2023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.5 角的比较与补（余）角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·紫金期末）如果一个角是，那么它的补角等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·鲁甸期末）钟面上点分，时针和分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·东阿期末）下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若，则射线是的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·哈尔滨月考）如图，点在直线上，、分别平分、，则图中互为余角的有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023七下·潜山期末）已知是锐角，与互补，与互余，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·保定模拟）如图，∠AOB的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022七下·芜湖期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·东城期末）如图，将含有的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么 °．
10．（2023七下·金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
11．（2023七下·黄陂月考）直线、相交于点，平分，平分，且，则的度数是 ．
12．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
13．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
三、解答题
14．（2023七下·从化期末）如图，直线、相交于点O，，若，，求度数．
15．（2023七下·贵池期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数．
四、综合题
16．（2023七下·石阡期中）已知，在内部，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，请说明：；
（3）如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．
17．（2023·哈尔滨月考）已知：射线在内部，平分.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作平分，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角.
2．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】
3点30分=3.5小时，
∵ 时针每小时转动30度，
∴3.5小时从0点开始转动105度；
30分，
∵分针每分钟转动6度，
∴30分从0点开始转动180度，
时针分针的夹角是
故选：B
【分析】掌握钟面角的求法。
3．【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；钟面角、方位角；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ①两点确定一条直线 ，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③若，且OC在∠AOB的内部，则射线是的平分线，此项错误；
④连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，此项错误；
⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上，正确．
∴正确的个数有4个；
【分析】根据直线、线段的基本性质，两点间的距离，角平分线的定义，方向角逐一判断即可.
4．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOD+∠COE=∠COD+∠BOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°.
∴图中互为余角的有四对.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，由平角定义得∠AOC+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角即可判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∵与互补，
∴=180°-
∵与互余 ，
∴=90°-，
∴=（180°-）-（90°-）=90°；
故答案为：D.
【分析】根据余角与补角的定义分别表示出、，再求其差即可.
6．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵边对应刻度是70°，边对应的刻度是30°，
∴
故答案为：C．
【分析】先求出边对应刻度是70°，边对应的刻度是30°，再利用角的运算求出∠AOB的度数即可。
7．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOP=180°－，=∠POBn
∵依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，
∴∠POB==
∠POB1==
∠POB2==……
∴∠POBn=
∴=∠POBn=
故答案为：C．
【分析】求出前几项中角的度数与序号的关系可得规律=∠POBn=。
9．【答案】40
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等，把∠2代换成∠1的邻角，∠1+∠2=60°∴∠2=40°
故填：40
【分析】思路是三角板的角都是固定值，想办法把未知角等量代换到已知角里面去。
10．【答案】或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，是的两条三分线，
，
，
是的三分线，
如图1，当时，
，
，
；
如图2，当时，
，
，
，
或，
故答案为：或.
【分析】先利用角的三分线定义求得的度数，再对的三分线所分的角的度数之比进行分类讨论，然后通过的度数得到n的值.
11．【答案】105°
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠1=∠EOD.
∵∠1：∠2=1：4，
∴可设∠1=x，则∠2=4x，∠EOD=x，
∴x+4x+x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=30°，
∴∠EOC=180°-∠EOD=150°.
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠EOC=75°，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=30°+75°=105°.
故答案为：105°.
【分析】根据角平分线的概念可得∠1=∠EOD，由已知条件可设∠1=x，则∠2=4x，∠EOD=x，结合平角的概念可得x的度数，然后求出∠EOC的度数，由角平分线的概念可得∠EOF=∠EOC，然后根据∠DOF=∠DOE+∠EOF进行计算.
12．【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
13．【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
14．【答案】解：∵，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由垂线的意义和角的构成∠BOE=∠AOB-∠AOE可求出∠BOE的度数，由对顶角可得∠DOE=∠COF，然后根据角的构成∠BOD=∠DOE-∠BOE可求解.
15．【答案】解：∵ EO⊥AB，
∴ ∠EOB=90°，
∵∠EOF=107°，
∴ ∠FOB=∠EOF–∠EOB =107°–90°=17°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠FOB=34° ，
∵∠BOD＋∠EOB＋∠COE=180°，
∴∠COE=180°–34°–90°=56°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由垂直的定义可得 ∠EOB=90°，由∠EOF=107° ，进而可得 ∠FOB=17°，根据角平分线的定义可得∠BOD=34°，再根据平角的定义即可求解。
16．【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据 ，， 计算求解即可。
17．【答案】（1）证明：∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠DOE，
∵∠AOE=∠AOB-∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB-∠EOB；
（2）解：∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠AOB，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠AOB-∠AOD=（∠AOB-∠AOD）=∠BOD；
（3）解：设∠DOF=a，∠BOD=b，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠BOF=a+b，
∵∠AOD=90°，
∴2a+b=90°，∠BOC=90°-b，
∵∠BOC-∠DOF=26°，
∴90°-b-a=26°，
∴a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，∠BOC=90°-38°=52°，
∵∠AOD=90°，OE平分∠AOD，
∴∠AOE=45°，∠EOF=19°，
∴∠AOH=∠AOE=45°，
∵OG平分∠EOP，
∴∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，
∵反向延长延长OE得到射线OQ，
∴∠EOP+∠POQ=180°，
∴2（90°-∠GOH）+∠POQ=180°，
∴∠POQ=2∠GOH，
∵5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°，
∴5∠GOH+4∠GOH-19°=71°，
∴∠GOH=10°，∠POQ=20°，
∴∠BOP=52°+45°+20°=117°.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠AOE=∠DOE，由角的和差得∠AOE=∠AOB-∠EOB，从而再等量代换即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOF=∠AOB，∠AOE=∠AOD，进而根据角的和差，由∠EOF=∠AOF-∠AOE=（∠AOB-∠AOD）可得结论；
（3）设∠DOF=a，∠BOD=b，由角平分线的定义得∠AOF=∠BOF=a+b，进而根据角的和差可得2a+b=90°，90°-b-a=26°，联立求解得a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，进而可得∠BOC=90°-38°=52°，再由角平分线的定义得∠AOE=45°，∠EOF=19°，∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，由平角定义可推出∠POQ=2∠GOH，进而结合已知可求出∠GOH=10°，∠POQ=20°，最后根据角的和差可算出∠BOP的度数.
1 / 12023-2024学年初中数学沪科版七年级上册 4.5 角的比较与补（余）角 同步分层训练培优卷
一、选择题
1．（2023七下·紫金期末）如果一个角是，那么它的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角.
2．（2023七下·鲁甸期末）钟面上点分，时针和分针所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】
3点30分=3.5小时，
∵ 时针每小时转动30度，
∴3.5小时从0点开始转动105度；
30分，
∵分针每分钟转动6度，
∴30分从0点开始转动180度，
时针分针的夹角是
故选：B
【分析】掌握钟面角的求法。
3．（2023七下·东阿期末）下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若，则射线是的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；钟面角、方位角；角平分线的定义
【解析】【解答】解： ①两点确定一条直线 ，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③若，且OC在∠AOB的内部，则射线是的平分线，此项错误；
④连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，此项错误；
⑤学校在小明家南偏东方向上，则小明家在学校北偏西方向上，正确．
∴正确的个数有4个；
【分析】根据直线、线段的基本性质，两点间的距离，角平分线的定义，方向角逐一判断即可.
4．（2023·哈尔滨月考）如图，点在直线上，、分别平分、，则图中互为余角的有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OD、OE分别平分∠AOC与∠BOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD+∠BOE=∠AOD+∠COE=∠COD+∠BOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°.
∴图中互为余角的有四对.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义得∠AOD=∠COD=∠AOC，∠BOE=∠COE=∠BOC，由平角定义得∠AOC+∠BOC=180°，则∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=90°，进而根据和为90°的两个角互为余角即可判断得出答案.
5．（2023七下·潜山期末）已知是锐角，与互补，与互余，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解： ∵与互补，
∴=180°-
∵与互余 ，
∴=90°-，
∴=（180°-）-（90°-）=90°；
故答案为：D.
【分析】根据余角与补角的定义分别表示出、，再求其差即可.
6．（2023·保定模拟）如图，∠AOB的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵边对应刻度是70°，边对应的刻度是30°，
∴
故答案为：C．
【分析】先求出边对应刻度是70°，边对应的刻度是30°，再利用角的运算求出∠AOB的度数即可。
7．（2022七上·大冶期末）如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念；余角、补角及其性质；线段的长短比较
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
8．（2022七下·芜湖期中）如图，已知射线，，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，其中点都在射线上，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠AOP=180°－，=∠POBn
∵依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线的角平分线，
∴∠POB==
∠POB1==
∠POB2==……
∴∠POBn=
∴=∠POBn=
故答案为：C．
【分析】求出前几项中角的度数与序号的关系可得规律=∠POBn=。
二、填空题
9．（2023七下·东城期末）如图，将含有的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果，那么 °．
【答案】40
【知识点】角的运算
【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等，把∠2代换成∠1的邻角，∠1+∠2=60°∴∠2=40°
故填：40
【分析】思路是三角板的角都是固定值，想办法把未知角等量代换到已知角里面去。
10．（2023七下·金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，是的两条三分线，
，
，
是的三分线，
如图1，当时，
，
，
；
如图2，当时，
，
，
，
或，
故答案为：或.
【分析】先利用角的三分线定义求得的度数，再对的三分线所分的角的度数之比进行分类讨论，然后通过的度数得到n的值.
11．（2023七下·黄陂月考）直线、相交于点，平分，平分，且，则的度数是 ．
【答案】105°
【知识点】角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠1=∠EOD.
∵∠1：∠2=1：4，
∴可设∠1=x，则∠2=4x，∠EOD=x，
∴x+4x+x=180°，
∴x=30°，
∴∠DOE=30°，
∴∠EOC=180°-∠EOD=150°.
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠EOC=75°，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=30°+75°=105°.
故答案为：105°.
【分析】根据角平分线的概念可得∠1=∠EOD，由已知条件可设∠1=x，则∠2=4x，∠EOD=x，结合平角的概念可得x的度数，然后求出∠EOC的度数，由角平分线的概念可得∠EOF=∠EOC，然后根据∠DOF=∠DOE+∠EOF进行计算.
12．（2023七下·云浮期末）已知，如图1，过作射线、，如图2，过作射线、，使，，，，则 ．
【答案】100°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由图1得，∠AOB=∠AOD-∠BOD=120°+α-β，
由图2得，∠AOB=∠AOF-∠BOF=80°+β-α，
所以120°+α-β=80°+β-α，
化简得：20°+α=β. 代入∠AOB=120°+α-β中去，
得∠AOB=120°+α-（20°+α），
得到∠AOB=100°，
故填：100°.
【分析】先寻找两个图形中的角度的等量关系，即用不同的代数式表示出∠AOB，化简得到α和β之间的数量关系，然后代入合并同类型，消去未知数即可.
13．（2023七下·柳州开学考）如图，∠AOB=40°，自点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2∶3，则OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为
【答案】4°或100°
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【解答】解：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，
∵ ∠AOC+∠COB=∠AOB=40°，
∴5x=40，
∴x=8
∴∠AOC=2x=16°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
当OC在∠AOB外部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=∠AOB=×40°=20°，
∵ ∠AOC：∠COB=2∶3，
∴设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，
∵ ∠BOC-∠AOC=∠AOB=40°，
∴y=40，
∴∠AOC=2y=80°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
故答案为：4°或100°.
【分析】分类讨论：当OC在∠AOB的内部时，如图，OD为∠AOB的角平分线，由角平分线的定义可得∠AOD=∠AOB=×40°=20°，由题意设∠AOC=2x°，∠BOC=3x°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出x的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD-∠AOC算出答案；当OC在∠AOB外部时，由题意设∠AOC=2y°，∠BOC=3y°，由∠AOC+∠COB=∠AOB建立方程求出y的值，从而得出∠AOC的度数，进而根据∠COD=∠AOD+∠AOC算出答案，综上即可得出答案.
三、解答题
14．（2023七下·从化期末）如图，直线、相交于点O，，若，，求度数．
【答案】解：∵，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由垂线的意义和角的构成∠BOE=∠AOB-∠AOE可求出∠BOE的度数，由对顶角可得∠DOE=∠COF，然后根据角的构成∠BOD=∠DOE-∠BOE可求解.
15．（2023七下·贵池期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，平分，若，求的度数．
【答案】解：∵ EO⊥AB，
∴ ∠EOB=90°，
∵∠EOF=107°，
∴ ∠FOB=∠EOF–∠EOB =107°–90°=17°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠FOB=34° ，
∵∠BOD＋∠EOB＋∠COE=180°，
∴∠COE=180°–34°–90°=56°．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】由垂直的定义可得 ∠EOB=90°，由∠EOF=107° ，进而可得 ∠FOB=17°，根据角平分线的定义可得∠BOD=34°，再根据平角的定义即可求解。
四、综合题
16．（2023七下·石阡期中）已知，在内部，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若平分，请说明：；
（3）如图3，若在的外部分别作，的余角，，求的度数．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：平分，
，
，，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再计算求解即可；
（2）根据角平分线求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据 ，， 计算求解即可。
17．（2023·哈尔滨月考）已知：射线在内部，平分.
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作平分，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数.
【答案】（1）证明：∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠DOE，
∵∠AOE=∠AOB-∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB-∠EOB；
（2）解：∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠AOB，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE=∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=∠AOB-∠AOD=（∠AOB-∠AOD）=∠BOD；
（3）解：设∠DOF=a，∠BOD=b，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠BOF=a+b，
∵∠AOD=90°，
∴2a+b=90°，∠BOC=90°-b，
∵∠BOC-∠DOF=26°，
∴90°-b-a=26°，
∴a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，∠BOC=90°-38°=52°，
∵∠AOD=90°，OE平分∠AOD，
∴∠AOE=45°，∠EOF=19°，
∴∠AOH=∠AOE=45°，
∵OG平分∠EOP，
∴∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，
∵反向延长延长OE得到射线OQ，
∴∠EOP+∠POQ=180°，
∴2（90°-∠GOH）+∠POQ=180°，
∴∠POQ=2∠GOH，
∵5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°，
∴5∠GOH+4∠GOH-19°=71°，
∴∠GOH=10°，∠POQ=20°，
∴∠BOP=52°+45°+20°=117°.
【知识点】角的大小比较；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠AOE=∠DOE，由角的和差得∠AOE=∠AOB-∠EOB，从而再等量代换即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOF=∠AOB，∠AOE=∠AOD，进而根据角的和差，由∠EOF=∠AOF-∠AOE=（∠AOB-∠AOD）可得结论；
（3）设∠DOF=a，∠BOD=b，由角平分线的定义得∠AOF=∠BOF=a+b，进而根据角的和差可得2a+b=90°，90°-b-a=26°，联立求解得a=26°，b=38°，即∠DOF=26°，∠BOD=38°，进而可得∠BOC=90°-38°=52°，再由角平分线的定义得∠AOE=45°，∠EOF=19°，∠EOG=∠POG=90°-∠GOH，由平角定义可推出∠POQ=2∠GOH，进而结合已知可求出∠GOH=10°，∠POQ=20°，最后根据角的和差可算出∠BOP的度数.
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