，地处武陵山脉，海拔1000米左右，距涪陵市区57公里，景区内各种花卉成片种植．花谷景区种植二月蓝、樱花、波斯菊点缀花谷，供游客观赏，经过一段时间，已种植的二月蓝、樱花、波斯菊面积之比为5：4：6．根据游客的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植波斯菊，则波斯菊种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使二月蓝种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则谷内种植樱花的面积与谷内种植这三种花的总面积之比是 ．
三、解答题
14．已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， .求a，b，c的值.
15．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
四、综合题
16．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
17．（2022七下·台江期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得将点代入抛物线得，
解得，
∴
故答案为：A
【分析】根据题意将点代入抛物线解析式，再解三元一次方程即可得到a、b、c的值，进而即可求解。
2．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元.
列方程组得： ，
①② 得： .
故答案为：B.
【分析】设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元，根据购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元可得3x+7y+z=64；根据购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元可得4x+10y+z=79，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得x+y+z的值，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题干给出的两个方程，利用加减消元法，用含z的式子分别表示出x、y，再代入所求的式子，先计算乘方，再计算乘法，进而进而合并，最后约分即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵2x-3y=3，3y-4z=5，
∴2x-4z=8，即x-2z=4，
又∵x+2z=8，
∴2x=12，解得x=6，
∴z=1，
∴3x2-12z2=3×62-12×12=96.
故答案为：C.
【分析】由2x-3y=3，3y-4z=5可得x-2z=4，再结合x+2z=8，可得2x=12，解得x，再代入求出z的值，最后把x和z的值代入3x2-12z2中，计算求解即可.
5．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得，
2a=5b，2c=3b，
即a=b，c=b，
∴3a=b，5c=b，
即3a=5c，
∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，
故答案为：A．
【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡可得2a=5b，2c=3b，据此可推出3a=5c，继而得解.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，
由题意可得方程组，
①+②可得，
∴，
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元；
故答案为：B．
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意列出方程组求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，根据题意得
整理得
由①+②得
x-z=6.
∴百位上的数与个位上的数之差为6.
故答案为：B.
【分析】设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，利用百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，可得到关于x，y，z的方程组，解方程组求出x-z的值即可.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得x、y、z均为正整数，可知
①当时，，
∴，
∴x分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，y为正整数；
②当时，，
∴，
∴x可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，y为正整数；
综上所述：共有种购买方案．
故答案为：C
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，根据购买A、B、C三种奖品花费200元列出方程并整理得，求出其正整数解即可.
9．【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，
由题意可得：，
解得：，
∴ 收银员结账速度是结账人数增加速度的（倍），
故答案为：2.
【分析】根据题意找出等量关系先求出，再解方程组求解即可。
10．【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
∴，
设有m个1，n个-1，z个0，由题意得，解得，
∴ ， …，中1的个数3个，
故答案为：3
【分析】先根据 即可得到，再设有m个1，n个-1，z个0，根据题意列出一个三元一次方程，进而即可求解。
11．【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
12．【答案】34%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：，
解得：，
第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
=0.36
=36%.
故答案为：36%.
【分析】由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得，第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率.
13．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设已种花面积为x，余下土地面积为y，还需要种樱花的面积为z，则总面积为（x+y），二月蓝已种植 ，樱花已种植 ，波斯菊已种植 ，依题意得，
解得 ，
故花园内种植樱花的面积是：
即花园内种植樱花的面积与种植这三种花的总面积之比是：
故答案为： ．
【分析】设已种花面积为x，余下土地面积为y，还需要种樱花的面积为z，则总面积为（x+y），二月蓝已种植 ，樱花已种植 ，波斯菊已种植 ，根据“ 波斯菊种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使二月蓝种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5”列出方程组，用y的代数式分别表示出x、z，然后求解即可.
14．【答案】解：将x=1，y=5；x=-2，y=14；x=-3，y=25分别代入y=ax2+bx+c，
得 ，
由②-①，③-①得 ，
整理，解得a=2，b=-1，
把a=2，b=-1代入①中，解得c=4，
则a，b，c的值分别为2，-1，4.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】将x和y的值分别代入y=ax2+bx+c，建立三元一次方程组，通过②-①，③-①消去c，转化为
，整理解得a、b，再将a、b值代入①式中求出c即可.
15．【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可.
16．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
17．【答案】（1）3
（2）解：由题意得：
2（u+v）13+u=uv，
2u+2v13+u=uv，
2u+3v=13，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】（2）解：由题意得：
，
，
，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【解答】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：5；
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入方程可求解；
（2）由题意把点B的坐标代入方程2x-y=u-v，根据u，v为正整数可求解；
（3）由题意把点C、D的坐标代入方程2x+3y=1，解方程组可求解.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 3.5 三元一次方程组及其解法 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023·长宁模拟）已知抛物线经过点，那么的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得将点代入抛物线得，
解得，
∴
故答案为：A
【分析】根据题意将点代入抛物线解析式，再解三元一次方程即可得到a、b、c的值，进而即可求解。
2．（2023七下·威远月考）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）元
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购甲每件 元，购乙每件 元，购丙每件 元.
列方程组得： ，
①② 得： .
故答案为：B.
【分析】设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元，根据购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元可得3x+7y+z=64；根据购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元可得4x+10y+z=79，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的2倍可得x+y+z的值，据此解答.
3．（2022七上·芷江月考）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C．-15 D．-13
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由，可得：，
把代入，可得：，
又∵，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据题干给出的两个方程，利用加减消元法，用含z的式子分别表示出x、y，再代入所求的式子，先计算乘方，再计算乘法，进而进而合并，最后约分即可得出答案.
4．（2022八上·金华开学考）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵2x-3y=3，3y-4z=5，
∴2x-4z=8，即x-2z=4，
又∵x+2z=8，
∴2x=12，解得x=6，
∴z=1，
∴3x2-12z2=3×62-12×12=96.
故答案为：C.
【分析】由2x-3y=3，3y-4z=5可得x-2z=4，再结合x+2z=8，可得2x=12，解得x，再代入求出z的值，最后把x和z的值代入3x2-12z2中，计算求解即可.
5．（2022七下·西城期末）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得，
2a=5b，2c=3b，
即a=b，c=b，
∴3a=b，5c=b，
即3a=5c，
∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，
故答案为：A．
【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡可得2a=5b，2c=3b，据此可推出3a=5c，继而得解.
6．（2022七下·侯马期末）6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，
由题意可得方程组，
①+②可得，
∴，
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元；
故答案为：B．
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意列出方程组求解即可。
7．（2022七下·乐清期末）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，根据题意得
整理得
由①+②得
x-z=6.
∴百位上的数与个位上的数之差为6.
故答案为：B.
【分析】设这个三位数百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，利用百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，可得到关于x，y，z的方程组，解方程组求出x-z的值即可.
8．（2022·铁锋模拟）在抗击疫情知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用尽的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．7种 B．8种 C．14种 D．15种
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得x、y、z均为正整数，可知
①当时，，
∴，
∴x分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，y为正整数；
②当时，，
∴，
∴x可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，y为正整数；
综上所述：共有种购买方案．
故答案为：C
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，根据购买A、B、C三种奖品花费200元列出方程并整理得，求出其正整数解即可.
二、填空题
9．（2023·大同模拟）某超市现有人在收银台排队等候结账，设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度固定，若同时开放2个收银台，则20分钟后可使排队人数为0；若同时开放3个收银台，则12分钟后可使排队人数为0，由此可知，收银员结账速度是结账人数增加速度的 倍.
【答案】2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账，
由题意可得：，
解得：，
∴ 收银员结账速度是结账人数增加速度的（倍），
故答案为：2.
【分析】根据题意找出等量关系先求出，再解方程组求解即可。
10．（2023七下·内江期中）设是从1，0，这三个数中取值的一列数，若 ，则 ， …，中1的个数为 个．
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得 ，
∴，
设有m个1，n个-1，z个0，由题意得，解得，
∴ ， …，中1的个数3个，
故答案为：3
【分析】先根据 即可得到，再设有m个1，n个-1，z个0，根据题意列出一个三元一次方程，进而即可求解。
11．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
12．（2023·成都模拟）2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为 .
【答案】34%
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：，
解得：，
第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：
=0.36
=36%.
故答案为：36%.
【分析】由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意列出方程组，解得，第二个月A产品的成本提高了25%，成本为：（1+25%）a=a，B、C的成本仍为a，A产品销量为（1+20%）x=x，B产品销量为y，C产品销量为z，则可表示第二个月的总利润率.
13．（2021·重庆模拟）大木花谷景区，位于重庆市涪陵区大木乡，地处武陵山脉，海拔1000米左右，距涪陵市区57公里，景区内各种花卉成片种植．花谷景区种植二月蓝、樱花、波斯菊点缀花谷，供游客观赏，经过一段时间，已种植的二月蓝、樱花、波斯菊面积之比为5：4：6．根据游客的喜爱程度，将在花园的余下空地继续种植这三种花，经测算需将余下土地面积的种植波斯菊，则波斯菊种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使二月蓝种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5，则谷内种植樱花的面积与谷内种植这三种花的总面积之比是 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设已种花面积为x，余下土地面积为y，还需要种樱花的面积为z，则总面积为（x+y），二月蓝已种植 ，樱花已种植 ，波斯菊已种植 ，依题意得，
解得 ，
故花园内种植樱花的面积是：
即花园内种植樱花的面积与种植这三种花的总面积之比是：
故答案为： ．
【分析】设已种花面积为x，余下土地面积为y，还需要种樱花的面积为z，则总面积为（x+y），二月蓝已种植 ，樱花已种植 ，波斯菊已种植 ，根据“ 波斯菊种植的总面积将达到这三种花种植总面积的．为使二月蓝种植总面积与樱花种植总面积之比达到4：5”列出方程组，用y的代数式分别表示出x、z，然后求解即可.
三、解答题
14．已知 ，当 时， ；当 时， ；当 时， .求a，b，c的值.
【答案】解：将x=1，y=5；x=-2，y=14；x=-3，y=25分别代入y=ax2+bx+c，
得 ，
由②-①，③-①得 ，
整理，解得a=2，b=-1，
把a=2，b=-1代入①中，解得c=4，
则a，b，c的值分别为2，-1，4.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】将x和y的值分别代入y=ax2+bx+c，建立三元一次方程组，通过②-①，③-①消去c，转化为
，整理解得a、b，再将a、b值代入①式中求出c即可.
15．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，由题意，得
，解得 .
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷，根据“共耕种51公顷土地”可得方程x+y+z=51，根据“总资金67万元”可得方程x+y+2z=67，根据“共300名职工”可得方程4x+8y+5z=300，联立求解即可.
四、综合题
16．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
17．（2022七下·台江期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意得：
2（u+v）13+u=uv，
2u+2v13+u=uv，
2u+3v=13，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】（2）解：由题意得：
，
，
，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【解答】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：5；
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入方程可求解；
（2）由题意把点B的坐标代入方程2x-y=u-v，根据u，v为正整数可求解；
（3）由题意把点C、D的坐标代入方程2x+3y=1，解方程组可求解.
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