2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.5 角的比较与补（余）角 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七上·长兴期末）已知，则的补角等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七上·鄞州期末）如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°，则图中互补的角的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．（2023七上·平南期末）已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．下列说法正确的是 （ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．同角的补角相等
7．（2023七上·陈仓期末）一副三角板如图摆放，则的度数是（ ）
A．90° B．75° C．60° D．15°
8．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七上·桂平期末）一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角度数是 .
10．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
11．（2023七上·大竹期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 .
12．（2023七上·澄城期末）数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
（1）小丹画的的度数是 ．
（2）射线是的角平分线的依据是 ．
13．（2023七上·大竹期末）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOB=155°，则∠COD＝ ，∠BOC＝ ．
三、解答题
14．（2023七上·未央期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB︰∠BOC=3︰2，若∠BOE=13°，求∠DOE的度数.
15．（2023七上·东方期末）如图，，平分，求度数.
解：∵，，
∴ （填角的名称）= ，
∵平分，
∴ ，
∴ （填角的名称）= .
四、综合题
16．（2023七上·长安期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，，分别是，的平分线.
（1）若，求的度数；
（2）比较和的大小，并说明理由.
17．（2023七上·临湘期末）如图，是直线，分别是的平分线.
（1），求的度数.
（2）若，求.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：.
的补角等于.
故答案为：B.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
2．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=20°，
∴∠AOD=∠BOC=160°，
∴∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠BOC=180°，∠BOD+∠AOD=180°，
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义求出∠AOD=∠BOC=160°，进而根据和为180°的两个角互为补角即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：由，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据度、分、秒之间的关系，将三个角的度数单位换算成一致，即可比较得出答案.
5．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
6．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；对顶角及其性质；同位角
【解析】【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线，平行线的性质和同角或等角的补角相等的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、相等的角的两边不一定互为反向延长线，故本选项错误；
B、只有两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；
C、应为两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；
D、同角的补角相等，正确．
故选D．
【点评】本题是对概念和性质的综合考查，需要熟练掌握．
7．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对图形标注点D，
由题意得，
故答案为：B.
【分析】对图形标注点D，根据图形可得∠ABD=30°，∠DBC=45°，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC进行计算.
8．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
9．【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，由题意，得：，
解得：；
∴这个角度数是；
故答案为：.
【分析】设这个角的度数为x，可得这个角的余角90°-x，补角为180°-x，由题意列出方程并解之即可.
10．【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
11．【答案】62°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
而，
，
.
故答案为：62°.
【分析】根据角的和差关系可得∠BOD=∠AOD-∠AOB=28°，然后根据∠BOC=∠COD-∠BOD进行计算.
12．【答案】75°（）射线是的角平分线的依据是_______．【答案】角平分线定义
（1）75°
（2）角平分线定义
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵图1∠AOB=90°+60°=150°，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-30°-45°=75°.
故答案为：75°
（2）∵∠BOC=30°+45°=75°，
∴∠BOC=∠AOC，
∴OC平分∠AOB，
∴射线OC平分∠AOB的依据是角平分线的定义.
故答案为：角平分线的定义
【分析】（1）观察图1，可求出∠AOB的度数，再根据图2，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数.
（2）利用（1）中的计算可得到∠BOC=∠AOC，利用角平分线的定义可证得OC平分∠AOB.
13．【答案】25°；65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=155°，
∴∠COD=180°-155°=25°，
∴∠BOC=∠DOB-∠COD=90°-25°=65°.
故答案为：25°，65°.
【分析】根据角的和差关系可得∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°，结合∠AOB的度数可得∠COD的度数，然后根据∠BOC=∠DOB-∠COD进行计算.
14．【答案】解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x.
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x.
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE═∠AOC＝x，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=3x x＝x，
∵∠BOE=13°，
∴x＝13°，
解得：x=26°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝x＝26°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=26°+13°=39°.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】 设∠AOB=3x，∠BOC=2x ，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x ，由角平分线定义得 ∠AOE=x ，进而根据∠BOE=∠AOB-∠AOE用含x的式子表示出∠BOE，结合∠BOE的度数建立方程可求出x的值，再由角平分线的定义可求出∠BOD的度数，最后根据∠DOE=∠DOB+∠BOE计算即可.
15．【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：；；；；.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，由角平分线的概念可得∠AOD=∠AOC=45°，然后根据∠BOD=∠AOD-∠AOB进行计算.
16．【答案】（1）解：∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得 ， ，进而根据角的和差，由∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON代入后利用逆用乘法分配律及平角定义变形计算即可；
（2）∠DOM=∠CON，理由如下：根据角平分线的定义及已知可得∠MOC=∠NOD，进而根据等式的性质即可得出结论.
17．【答案】（1）解：∵是直线，分别是的平分线，，
∴，
∴
∴；
（2）解：∵是直线，分别是的平分线，
∴
∴，
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠1=∠BOC，∠2=∠AOC，根据平角定义得∠AOC=180°-∠BOC，从而代入∠BOC的度数即可算出∠1与∠2的度数，进而根据∠DOE=∠1+∠2可算出∠DOE的度数；
（2）根据角平分线的定义得∠1=∠BOC，∠2=∠AOC，再根据角的和差，由∠DOE=∠1+∠2=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°可得答案.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.5 角的比较与补（余）角 同步分层训练基础卷
一、选择题
1．（2023七上·长兴期末）已知，则的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：.
的补角等于.
故答案为：B.
【分析】根据互为补角的两角之和为180°进行计算.
2．（2023七上·江北期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据一副三角形板中每一个角的度数，并结合角的和差、平角的定义及同角的余角相等一一计算，即可判断得出答案.
3．（2023七上·鄞州期末）如图，点O在直线AB上，∠AOC=∠BOD=20°，则图中互补的角的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=20°，
∴∠AOD=∠BOC=160°，
∴∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠AOD=180°，∠BOD+∠BOC=180°，∠BOD+∠AOD=180°，
故答案为：D.
【分析】根据平角的定义求出∠AOD=∠BOC=160°，进而根据和为180°的两个角互为补角即可得出答案.
4．（2023七上·平南期末）已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】常用角的单位及换算
【解析】【解答】解：由，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据度、分、秒之间的关系，将三个角的度数单位换算成一致，即可比较得出答案.
5．（2023七上·益阳期末）如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）.下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
而∠COE=∠BOE，
∴∠AOE=∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°=90°+90°=180°，所以②正确；
∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵E、O、F三点共线
∴∠BOE+∠BOF=180°，
∵∠COE=∠BOE，
∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确.
所以，正确的结论有3个.
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，由已知条件可知∠COE=∠BOE，然后根据等式的性质可判断①；∠AOD+∠COB=∠AOD+∠AOC+90°，据此判断②；∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，据此判断③；由平角的概念可得∠BOE+∠BOF=180°，结合∠COE=∠BOE可判断④.
6．下列说法正确的是 （ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；对顶角及其性质；同位角
【解析】【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线，平行线的性质和同角或等角的补角相等的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、相等的角的两边不一定互为反向延长线，故本选项错误；
B、只有两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；
C、应为两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；
D、同角的补角相等，正确．
故选D．
【点评】本题是对概念和性质的综合考查，需要熟练掌握．
7．（2023七上·陈仓期末）一副三角板如图摆放，则的度数是（ ）
A．90° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：对图形标注点D，
由题意得，
故答案为：B.
【分析】对图形标注点D，根据图形可得∠ABD=30°，∠DBC=45°，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC进行计算.
8．（2023七上·嘉兴期末）将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：A、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90° 45°＝45°，∴∠α＝∠β，故符合题意；
B、由图形得：∠α＋∠β＝60°，∴∠α不一定等于∠β，故不合题意；
C、由图形得：∠α＝90° 60°＝30°，∠β＝90° 45°＝45°，∴∠α≠∠β，故不合题意；
D、由图形得：∠α＋∠β＝90°，不合题意．
故答案为：A.
【分析】A、由图形可得∠β＝45°，且∠α+∠β=90°，即可做出判断；
B、由图形可分别求出∠α与∠β的关系数，即可做出判断；
C、由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；
D、由图形可得两角互余，不合题意．
二、填空题
9．（2023七上·桂平期末）一个角的补角加上30°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角度数是 .
【答案】30°
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，由题意，得：，
解得：；
∴这个角度数是；
故答案为：.
【分析】设这个角的度数为x，可得这个角的余角90°-x，补角为180°-x，由题意列出方程并解之即可.
10．（2023七上·苍南期末）如图，，射线在内部，，则 度.
【答案】150
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：150.
【分析】根据周角定义可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，根据垂直定义得∠AOD=90°，进而根据角的和差，由∠DOC=∠AOC-∠AOD，∠BOD=∠BOC+∠DOC，代入计算即可.
11．（2023七上·大竹期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 .
【答案】62°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
而，
，
.
故答案为：62°.
【分析】根据角的和差关系可得∠BOD=∠AOD-∠AOB=28°，然后根据∠BOC=∠COD-∠BOD进行计算.
12．（2023七上·澄城期末）数学课上，老师要求同学们用一副三角板画一个钝角，并且画出它的角平分线．小丹的画法如下：
①先按照图1的方式摆放一副三角板，画出；
②再按照图2的方式摆放一副三角板，画出射线；
③图3是去掉三角板后得到的图形．
（1）小丹画的的度数是 ．
（2）射线是的角平分线的依据是 ．
【答案】75°（）射线是的角平分线的依据是_______．【答案】角平分线定义
（1）75°
（2）角平分线定义
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵图1∠AOB=90°+60°=150°，
∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-30°-45°=75°.
故答案为：75°
（2）∵∠BOC=30°+45°=75°，
∴∠BOC=∠AOC，
∴OC平分∠AOB，
∴射线OC平分∠AOB的依据是角平分线的定义.
故答案为：角平分线的定义
【分析】（1）观察图1，可求出∠AOB的度数，再根据图2，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC，代入计算求出∠AOC的度数.
（2）利用（1）中的计算可得到∠BOC=∠AOC，利用角平分线的定义可证得OC平分∠AOB.
13．（2023七上·大竹期末）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，∠AOB=155°，则∠COD＝ ，∠BOC＝ ．
【答案】25°；65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=155°，
∴∠COD=180°-155°=25°，
∴∠BOC=∠DOB-∠COD=90°-25°=65°.
故答案为：25°，65°.
【分析】根据角的和差关系可得∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=180°，结合∠AOB的度数可得∠COD的度数，然后根据∠BOC=∠DOB-∠COD进行计算.
三、解答题
14．（2023七上·未央期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB︰∠BOC=3︰2，若∠BOE=13°，求∠DOE的度数.
【答案】解：设∠AOB=3x，∠BOC=2x.
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x.
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE═∠AOC＝x，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=3x x＝x，
∵∠BOE=13°，
∴x＝13°，
解得：x=26°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝x＝26°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=26°+13°=39°.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】 设∠AOB=3x，∠BOC=2x ，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5x ，由角平分线定义得 ∠AOE=x ，进而根据∠BOE=∠AOB-∠AOE用含x的式子表示出∠BOE，结合∠BOE的度数建立方程可求出x的值，再由角平分线的定义可求出∠BOD的度数，最后根据∠DOE=∠DOB+∠BOE计算即可.
15．（2023七上·东方期末）如图，，平分，求度数.
解：∵，，
∴ （填角的名称）= ，
∵平分，
∴ ，
∴ （填角的名称）= .
【答案】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
故答案为：；；；；.
【知识点】角的运算；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°，由角平分线的概念可得∠AOD=∠AOC=45°，然后根据∠BOD=∠AOD-∠AOB进行计算.
四、综合题
16．（2023七上·长安期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，，分别是，的平分线.
（1）若，求的度数；
（2）比较和的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴
，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得 ， ，进而根据角的和差，由∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON代入后利用逆用乘法分配律及平角定义变形计算即可；
（2）∠DOM=∠CON，理由如下：根据角平分线的定义及已知可得∠MOC=∠NOD，进而根据等式的性质即可得出结论.
17．（2023七上·临湘期末）如图，是直线，分别是的平分线.
（1），求的度数.
（2）若，求.
【答案】（1）解：∵是直线，分别是的平分线，，
∴，
∴
∴；
（2）解：∵是直线，分别是的平分线，
∴
∴，
∴.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得∠1=∠BOC，∠2=∠AOC，根据平角定义得∠AOC=180°-∠BOC，从而代入∠BOC的度数即可算出∠1与∠2的度数，进而根据∠DOE=∠1+∠2可算出∠DOE的度数；
（2）根据角平分线的定义得∠1=∠BOC，∠2=∠AOC，再根据角的和差，由∠DOE=∠1+∠2=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=×180°可得答案.
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