专题2.12 圆的方程-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（－2，1），9 B．（－2，1），3
C．（2，－1），9 D．（2，－1），3
2．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（ ）
A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心
3．（3分）（2022·吉林·高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·全国·高二）已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（文））圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2021·广西·高三阶段练习（理））已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）（2022·安徽·模拟预测（理））古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外
C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
12．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川乐山·高一期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
15．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ．
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)；
(2)．
18．（6分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆过点，．
(1)求圆心在直线上的圆的标准方程；
(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
20．（8分）（2021·福建省高二期中）已知圆C经过点，点，且它的圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线对称，求圆D的标准方程.
21．（8分）（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值.
22．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，点，为上一动点，始终为的中点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若存在定点和常数，对轨迹上的任意一点，恒有，求与的值.专题2.12 圆的方程-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·四川省高二阶段练习（理））圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的，圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（－2，1），9 B．（－2，1），3
C．（2，－1），9 D．（2，－1），3
【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程，可求出其圆心和半径
【解答过程】由，得，
所以圆的圆心，半径为3，
故选：D.
2．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（ ）
A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心
【解题思路】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，圆的一般方程为，
将点代入，可得，则点A在圆上，
故选：C.
3．（3分）（2022·吉林·高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【解答过程】或.
故选：C.
4．（3分）（2022·全国·高二）已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题设写出的中垂线，求其与的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.
【解答过程】因为点，在M上，所以圆心在的中垂线上．
由，解得，即圆心为，则半径，
所以M的方程为．
故选：C.
5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习（文））圆关于直线l：对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；
【解答过程】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，
所以对称圆的方程为；
故选：A.
6．（3分）（2021·广西·高三阶段练习（理））已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设再表达出的坐标代入圆方程化简即可.
【解答过程】设，则满足.故 .故.
又点在圆上.故.
故选:C.
7．（3分）（2022·安徽·模拟预测（理））古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.
【解答过程】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：，
∴圆心为(4，0)．
故选：A．
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.
【解答过程】由，得.
因为，所以或.
当时，；当时，.
所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·江苏省高二阶段练习）使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C． D．
【解题思路】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.
【解答过程】，配方得：
，
要想表示圆，则，
解得：，
故选：BC.
10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ ）
A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为
C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4
D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4
【解题思路】根据点到直线的距离公式求得圆心C1到直线x－y－1＝0的距离，根据点关于直线的对称点的方法可求得圆C2的圆心，从而得出圆C2的方程.
【解答过程】根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
故选：AD.
11．（4分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．圆心C的坐标为（2，7） B．点Q在圆C外
C．若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
【解题思路】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；B选项，求出CQ的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；C选项，把P点坐标代入，求出的值，进而求出直线PQ的斜率；D选项，由B选项求出点Q在圆C外，M是圆C上任一点，所以MQ|的长度满足，求出MQ|的取值范围.
【解答过程】将化为，所以圆心C坐标为，故A正确：因为两点之间的距离为，所以点Q在圆C外．故B正确，因为点在圆C上，所以，所以，即．所以直线的斜为，故C错误，因为圆心，半径所以，即，故D正确
故选：ABD．
12．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得
【解题思路】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.
【解答过程】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，
解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；
当A，B，P三点不共线时，，
可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；
若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），
则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·四川乐山·高一期末）点与圆的位置关系是 在圆内 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【解题思路】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可.
【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内.
14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 .
【解题思路】首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程即可.
【解答过程】设圆的标准方程为，由题知：
，
所以标准方程为.
故答案为：.
15．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆关于直线对称的圆的方程为，则＝ ．
【解题思路】由题意，设关于直线的对称点为，列出方程组，求解方程组即可得圆关于直线对称的圆的方程，从而即可得答案.
【解答过程】解：圆的圆心是坐标原点，半径为，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线对称的点的坐标为，
因为圆关于直线对称的圆的方程为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为，即，
所以，即．
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高二课时练习）如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是 ．
【解题思路】设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【解答过程】设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）下列方程是圆的方程吗？若不是，请说明理由．
(1)；
(2)．
【解题思路】利用圆的标准方程，需要，对（1）、（2）进行判断.
【解答过程】(1)
圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R半径为r(r>0).
因为-5<0，所以方程不是圆的方程.
(2)
圆的标准方程为，其中圆心(a，b)，a∈R，b∈R，半径为r(r>0).
当k>0时，方程表示圆心为(-1，1)，半径为的圆的方程；
当k=0时，方程表示点(-1，1)，不表示圆的方程；
当k<0时，方程无解，不表示圆的方程.
18．（6分）（2022·江苏省高二阶段练习）已知圆过点，．
(1)求圆心在直线上的圆的标准方程；
(2)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【解题思路】（1）设圆的标准方程为，利用待定系数法求出即可得解；
（2）设所求圆的标准方程为，利用待定系数法求出即可得解.
【解答过程】（1）
解：设圆的标准方程为，
则有，解得，
所以所求圆的标准方程为；
（2）
解：设所求圆的标准方程为，
则有，解得，
所以所求圆的标准方程为.
19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知圆N的标准方程为．
(1)若点M（6，9）在圆N上，求半径a；
(2)若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）根据已知，建立方程计算求解即可.
（2）通过已知，利用点与圆的位置关系进行求解.
【解答过程】（1）
因为点M（6，9）在圆N上，所以，
即，又，所以．
（2）
因为圆心，，，
所以，，
所以，故点P在圆N外，点Q在圆N内，又因为圆N的半径为，
所以，故实数a的取值范围是．
20．（8分）（2021·福建省高二期中）已知圆C经过点，点，且它的圆心在直线上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆D与圆C关于直线对称，求圆D的标准方程.
【解题思路】（1）先求得线段AB的垂直平分线方程，与联立，求得圆心即可；
（2）根据圆D与圆C关于直线对称，求得圆心C关于直线的对称点即可.
【解答过程】（1）已知圆C经过点，点，
则线段AB的垂直平分线方程为：，即 ，
又它的圆心在直线上，
联立，解得，
所以其圆心为，，
所以圆C的标准方程；
（2）设圆D的圆心为，
因为圆D与圆C关于直线对称，
所以，解得，
所以圆D的标准方程是 .
21．（8分）（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值.
【解题思路】根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程，两圆方程作差即可得公共弦所在的直线方程，将目标式的最小问题转化为求圆上点到定点的距离平方的最小值即可.
【解答过程】由题设，与y轴的交点为，对称轴为，
若与x轴交点横坐标分别为，则，，
∴，
若圆半径为，圆心为，
∴，解得，
∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为，
，只需求圆上点到定点的最小距离即可.
又圆心到的距离为，而，
∴，故目标式的最小值为.
22．（8分）（2022·河南·高二阶段练习）已知圆，点，为上一动点，始终为的中点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若存在定点和常数，对轨迹上的任意一点，恒有，求与的值.
【解题思路】（1）设，由中点公式可得，代入到圆的方程中，整理即可求解；
（2）设，由两点间距离公式可得，结合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.
【解答过程】（1）
设，
因为为的中点，，所以，即，
因为圆的方程为，则，整理得，，
故动点Q的轨迹方程为.
（2）
设，则且，
整理得，
因为在Q的轨迹上，所以，
故，
当且仅当时上式恒成立，此时，，则，
解得或9，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
故，.
