专题2.14 直线与圆的位置关系-重难点题型检测
【人教A版2019选择性必修第一册】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
2．（3分）（2022·河南·高二阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆截直线所得的弦长等于（ ）
A． B． C．1 D．5
4．（3分）（2022·江苏·高二开学考试）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022·浙江省高二开学考试）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
8．（3分）（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线有公共点，则实数m可以（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
11．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（ ）
A．的最大值为4
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．的面积为
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）直线被圆所截的弦长为 .
14．（4分）（2021·福建宁德·高二期中）直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
15．（4分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆与轴相切，过作圆的切线，则切线的方程为 .
16．（4分）（2020·北京·高二期中）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80处，受影响的范围是半径为49的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将 （填“会”或“不会”）受到台风的影响.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）若曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，求实数k的取值范围.
18．（6分）（2021·广东·高二期中）已知圆，直线．
(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．
19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)求过点与圆相切的直线方程.
20．（8分）（2021·吉林高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
21．（8分）（2021·福建三明·高二期中）如图，某海面上有 三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆经过 三点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛40千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.
22．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，点.
(1)求过点G并与圆C相切的直线方程；
(2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值.专题2.14 直线与圆的位置关系-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【解题思路】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.
【解答过程】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．
故选:D.
2．（3分）（2022·河南·高二阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意，作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.
【解答过程】由曲线，可得，
表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：或.
故选：D.
3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）圆截直线所得的弦长等于（ ）
A． B． C．1 D．5
【解题思路】方法一，先求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，
方法二，将直线方程与圆的方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系结合弦长公式可求得答案
【解答过程】方法一 圆的方程可化为，
则圆的半径，圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为．
方法二 设直线与圆相交于点，．
由，得，则，，
所以．
故选：A.
4．（3分）（2022·江苏·高二开学考试）经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心，可得圆的方程．
【解答过程】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.
圆配方可得，
圆心坐标为，半径为2，
弦心距，弦长为，
过圆的圆心和直线垂直的直线方程为，即．
最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得，，
所求面积最小的圆方程为：，
故选：C．
5．（3分）（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】根据切线斜率是否存在分类讨论，再利用圆心到切线的距离为半径可求切线方程.
【解答过程】若切线的斜率不存在，则过的直线为，
此时圆心到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为：即，
故，解得，
故此时切线方程为：.
故选：B.
6．（3分）（2021·广东·高二阶段练习）若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】四边形面积等于，所以当最小时，四边形面积最小，的最小值为圆心到直线的距离，从而歌曲求得答案
【解答过程】由题意可得圆的圆心为，半径为2，
因为与圆相切，
所以四边形面积等于，
的最小值为圆心到直线的距离，
所以四边形面积的最小值为，
故选：C
7．（3分）（2022·浙江省高二开学考试）已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
【解题思路】先求得台风中心距离城市A的最短距离，再利用直线截圆的弦长即可求得城市A受台风影响的时间
【解答过程】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，
台风中心距离城市A的最短距离为
又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．
则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响
以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为
km
则城市A受台风影响的时间为
故选：B.
8．（3分）（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（ ）
A．最大值为2＋，最小值为—2－
B．最大值为2＋，最小值为2－
C．最大值为－2＋，最小值为－2－
D．最大值为—2＋，最小值为2－
【解题思路】根据几何意义，把可看作圆上任意一点与定点连线的斜率，利用几何法求最值.
【解答过程】可化为.
可看作圆上任意一点与定点连线的斜率.
记，则，记为直线l.
当直线与圆相切时，k可以取得最值.
此时圆心到直线的距离，解得：.
所以.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2023·全国·高三专题练习）若直线与曲线有公共点，则实数m可以（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题知曲线是以为圆心，半径为2左半圆，进而数形结合求解即可.
【解答过程】解：由题知，两边平方整理得，
所以，曲线是以为圆心，半径为2左半圆，如图，
当直线与曲线相切时，由，解得，
当直线过点时，，
所以，结合图形可知，实数m的取值范围是：．
故实数m可以为内的任意值.
故选：BC.
10．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【解题思路】根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，对选项逐一判断即可.
【解答过程】对于选项A：∵点在圆上，∴，
∵圆心到直线的距离为，
∴直线与圆相切，故A选项正确；
对于选项B：∵点在圆内，，
∵圆心到直线的距离为，
∴直线与圆相离，故B选项正确；
对于选项C：∵点在圆外，∴，
∵圆心到直线的距离为，
∴直线与圆相交，故C选项错误；
对于选项D：∵点在直线上，∴，
∵圆心到直线的距离为，
∴直线与圆相切，故D选项正确．
故选：ABD．
11．（4分）（2022·江苏·高二课时练习）已知过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，则（ ）
A．的最大值为4
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．的面积为
【解题思路】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，准线判定，即可求解.
【解答过程】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
又由点在圆内部，
因为过点的直线与圆交于两点，
所以的最大值为，所以A正确；
因为，
当直线与垂直时，此时弦取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，
且最大值为，所以C正确；
由，可得，即，
所以的面积为，所以D错误.
故选：AC.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为 B．最大度数为60°
C．直线AB过定点 D．的最小值为
【解题思路】，当时有最小值，求出可判断A；当时最大，可判断B；设点，，，求出直线的方程，整理得，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D.
【解答过程】对于A选项，由题意可知，当时，有最小值，即，此时，所以四边形MACB面积的最小值为，故选项A正确；
对于B选项，当时，最大，此时，此时，故选项B错误；
对于C选项，设点，，，则，易知在点A、B处的切线方程分别为，，将点分别代入两切线方程得，，所以直线方程为，整理得，代入，得，
解方程组得所以直线AB过定点，故选项C错误；
对于D选项，设直线AB所过定点为P，则，当时，弦长最小，此时，则的最小值为，故选项D正确，
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）直线被圆所截的弦长为 16 .
【解题思路】先由圆的方程确定圆心坐标和半径大小，再求圆心到直线的距离，根据几何法求弦长.
【解答过程】由题知：圆的圆心为，半径，
故圆心到直线的距离，
所以弦长为：.
故答案为：16.
14．（4分）（2021·福建宁德·高二期中）直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 .
【解题思路】由已知，分别作出直线与曲线的图像，然后观察满足两个不同公共点的情况，分别求解出对应的斜率即可完成求解.
【解答过程】由曲线可得，
其图象是以为圆心，半径为2的半圆，
直线是过定点的直线，
做出图像，如图所示：
由图可知，，，
所以直线与曲线有两个不同的公共点时，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（4分）（2022·辽宁·高二阶段练习）已知圆与轴相切，过作圆的切线，则切线的方程为 或 .
【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况求解.
【解答过程】由圆，得，
因为圆与轴相切，
所以，解得
当过的直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离为1，符合题意；
当过的直线的斜率存在时，设直线方程为，
则，解得，
则切线的方程为，即.
所以满足条件的切线的方程为或.
故答案为：或.
16．（4分）（2020·北京·高二期中）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80处，受影响的范围是半径为49的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60处，如果这艘轮船不改变航线，那么它将 会 （填“会”或“不会”）受到台风的影响.
【解题思路】以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.进而可推断出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船不受台风影响.
【解答过程】解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为①
轮船航线所在直线的方程为，即②
如果圆O与直线有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O与直线无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向.
由于圆心到直线的距离，
所以直线与圆O有公共点.这说明轮船将受台风影响.
故答案为：会.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·江苏·高二课时练习）若曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，求实数k的取值范围.
【解题思路】根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线经过点，曲线表示以圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．
【解答过程】直线，即kx－y－2k＋4＝0，经过定点，
曲线，化简得，表示以圆心半径为2的圆的上半圆.
直线与曲线有两个交点，即直线与半圆有两个交点.
当直线与半圆相切时，，解得.
当直线为经过点时，是斜率的最大值，此时.
动直线位于切线与之间(包括时，直线与曲线有两个交点，
的取值范围为，．
18．（6分）（2021·广东·高二期中）已知圆，直线．
(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．
【解题思路】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系；
（2）求出圆心到直线的距离d，根据即可求弦长．
【解答过程】(1)
由题设知圆：，
∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝．
又直线可变形为：，则直线恒过定点，
∵，
∴点在圆内，故直线必定与圆相交．
(2)
由题意知，
∴直线l的斜率 ，
∴圆心 到直线：的距离，
∴．
19．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线：相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)求过点与圆相切的直线方程.
【解题思路】（1）先根据题意求出过与直线垂直的直线，再与直线联立可求出圆心的坐标，再求出就是圆的半径，从而可求出圆的方程，
（2）分过点的直线斜率不存在和存在两种情况求解即可
【解答过程】（1）
过点与直线：垂直的直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
由，解得.
所以.
故圆的方程为：.
（2）
①若过点的直线斜率不存在，即直线是，与圆相切，符合题意；
②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，即，
若直线与圆相切，则有，解得.
此时直线的方程为.
综上，切线的方程为或.
20．（8分）（2021·吉林高二开学考试）已知圆：，直线：，点．
(1)判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．
【解题思路】（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；
（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；
（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.
【解答过程】（1）
因为直线：过定点，
又，所以在圆内，
所以直线与圆相交；
（2）
设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；
（3）
设，，因为，所以，
所以，化简得． ①
又消去并整理得，
所以②，． ③
由①②③联立，解得，
所以直线的方程为或．
21．（8分）（2021·福建三明·高二期中）如图，某海面上有 三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向且距岛千米处，岛在岛的正东方向且距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆经过 三点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向且距岛40千米的处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.
【解题思路】（1）由题意可求，，设过，，三点的圆的方程为，可得，解得，，的值，即可得解．
（2）设船初始位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为1，该船航行方向为直线，利用点到直线的距离公式即可求解．
【解答过程】(1)
由题意得， ，
设过三点的圆的方程为 ，
则
解得，， ，.
所以圆的方程为
(2)
该船有触礁的危险.
理由如下：
由题意得，
且该船的航线所在的直线的斜率为1，
故该船的航线为直线l：，
由（1）知圆心为，半径 ，
因为圆心 到直线 的距离
所以该船有触礁的危险.
22．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，点.
(1)求过点G并与圆C相切的直线方程；
(2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值.
【解题思路】（1）设切线方程为，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；
（2）的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，所求的最小值即求的最小值，设，则，由，转化为到和的距离的最小值减去1，结合图象可得答案.
【解答过程】（1）
圆，
由已知过点的切线的斜率存在，设其切线方程为，
所以圆心到切线的距离为，解得或，
所以切线方程为或，
即或.
（2）
的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，
所以求即求的最小值，
设，则，
所以 ，
可看作到和的距离的最小值减去1，
取点关于原点对称的点，连接，
此时的长度最小即最小，且，
所以的最小值为，
此时直线的方程为，即.
