2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.1 几何图形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·礼泉期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成(第6题图)体，则下列序号中不应剪去的是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：利用“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图，可知应剪去1或2或6，不能剪去3.
故答案为：B
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点（相对的面之间一定相隔一个正方形），可得答案.
2．（2023七上·西安期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数相等，则a-b+c的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．-4
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“a”与“-1”是相对面，“b”与“-5”是相对面，“c”与“2”是相对面，
∵相对面上的两个数相等，
∴a=-1，b=-5，c=2，
∴a-b+c=-1+5+2=6.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“a”与“-1”是相对面，“b”与“-5”是相对面，“c”与“2”是相对面，由相对面上的两个数相等可得a、b、c的值，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
3．（2023七上·宣汉期末）下面几何体中，不能由一个平面图形通过旋转得到的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：圆柱可以由一个长方形绕一条边旋转一周得到，故A不满足题意；
圆锥可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，故B不满足题意；
球体可以由一个圆绕一条直径旋转一周得到，故C不满足题意；
六棱柱不能由一个平面图形绕某直线旋转一周得到，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】根据点动成线、线动成面、面动成体的知识进行解答.
4．（2023七上·大竹期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由A、B、C中符合正方体2-2-2型及1-4-1型展开图，且：“祝”与“更”、“母”与“美”在相对面上，可能为这个盒子的展开图；
D无法满足正方体展开图，故不可能是这个盒子的展开图.
故答案为：D.
【分析】熟记正方体展开图类型，结合一定空间想象判断相对面的位置即可.
5．（2022七上·平谷期末）你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，
故答案为：C．
【分析】利用面动成体的关系求解即可。
6．（2023七上·达川期末）如图，是正方体包装盒的表面积展开图，如在其中的三个正方形、、、内分别填上适当的数，使得将这个表面积展开图沿虚线折成正方形后，相对面上的两数字互为相反数，则填在、、内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，-2 B．0，-2，1 C．1，0，-2 D．-2，0，1
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：A的对面是0，B的对面是2，C的对面是-1.
∴点A表示的数是0，点B表示的数是-2，点C表示的数是1.
故答案为：B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A，B，C对面表示的数，再利用相反数的定义可得到A，B，C表示的数.
7．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
8．（2020七上·西安月考）如图所示的三棱柱，高为 ，底面是一个边长为 的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（ ） .
A．28 B．31 C．34 D．36
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故答案为：A
【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数.
二、填空题
9．（2022七上·双阳期末）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是 ．
【答案】①
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图，
选取①时，能构成正方体的表面展开图；
故答案为：①．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．（2022七上·磁县期末）如图所示的是一个正方体的表面展开图，折成正方体后其相对面上的两个数互为相反数，a-b= ．
【答案】4
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴c与3是相对面，
与-2是相对面，
b与-1是相对面，
∵折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，
解得：，
∴．
【分析】根据正方体展开图的特征及相反数的定义可得，再求出a、b、c的值，最后求出a-b的值即可。
11．（2022七上·高州月考）子弹从枪膛中射出去的轨迹可看成一条线，这说明 的数学道理．
【答案】点动成线
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：子弹从枪膛中射出去的轨迹可看成一条线，这说明点动成线的数学道理，
故答案为：点动成线．
【分析】根据点与线之间的关系求解即可。
12．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
13．（2020七上·济南期中）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（ ），面数（ ），棱数（ ）之间存在一个有趣的数量关系： ，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 个，八边形的个数是 ，则x+y= ．
【答案】14
【知识点】立体图形的初步认识；定义新运算
【解析】【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+f-36=2，解得f=14，
∴x+y=14．
故答案为：14．
【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
三、解答题
14．（2023七上·宁强期末）如图是一个正方体的表面展开图，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个互为相反数，求的值.
【答案】解：∵a与相对，b与2相对，c与1相对，相对两个面上所写的两个互为相反数，
∴，
∴.
故答案为：2.
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得相对的面，然后根据相对的面上所写的两个数互为相反数可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
15．（2022七上·济南期中）如图，是一个几何体的表面展开图，依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
【答案】解：有展开图得这个几何体为长方体，
表面积：（平方米）；
体积：（立方米），
答：该几何体得表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图
【解析】【分析】 展开图得这个几何体为长方体， 根据长方体的表面积和体积公式计算即可。
四、作图题
16．（2020七上·扬州期末）图1所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．
（1）这个三棱柱有 条棱，有 个面；
（2）图2框中的图形是该三棱柱的一种表面展开图的一部分，请将它补全（一种即可）；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 cm．
【答案】（1）9；5
（2）解：如图所示：
（3）5；34
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】(1)这个三棱柱有条9棱，有个5面；故答家为：9，5；(3)由图形可知:没有剪开的棱的条数是4条则至少需要剪开的棱的条数是：9﹣4＝5(余)故至少需要开的楼的条数是5条，需开棱的棱长的和的最大值为:8×3+5×2＝34(cm)
故答案为：5，34
【分析】(1) n棱柱有n个侧面，2个庭面，3n条棱，2n个顶点；(2)利用三棱柱及其表面展开图的特点解题；(3)三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数星条，相减即可求出需要剪开的棱的条数；
五、综合题
17．（2021七上·柯桥期末）如图1，现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面上，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块.
（1）求下列两种情况下a的值.
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a= cm;②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出)，则a= cm;
（2）若0≤a≤7.5，放入铁块后水槽内水面的高度为 cm，(用含a的代数式表示）.
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为
50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm (h>a)，水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm，若 a=15，求h的值.(水槽和容器的壁及底面厚度相同)
【答案】（1）7.5；17.5
（2）
（3）解：根据题意，列方程得： 20×20×15+10×10×10=20×20×h+50×(h-4)
解得 h=16
【知识点】立体图形的初步认识；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） ① （20×20）a=20×20×10-10×10×10,
∴400a=3000,
解得a=7.5；
②20×20×20=10×10×10+20×20×a,
∴8000=1000+40a,
解得a=17.5；
故答案为：7.5和17.5.
（2） 设放入铁块后水槽内水面高为xcm,
当0≤a≤7.5时，400x=100x+400a,
解得x=a；
故答案为：a.
【分析】（1）根据“总体积=水的体积+铁块的体积”列等式求解即可，根据"水槽的体积=水的体积+铁块的体积"列等式求解即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面高为xcm, 当0≤a≤7.5时，根据“水槽放入铁块后的体积=水的体积+铁块在水下部分的体积”列式即可求解；
（3）根据“加入铁块前水槽内水的体积+铁块的体积=加入铁块后水槽内水的体积+圆柱形容器内水的体积”列式，即可求出h.
18．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.1 几何图形 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七上·礼泉期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成(第6题图)体，则下列序号中不应剪去的是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
2．（2023七上·西安期末）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数相等，则a-b+c的值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．-4
3．（2023七上·宣汉期末）下面几何体中，不能由一个平面图形通过旋转得到的是
A． B． C． D．
4．（2023七上·大竹期末）如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022七上·平谷期末）你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（ ）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交的地方是线
6．（2023七上·达川期末）如图，是正方体包装盒的表面积展开图，如在其中的三个正方形、、、内分别填上适当的数，使得将这个表面积展开图沿虚线折成正方形后，相对面上的两数字互为相反数，则填在、、内的三个数字依次为（ ）
A．0，1，-2 B．0，-2，1 C．1，0，-2 D．-2，0，1
7．（2020七上·内江月考）在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020七上·西安月考）如图所示的三棱柱，高为 ，底面是一个边长为 的等边三角形.要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最小值为（ ） .
A．28 B．31 C．34 D．36
二、填空题
9．（2022七上·双阳期末）如图，在有序号的小正方形中选出一个，它与图中五个有阴影的小正方形组合后，能构成正方体的表面展开图的是 ．
10．（2022七上·磁县期末）如图所示的是一个正方体的表面展开图，折成正方体后其相对面上的两个数互为相反数，a-b= ．
11．（2022七上·高州月考）子弹从枪膛中射出去的轨迹可看成一条线，这说明 的数学道理．
12．（2021七上·成都期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
13．（2020七上·济南期中）十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（ ），面数（ ），棱数（ ）之间存在一个有趣的数量关系： ，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是 个，八边形的个数是 ，则x+y= ．
三、解答题
14．（2023七上·宁强期末）如图是一个正方体的表面展开图，每一个面上都写有一个整数，并且相对两个面上所写的两个互为相反数，求的值.
15．（2022七上·济南期中）如图，是一个几何体的表面展开图，依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
四、作图题
16．（2020七上·扬州期末）图1所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．
（1）这个三棱柱有 条棱，有 个面；
（2）图2框中的图形是该三棱柱的一种表面展开图的一部分，请将它补全（一种即可）；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需剪开 条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为 cm．
五、综合题
17．（2021七上·柯桥期末）如图1，现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面上，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块.
（1）求下列两种情况下a的值.
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a= cm;②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出)，则a= cm;
（2）若0≤a≤7.5，放入铁块后水槽内水面的高度为 cm，(用含a的代数式表示）.
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为
50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm (h>a)，水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm，若 a=15，求h的值.(水槽和容器的壁及底面厚度相同)
18．（2020七上·射阳月考）在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）
（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是 ；
（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ，求a的值；
（3）在（2）的条件下，
①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度.
②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是 ▲ cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：利用“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图，可知应剪去1或2或6，不能剪去3.
故答案为：B
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点（相对的面之间一定相隔一个正方形），可得答案.
2．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“a”与“-1”是相对面，“b”与“-5”是相对面，“c”与“2”是相对面，
∵相对面上的两个数相等，
∴a=-1，b=-5，c=2，
∴a-b+c=-1+5+2=6.
故答案为：A.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“a”与“-1”是相对面，“b”与“-5”是相对面，“c”与“2”是相对面，由相对面上的两个数相等可得a、b、c的值，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
3．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：圆柱可以由一个长方形绕一条边旋转一周得到，故A不满足题意；
圆锥可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，故B不满足题意；
球体可以由一个圆绕一条直径旋转一周得到，故C不满足题意；
六棱柱不能由一个平面图形绕某直线旋转一周得到，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】根据点动成线、线动成面、面动成体的知识进行解答.
4．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由A、B、C中符合正方体2-2-2型及1-4-1型展开图，且：“祝”与“更”、“母”与“美”在相对面上，可能为这个盒子的展开图；
D无法满足正方体展开图，故不可能是这个盒子的展开图.
故答案为：D.
【分析】熟记正方体展开图类型，结合一定空间想象判断相对面的位置即可.
5．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体，
故答案为：C．
【分析】利用面动成体的关系求解即可。
6．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【解答】解：A的对面是0，B的对面是2，C的对面是-1.
∴点A表示的数是0，点B表示的数是-2，点C表示的数是1.
故答案为：B
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得到A，B，C对面表示的数，再利用相反数的定义可得到A，B，C表示的数.
7．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故答案为：A．
【分析】根据题意和所给图形对每个选项一一判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条，
则至少需要剪开的棱的条数是：9-4=5（条），
∴棱长和的最小值为：8+4×5=28，
故答案为：A
【分析】三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数.
9．【答案】①
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵选取②③④不可以构成正方体的表面展开图，
选取①时，能构成正方体的表面展开图；
故答案为：①．
【分析】根据正方体展开图的特征求解即可。
10．【答案】4
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴c与3是相对面，
与-2是相对面，
b与-1是相对面，
∵折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，
解得：，
∴．
【分析】根据正方体展开图的特征及相反数的定义可得，再求出a、b、c的值，最后求出a-b的值即可。
11．【答案】点动成线
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：子弹从枪膛中射出去的轨迹可看成一条线，这说明点动成线的数学道理，
故答案为：点动成线．
【分析】根据点与线之间的关系求解即可。
12．【答案】6552
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
13．【答案】14
【知识点】立体图形的初步认识；定义新运算
【解析】【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+f-36=2，解得f=14，
∴x+y=14．
故答案为：14．
【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
14．【答案】解：∵a与相对，b与2相对，c与1相对，相对两个面上所写的两个互为相反数，
∴，
∴.
故答案为：2.
【知识点】相反数及有理数的相反数；几何体的展开图
【解析】【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此可得相对的面，然后根据相对的面上所写的两个数互为相反数可得a、b、c的值，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
15．【答案】解：有展开图得这个几何体为长方体，
表面积：（平方米）；
体积：（立方米），
答：该几何体得表面积是22平方米，体积是6立方米．
【知识点】几何体的表面积；几何体的展开图
【解析】【分析】 展开图得这个几何体为长方体， 根据长方体的表面积和体积公式计算即可。
16．【答案】（1）9；5
（2）解：如图所示：
（3）5；34
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】(1)这个三棱柱有条9棱，有个5面；故答家为：9，5；(3)由图形可知:没有剪开的棱的条数是4条则至少需要剪开的棱的条数是：9﹣4＝5(余)故至少需要开的楼的条数是5条，需开棱的棱长的和的最大值为:8×3+5×2＝34(cm)
故答案为：5，34
【分析】(1) n棱柱有n个侧面，2个庭面，3n条棱，2n个顶点；(2)利用三棱柱及其表面展开图的特点解题；(3)三棱柱有9条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数星条，相减即可求出需要剪开的棱的条数；
17．【答案】（1）7.5；17.5
（2）
（3）解：根据题意，列方程得： 20×20×15+10×10×10=20×20×h+50×(h-4)
解得 h=16
【知识点】立体图形的初步认识；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1） ① （20×20）a=20×20×10-10×10×10,
∴400a=3000,
解得a=7.5；
②20×20×20=10×10×10+20×20×a,
∴8000=1000+40a,
解得a=17.5；
故答案为：7.5和17.5.
（2） 设放入铁块后水槽内水面高为xcm,
当0≤a≤7.5时，400x=100x+400a,
解得x=a；
故答案为：a.
【分析】（1）根据“总体积=水的体积+铁块的体积”列等式求解即可，根据"水槽的体积=水的体积+铁块的体积"列等式求解即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面高为xcm, 当0≤a≤7.5时，根据“水槽放入铁块后的体积=水的体积+铁块在水下部分的体积”列式即可求解；
（3）根据“加入铁块前水槽内水的体积+铁块的体积=加入铁块后水槽内水的体积+圆柱形容器内水的体积”列式，即可求出h.
18．【答案】（1）12a
（2）解：小高的模型的棱长之和为12acm，
小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为： ，
根据题意可列
解得：
（3）解：①如下图
②72；如下图，
【知识点】几何体的展开图；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：（1）12×a=12acm；
故答案为：12a；
（3）②如下图，
此时展开图的周长
故答案为：72.
【分析】（1）正方体有12条棱，据此可得各棱长度之和；
（2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱， 据此算出小刘的模型的棱长之和，进而根据“ 小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的 ”列出方程，据此解答；
（3）①根据正方体展开图的特点进行解答；
②画出图形，进而求出展开图的周长.
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