2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.4 角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·天津市期末）某学校的教学楼位于图书馆的北偏东方向，则图书馆位于教学楼的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏西方向
C．北偏东方向 D．北偏东方向
2．（2023七上·龙华期末）如图，一张地图上有A、B、C三地，C地在A地的东南方向，若，则B地在A地的（ ）
A．南偏西57°方向 B．南偏西67°方向
C．南偏西33°方向 D．西南方向
3．（2023七上·宝塔期末）下列语句正确的个数是（ ）
①两条射线组成的图形叫做角；②反向延长线段AB得到射线BA；③延长射线OA到点C；④若AB＝BC，则点B是AC中点；⑤连接两点的线段叫做两点间的距离；⑥两点之间直线最短．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023七上·平南期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点画29条射线，则图中共有（ ）个角.
A．465 B．450 C．425 D．300
5．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2022七上·晋州期中）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
7．（【初数七年级上学期补题】浙教版数学七年级上册6.5角与角的度量 课时练习）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列语句，正确的是（ ）．
A．直线可表示一个平角;
B．平角的两边向左右无限延伸;
C．延长线段AB至点C，则∠ACB=180°;
D．在一条直线上顺次取三点A、B、C，则∠ABC=180°
二、填空题
9．（2022·青县模拟）2021年10月25日，石家庄市太平河南岸景观带绿道实现贯通，道路贯通后整个太平河形成了南北两岸总面积356.5万平方米的绿色景观带．
（1）数据“356.5万”可以用科学记数法表示为 ；
（2）嘉嘉和同学相约在南岸（直线b）顺河游玩，北岸（直线a）一个造型别致的亭子A吸引了他们的目光，此时亭子在他们北偏西方向上，已知a与b是平行的，那么嘉嘉他们的位置可能是点M，P，Q中的 点．
10．（2023七下·宣汉月考）如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 .
11．（2023七上·沙坡头期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离.其中正确的有 （填正确说法的序号）.
12．（2022七上·定州期末）如图，是一个公园的示意图，下列说法正确的是 （填正确说法的序号）．
①孔雀馆在大门的北偏东50°方向上；
②猴山在大门的正北方向；
③狮子园在大门的南偏东30°方向上；
④盆景园在大门的北偏东90°方向上．
13．（2021七上·龙泉驿期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻.
三、解答题
14．（湘教版七年级数学上册 第四章图形的认识 单元检测b卷）地震后，许许多多志愿者到灾区投入了抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小方是几点钟去为灾民服务？几点钟回到家？共用了多少时间？
15．（第10讲 角——练习题）如图，图中共有多少个角
四、综合题
16．（2022七下·义乌开学考）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度.
解决问题：
（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数.
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针.
（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ.问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
17．（2021七上·东阳期末）一创意钟面的背景图是一幅三角板，如图所示，点O为钟面的圆心，，，，且点A、O、C在同一直线上，边OC直指12点方向，边OA直指6点方向，记时针为线段OP，分针为线段OQ，且运行正常．
（1）边OD所指的钟面数字为 ，当时针OP与OB的重合时，钟面显示的时间为 ．
（2）在某一时刻，时针OP恰好平分∠AOB，求此时分针OQ与边OC夹角的度数．
（3）当时针OP与分针OQ均在背景三角形内部（不含边界），且时针和分针恰在同一直线，求此时钟面显示的时间．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵教学楼位于图书馆的北偏东65°方向，
∴图书馆位于教学楼的南偏西65°方向。
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，由图即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴B地在A地的南偏西方向.
故答案为：A.
【分析】画出示意图，由题意可得∠CAD=45°，∠BAC=102°，然后根据∠BAD=∠BAC-∠CAD进行计算.
3．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点之间线段最短；线段上的两点间的距离；角的概念及表示；线段的中点
【解析】【解答】解：①由有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误；
②反向延长线段AB得到射线BA，故②正确；
③延长射线OA到点C，错误；
④若AB＝BC，则点B不一定是AC中点，故④错误；
⑤连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故⑤错误；
⑥两点之间线段最短，故⑥错误；正确结论只有1个.
故答案为：A
【分析】利用角的定义可对①作出判断；反向延长线段AB得到射线BA，可对②作出判断；利用线段中点的定义，可对③作出判断；利用两点间的距离定义，可对④作出判断；利用线段公理，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．【答案】A
【知识点】角的概念及表示；探索图形规律
【解析】【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2=3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3=6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有个角；
故答案为：A.
【分析】根据角的定义，用一定的顺序数出前几个图形中角的个数，通过观察就会发现：从角的顶点画n条射线，图中共有（n＋2）（n＋1）个角，进而将n=29代入即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
6．【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：点分，再过分钟就是点分，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数30°，即得结论.
7．【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A、∠1和∠AOB表示的是同一个角，不能用∠O表示，故A不符合题意；
B、∠AOB可以表示成∠O，但不能表示成∠1，故B不符合题意；
C、图中的∠1和∠AOB表示的表示的不是同一个角，也不能用∠O表示，故C不符合题意；
D、图形中的∠1和∠AOB，∠O表示的是同一个角，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】观察各选项，若用一个大写字母表示角，点O处的角只有一个，故A，B，C不符合题意，即可得到能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的选项.
8．【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】A. 一个角由有公共端点的两射线组成，一个平角的两边在一条直线上，则一条直线不是一个平角，所以错误；B．角的两边是射线，射线是无限长的，不能说无限延伸射线，故说法错误； C．角的两边应该是射线，延长线段AB至点C，AB和BC都是线段，故错误; D . 在一条直线上顺次取三点A、B、C,则∠ABC是平角，等于180°，正确；故答案选D.
【分析】根据角的定义意义进行分析，然后排出错误的答案.
9．【答案】（1）3.565×106
（2）P
【知识点】钟面角、方位角；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：（1）356.5万；
（2）如图：
因为亭子在他们北偏西方向上，
嘉嘉他们的位置可能是点，，中的点．
故答案为：，．
【分析】（1）用科学记数法表示较大数时，一般形式为a×10n，其中1≤＜10，n为整数，且n比原整数位少1，据此判断即可；
（2）根据方位角的表示方法进行判断即可.
10．【答案】48°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵从甲地测得公路的走向是北偏东48°，
∴∠BFE=48°，
由题意得
AB∥CD，
∠BFE=∠DEF=48°，
∴乙地所修公路的走向是南偏西48°.
故答案为：48°
【分析】利用方位角的定义：正北或正南方向线与目标线所形成的的角是方位角，可得到∠BFE的度数，利用平行线的性质可得到∠DEF的度数，据此可得答案.
11．【答案】（1）（2）（3）
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；线段上的两点间的距离；角的概念及表示
【解析】【解答】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的，正确；
（3）经过两点有且只有一条直线，正确；
（4）连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故原说法错误.
故答案为：（1）（2）（3）.
【分析】根据两点之间，线段最短的性质可判断（1）；根据角的概念可判断（2）；根据直线的概念可判断（3）；根据两点间距离的概念可判断（4）.
12．【答案】①②④
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：①孔雀馆在大门的北偏东50°方向上，故①的说法符合题意；
②猴山在大门的正北方向，故②的说法符合题意；
③狮子园在大门的南偏东60°方向上，故③的说法不符合题意；
④盆景园在大门的正东方向（即北偏东90°方向）上，故④的说法符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】根据方向角的定义及表示地理位置的方法逐项判断即可。
13．【答案】22
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟面角和“平衡时刻”的意义可知，
时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，
在相邻两次成180度之间，分针比时针多走了360度，所花时间为 (分)，
24小时共1440分，
所以平衡时刻有 （次），
故答案为：22.
【分析】由于每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，据此即可判断.
14．【答案】解：设8点x分时针与分针重合，
则：x- =40，
解得：x=43．
即8点43分时出门．
设2点y分时，时针与分针方向相反．
则：y- =10+30，
解得：y=43．
即2点43分时回家
所以14点43分-8点43分=6个小时．
答：共用了6个小时
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【分析】时钟问题可以转换成行程问题，由题意可知，分针运动1小格，时针运动小格，上午8点多时，分针与时针重合，此时分针与时针的路程差是40小格；而下午2点时，分针与时针方向相反，正好成一条直线，此时分针与时针的路程差是10格与30格的和。依据题意列出方程即可。
15．【答案】解：图（1）：从图中可以看出，最大的角∠A1OA5被三条射线OA2、OA3、OA4分成4个部分，从左往右，先数以OA1为左边的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，共4个；再数以OA2为左边的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，共3个；依此类推，以OA3，OA4为左边的角，分别有2，1个，
∴图（1）中角的个数为：4+3+2+1=10（个）；
图（2）：从图中可以看出，最大的角∠A1OA2000被1998条射线OA2、OA3、OA4……OA1999分成1999个部分，从左往右，先数以OA1为左边的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，……，∠A1OA2000，共1999个；再数以OA2为左边的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，……，∠A2OA2000，共1998个；依此类推，以OA3，OA4，……OA1999为左边的角，分别有1997，1996，……1个，
∴图（2）中角的个数为：1999+1998+……+1==1999000（个）.
【知识点】角的概念及表示
【解析】【分析】数图中角的个数和数线段一样，要不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数.
16．【答案】（1）解：8：30时，分针指向6，时针在8和9之间的中间位置，
∴ 分针与时针所夹的锐角=2×30+15°=75°；
（2）解： 8：00时，时针指向8，分针指向12，分针落后时针240°，
分针转一圈时间是1小时，时针转一圈需要时间12小时，
每分钟转动的度数为：，则时针每分钟转动的度数为：°，
设需要x分钟追上时针，
∴6x-240=x，
解得x=.
（3）解：设从8：00开始运动t分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，
①当OB平分∠POQ时，∠BOQ=∠BOP，
∴t=240-6t，
解得t=；
②当OP平分∠BOQ时，∠BOP=∠BOQ，
∴6t-240=×t，
解得t= ；
③当OQ平分∠BOP时，∠BOQ=∠BOP，
∴t=(6t-240)，
解得t=48；
综上，经过的时间是 ， ，48 .
【知识点】钟面角、方位角；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)先确定分针和时针的位置，结合两格之间所夹角为30°，依此列式计算即可；
(2)先确定分针落后时针的度数，再理清时针和分针的速度，设需要x分钟追上时针，根据追击的问题建立关于x的方程求解即可；
(3)分三种情况讨论，即①当OB平分∠POQ时，∠BOQ=∠BOP，② 当OP平分∠BOQ时，∠BOP=∠BOQ，③当OQ平分∠BOP时，∠BOQ=∠BOP，分别根据角度的关系建立关于t的方程求解即可.
17．【答案】（1）2；7点30分
（2）解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POA=22.5°，
∵时针一小时走30°，
∴时针一分钟走30°÷60=0.5°，
∴22.5°÷0.5°=45（分钟），
∴OQ指向数字9，
即OQ与OC的夹角为90°；
（3）解：三点在同一直线上有两种情况：OP和OQ重合，或者点P与Q在点O的异侧
①如图1：
设12点x分时，时针和分针在同一直线上，且点P与Q在点O的异侧
，得，即12点分
②如图2：设1点x分时，当时针OP和分针OQ重合
得，即1点分
如图3，1点x分且点P与Q在点O的异侧
得，
此时OQ不在背景三角形内应舍去
③如图4：设6点x分时，时针OP和分针OQ重合
得，即6点分
④如图5，设7点x分时，当点P与Q在点O异侧
得，即7点分
设7点x分时，时针和分针重合
得，应舍去
综上所述，12点分，1点分，6点分，7点分
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【解答】（1）∵圆周角为360°，
∴1个小时时针转360°÷12=30°，
∵∠COD=60°=2×30°，
∴边CD所指的数字为2，
当OP与OB重合时，∠BOA=45°=30°+15°，
即OP在OA处经历一个半小时与OB重合，
∴表面时间为7：30，
故答案为：2，7：30；
【分析】（1）根据圆周角为360°，得出时针一小时走30°，根据∠COD＝60°得出边CD所指数字；再根据∠BOA＝45°，得出表面数字；
（2）根据OP平分∠AOB，得出∠POA＝22.5°，再根据时针一分钟转过的角度即可得出分针所指数字；
（3）当OP与OC夹角为30°时，OQ与OA夹角为30°和当OQ与OC夹角为30°时，OP与OA夹角为30°两种情况讨论即可．
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.4 角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·天津市期末）某学校的教学楼位于图书馆的北偏东方向，则图书馆位于教学楼的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏西方向
C．北偏东方向 D．北偏东方向
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵教学楼位于图书馆的北偏东65°方向，
∴图书馆位于教学楼的南偏西65°方向。
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，由图即可得出答案。
2．（2023七上·龙华期末）如图，一张地图上有A、B、C三地，C地在A地的东南方向，若，则B地在A地的（ ）
A．南偏西57°方向 B．南偏西67°方向
C．南偏西33°方向 D．西南方向
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：
∵，，
∴，
∴B地在A地的南偏西方向.
故答案为：A.
【分析】画出示意图，由题意可得∠CAD=45°，∠BAC=102°，然后根据∠BAD=∠BAC-∠CAD进行计算.
3．（2023七上·宝塔期末）下列语句正确的个数是（ ）
①两条射线组成的图形叫做角；②反向延长线段AB得到射线BA；③延长射线OA到点C；④若AB＝BC，则点B是AC中点；⑤连接两点的线段叫做两点间的距离；⑥两点之间直线最短．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；两点之间线段最短；线段上的两点间的距离；角的概念及表示；线段的中点
【解析】【解答】解：①由有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误；
②反向延长线段AB得到射线BA，故②正确；
③延长射线OA到点C，错误；
④若AB＝BC，则点B不一定是AC中点，故④错误；
⑤连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故⑤错误；
⑥两点之间线段最短，故⑥错误；正确结论只有1个.
故答案为：A
【分析】利用角的定义可对①作出判断；反向延长线段AB得到射线BA，可对②作出判断；利用线段中点的定义，可对③作出判断；利用两点间的距离定义，可对④作出判断；利用线段公理，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．（2023七上·平南期末）如图，在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点画29条射线，则图中共有（ ）个角.
A．465 B．450 C．425 D．300
【答案】A
【知识点】角的概念及表示；探索图形规律
【解析】【解答】解：在∠AOB内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有1+2=3个角；
从图（2）顶点O画2条射线，图中共有1+2+3=6个角；
……
若从角的顶点画n条射线，图中共有个角；
∴从角的顶点画29条射线，图中共有个角；
故答案为：A.
【分析】根据角的定义，用一定的顺序数出前几个图形中角的个数，通过观察就会发现：从角的顶点画n条射线，图中共有（n＋2）（n＋1）个角，进而将n=29代入即可得到答案．
5．（2023七上·达川期末）如图，是直线，是直线上一点，、是两条射线，则图中小于平角的角有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠COD，∠COB，∠BOD，一共5个.
故答案为：C
【分析】利用角的定义，写出以点O为角的顶点，分别以OA，OC，OD为边的锐角，由此可得到图中小于平角的角.
6．（2022七上·晋州期中）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：点分，再过分钟就是点分，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数30°，即得结论.
7．（【初数七年级上学期补题】浙教版数学七年级上册6.5角与角的度量 课时练习）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A、∠1和∠AOB表示的是同一个角，不能用∠O表示，故A不符合题意；
B、∠AOB可以表示成∠O，但不能表示成∠1，故B不符合题意；
C、图中的∠1和∠AOB表示的表示的不是同一个角，也不能用∠O表示，故C不符合题意；
D、图形中的∠1和∠AOB，∠O表示的是同一个角，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】观察各选项，若用一个大写字母表示角，点O处的角只有一个，故A，B，C不符合题意，即可得到能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的选项.
8．下列语句，正确的是（ ）．
A．直线可表示一个平角;
B．平角的两边向左右无限延伸;
C．延长线段AB至点C，则∠ACB=180°;
D．在一条直线上顺次取三点A、B、C，则∠ABC=180°
【答案】D
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】A. 一个角由有公共端点的两射线组成，一个平角的两边在一条直线上，则一条直线不是一个平角，所以错误；B．角的两边是射线，射线是无限长的，不能说无限延伸射线，故说法错误； C．角的两边应该是射线，延长线段AB至点C，AB和BC都是线段，故错误; D . 在一条直线上顺次取三点A、B、C,则∠ABC是平角，等于180°，正确；故答案选D.
【分析】根据角的定义意义进行分析，然后排出错误的答案.
二、填空题
9．（2022·青县模拟）2021年10月25日，石家庄市太平河南岸景观带绿道实现贯通，道路贯通后整个太平河形成了南北两岸总面积356.5万平方米的绿色景观带．
（1）数据“356.5万”可以用科学记数法表示为 ；
（2）嘉嘉和同学相约在南岸（直线b）顺河游玩，北岸（直线a）一个造型别致的亭子A吸引了他们的目光，此时亭子在他们北偏西方向上，已知a与b是平行的，那么嘉嘉他们的位置可能是点M，P，Q中的 点．
【答案】（1）3.565×106
（2）P
【知识点】钟面角、方位角；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：（1）356.5万；
（2）如图：
因为亭子在他们北偏西方向上，
嘉嘉他们的位置可能是点，，中的点．
故答案为：，．
【分析】（1）用科学记数法表示较大数时，一般形式为a×10n，其中1≤＜10，n为整数，且n比原整数位少1，据此判断即可；
（2）根据方位角的表示方法进行判断即可.
10．（2023七下·宣汉月考）如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 .
【答案】48°
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵从甲地测得公路的走向是北偏东48°，
∴∠BFE=48°，
由题意得
AB∥CD，
∠BFE=∠DEF=48°，
∴乙地所修公路的走向是南偏西48°.
故答案为：48°
【分析】利用方位角的定义：正北或正南方向线与目标线所形成的的角是方位角，可得到∠BFE的度数，利用平行线的性质可得到∠DEF的度数，据此可得答案.
11．（2023七上·沙坡头期末）下列说法：（1）两点之间的所有连线中，线段最短；（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的；（3）经过两点有且只有一条直线；（4）连接两点的线段叫做这两点之间的距离.其中正确的有 （填正确说法的序号）.
【答案】（1）（2）（3）
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；线段上的两点间的距离；角的概念及表示
【解析】【解答】解：（1）两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
（2）角是由两条具有公共端点的射线组成的，正确；
（3）经过两点有且只有一条直线，正确；
（4）连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故原说法错误.
故答案为：（1）（2）（3）.
【分析】根据两点之间，线段最短的性质可判断（1）；根据角的概念可判断（2）；根据直线的概念可判断（3）；根据两点间距离的概念可判断（4）.
12．（2022七上·定州期末）如图，是一个公园的示意图，下列说法正确的是 （填正确说法的序号）．
①孔雀馆在大门的北偏东50°方向上；
②猴山在大门的正北方向；
③狮子园在大门的南偏东30°方向上；
④盆景园在大门的北偏东90°方向上．
【答案】①②④
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：①孔雀馆在大门的北偏东50°方向上，故①的说法符合题意；
②猴山在大门的正北方向，故②的说法符合题意；
③狮子园在大门的南偏东60°方向上，故③的说法不符合题意；
④盆景园在大门的正东方向（即北偏东90°方向）上，故④的说法符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】根据方向角的定义及表示地理位置的方法逐项判断即可。
13．（2021七上·龙泉驿期末）我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻.
【答案】22
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：钟面角和“平衡时刻”的意义可知，
时针每分钟走0.5度，分针每分钟走6度，
在相邻两次成180度之间，分针比时针多走了360度，所花时间为 (分)，
24小时共1440分，
所以平衡时刻有 （次），
故答案为：22.
【分析】由于每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，据此即可判断.
三、解答题
14．（湘教版七年级数学上册 第四章图形的认识 单元检测b卷）地震后，许许多多志愿者到灾区投入了抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小方是几点钟去为灾民服务？几点钟回到家？共用了多少时间？
【答案】解：设8点x分时针与分针重合，
则：x- =40，
解得：x=43．
即8点43分时出门．
设2点y分时，时针与分针方向相反．
则：y- =10+30，
解得：y=43．
即2点43分时回家
所以14点43分-8点43分=6个小时．
答：共用了6个小时
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【分析】时钟问题可以转换成行程问题，由题意可知，分针运动1小格，时针运动小格，上午8点多时，分针与时针重合，此时分针与时针的路程差是40小格；而下午2点时，分针与时针方向相反，正好成一条直线，此时分针与时针的路程差是10格与30格的和。依据题意列出方程即可。
15．（第10讲 角——练习题）如图，图中共有多少个角
【答案】解：图（1）：从图中可以看出，最大的角∠A1OA5被三条射线OA2、OA3、OA4分成4个部分，从左往右，先数以OA1为左边的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，共4个；再数以OA2为左边的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，共3个；依此类推，以OA3，OA4为左边的角，分别有2，1个，
∴图（1）中角的个数为：4+3+2+1=10（个）；
图（2）：从图中可以看出，最大的角∠A1OA2000被1998条射线OA2、OA3、OA4……OA1999分成1999个部分，从左往右，先数以OA1为左边的角，有∠A1OA2，∠A1OA3，∠A1OA4，∠A1OA5，……，∠A1OA2000，共1999个；再数以OA2为左边的角，有∠A2OA3，∠A2OA4，∠A2OA5，……，∠A2OA2000，共1998个；依此类推，以OA3，OA4，……OA1999为左边的角，分别有1997，1996，……1个，
∴图（2）中角的个数为：1999+1998+……+1==1999000（个）.
【知识点】角的概念及表示
【解析】【分析】数图中角的个数和数线段一样，要不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数.
四、综合题
16．（2022七下·义乌开学考）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度.
解决问题：
（1）当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数.
（2）8：00开始几分钟后分针第一次追上时针.
（3）设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ.问：在8：00～9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】（1）解：8：30时，分针指向6，时针在8和9之间的中间位置，
∴ 分针与时针所夹的锐角=2×30+15°=75°；
（2）解： 8：00时，时针指向8，分针指向12，分针落后时针240°，
分针转一圈时间是1小时，时针转一圈需要时间12小时，
每分钟转动的度数为：，则时针每分钟转动的度数为：°，
设需要x分钟追上时针，
∴6x-240=x，
解得x=.
（3）解：设从8：00开始运动t分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线，
①当OB平分∠POQ时，∠BOQ=∠BOP，
∴t=240-6t，
解得t=；
②当OP平分∠BOQ时，∠BOP=∠BOQ，
∴6t-240=×t，
解得t= ；
③当OQ平分∠BOP时，∠BOQ=∠BOP，
∴t=(6t-240)，
解得t=48；
综上，经过的时间是 ， ，48 .
【知识点】钟面角、方位角；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)先确定分针和时针的位置，结合两格之间所夹角为30°，依此列式计算即可；
(2)先确定分针落后时针的度数，再理清时针和分针的速度，设需要x分钟追上时针，根据追击的问题建立关于x的方程求解即可；
(3)分三种情况讨论，即①当OB平分∠POQ时，∠BOQ=∠BOP，② 当OP平分∠BOQ时，∠BOP=∠BOQ，③当OQ平分∠BOP时，∠BOQ=∠BOP，分别根据角度的关系建立关于t的方程求解即可.
17．（2021七上·东阳期末）一创意钟面的背景图是一幅三角板，如图所示，点O为钟面的圆心，，，，且点A、O、C在同一直线上，边OC直指12点方向，边OA直指6点方向，记时针为线段OP，分针为线段OQ，且运行正常．
（1）边OD所指的钟面数字为 ，当时针OP与OB的重合时，钟面显示的时间为 ．
（2）在某一时刻，时针OP恰好平分∠AOB，求此时分针OQ与边OC夹角的度数．
（3）当时针OP与分针OQ均在背景三角形内部（不含边界），且时针和分针恰在同一直线，求此时钟面显示的时间．
【答案】（1）2；7点30分
（2）解：∵OP平分∠AOB，
∴∠POA=22.5°，
∵时针一小时走30°，
∴时针一分钟走30°÷60=0.5°，
∴22.5°÷0.5°=45（分钟），
∴OQ指向数字9，
即OQ与OC的夹角为90°；
（3）解：三点在同一直线上有两种情况：OP和OQ重合，或者点P与Q在点O的异侧
①如图1：
设12点x分时，时针和分针在同一直线上，且点P与Q在点O的异侧
，得，即12点分
②如图2：设1点x分时，当时针OP和分针OQ重合
得，即1点分
如图3，1点x分且点P与Q在点O的异侧
得，
此时OQ不在背景三角形内应舍去
③如图4：设6点x分时，时针OP和分针OQ重合
得，即6点分
④如图5，设7点x分时，当点P与Q在点O异侧
得，即7点分
设7点x分时，时针和分针重合
得，应舍去
综上所述，12点分，1点分，6点分，7点分
【知识点】一元一次方程的其他应用；钟面角、方位角
【解析】【解答】（1）∵圆周角为360°，
∴1个小时时针转360°÷12=30°，
∵∠COD=60°=2×30°，
∴边CD所指的数字为2，
当OP与OB重合时，∠BOA=45°=30°+15°，
即OP在OA处经历一个半小时与OB重合，
∴表面时间为7：30，
故答案为：2，7：30；
【分析】（1）根据圆周角为360°，得出时针一小时走30°，根据∠COD＝60°得出边CD所指数字；再根据∠BOA＝45°，得出表面数字；
（2）根据OP平分∠AOB，得出∠POA＝22.5°，再根据时针一分钟转过的角度即可得出分针所指数字；
（3）当OP与OC夹角为30°时，OQ与OA夹角为30°和当OQ与OC夹角为30°时，OP与OA夹角为30°两种情况讨论即可．
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